第18课时 二次函数的应用(60分)一、选择题(每题6分，共12分)1．图18－1②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y ＝－1400(x －80)2＋16，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，且有AC ⊥x 轴，若OA ＝10 m ，则桥面离水面的高度AC 为 ( B )图18－1A ．16940 mB.174 m C ．16740mD.154m 【解析】 ∵AC ⊥x 轴，OA ＝10 m ，∴点C 的横坐标为－10.当x ＝－10时，y ＝－1400(x －80)2＋16＝－1400×(－10－80)2＋16＝－174，∴点C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－10，－174，∴桥面离水面的高度AC 为174 m.2．[2017·临沂]足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h (单位：m)与足球被踢出后经过的时间t (单位：s)之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m ；②足球飞行路线的对称轴是直线t ＝92；③足球被踢出9 s 时落地；④足球被踢出1.5 s 时，距离地面的高度是11 m ．其中正确结论的个数是( B ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 利用待定系数法可求出二次函数表达式；将函数表达式配方成顶点式可得对称轴和足球距离地面的最大高度；求出h ＝0时t 的值，即可得足球的落地时间；求出t ＝1.5 s 时h 的值，即可对④作出判断．由表格可知抛物线过点(0，0)，(1，8)，(2，14)，设该抛物线的表达式为h ＝at 2＋bt ，将点(1，8)，(2，14)分别代入，得⎩⎨⎧a ＋b ＝8，4a ＋2b ＝14，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝9.∴h ＝－t 2＋9t＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －922＋814，则足球距离地面的最大高度为814 m ，对称轴是直线t ＝92，①错误、②正确；∵h ＝－t 2＋9t ＝0，∴当h ＝0时，t ＝0或9，③正确；当t ＝1.5 s 时，h ＝－t 2＋9t ＝11.25，④错误．综上所述，正确结论的个数是2.二、填空题(每题6分，共18分)3．[2016·台州]竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1 s 依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1 s 时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t (s)时在空中与第2个小球的离地高度相同，则t ＝__1.6__s.【解析】 设各自抛出后1.1 s 时到达相同的最大离地高度为h ，则小球的高度y ＝a (t －1.1)2＋h ，由题意，得a (t －1.1)2＋h ＝a (t －1－1.1)2＋h ，解得t ＝1.6.故第一个小球抛出后1.6 s 时在空中与第二个小球的离地高度相同． 4．如图18－2，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12 mm ，BC ＝24 mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2 mm/s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4 mm/s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么经过__3__s ，四边形APQC的面图18－2积最小．【解析】 设经过t s ，四边形面积最小，S 四边形APQC ＝12×12×24－12(12－2t )×4t＝4t 2－24t ＋144(0<t <6)，∴当t ＝－b 2a ＝－－242×4＝3时，S 四边形APQC 最小． 5．[2017·温州]小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图18－3①)，完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A ，出水口B 和落水点C 恰好在同一直线上，点A 至出水管BD 的距离为12 cm ，洗手盆及水龙头的相关数据如图②所示，现用高10.2 cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中心E ，则点E 到洗手盆内侧的距离EH 为．图18－3【解析】 建立如答图所示的直角坐标系，过A 作AG ⊥OC 于G ，交BD 于Q ，过M 作MP ⊥AG 于P ，由题可得AQ ＝12，PQ ＝MD ＝6，故AP ＝6，AG ＝36，∴在Rt △APM 中，MP ＝8，DQ ＝8＝OG ，∴BQ ＝12－8＝4.由BQ ∥CG 可得△ABQ ∽△ACG ，∴BQ CG ＝AQ AG ，即4CG ＝1236，解得CG ＝12，则OC ＝12＋8＝20，∴C (20，0)．又∵水流所在抛物线经过点D (0，24)，∴可设抛物线表达式为y ＝ax 2＋bx ＋24，把C (20，0)，B (12，24)代入，可得⎩⎨⎧24＝144a ＋12b ＋24，0＝400a ＋20b ＋24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－320，b ＝95，∴抛物线为y ＝－320x2第5题答图＋95x＋24，令y＝10.2，解得x1＝6＋82，x2＝6－82(舍去)，∴点E的横坐标为6＋82，又∵ON＝30，∴EH＝30－(6＋82)＝24－8 2.三、解答题(共30分)6．(15分)[2016·郴州]某商店原来平均每天可销售某种水果200 kg，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可多售出20 kg.(1)设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；(2)若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？解：(1)根据题意，得y＝(200＋20x)(6－x)＝－20x2－80x＋1 200.(2)令y＝960，则960＝－20x2－80x＋1 200，即x2＋4x－12＝0，解得x＝2或－6(舍去)．答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元．7．(15分)[2016·南京]如图18－4是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4 m，从O，A两处观测P处，仰角分别为α，β，且tanα＝12，tanβ＝32，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．图18－4 第7题答图(1)求点P的坐标；(2)水面上升1 m后，水面宽多少( 2 取1.41，结果精确到0.1 m)? 解：(1)如答图，过点P作PH⊥OA于点H，设PH＝3x，在Rt △OHP 中，∵tan α＝PH OH ＝12，∴OH ＝6x . 在Rt △AHP 中，∵tan β＝PH AH ＝32，∴AH ＝2x ，∴OA ＝OH ＋AH ＝8x ＝4，∴x ＝12，∴OH ＝3，PH ＝32，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，32；(2)如答图，若水面上升1 m 后到达BC 位置，过点O (0，0)，A (4，0)的抛物线的表达式可设为y ＝ax (x －4)， ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32在抛物线y ＝ax (x －4)上，∴代入得3a (3－4)＝32，解得a ＝－12，∴抛物线的表达式为y ＝－12x (x －4)．当y ＝1时，－12x (x －4)＝1，解得x 1＝2＋2，x 2＝2－2，∴BC ＝(2＋2)－(2－2)＝22≈2.8(m)． 答：水面上升1 m 后，水面宽约为2.8 m.(25分)8．(10分)[2017·德州]随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽．小明家附近的广场中央新修了个圆形喷水池(如图18－5)，在水池中心竖直安装了一根高为2 m 的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m 处达到最高，水柱落地处离池中心3 m.图18－5(1)请你建立适当的平面直角坐标系，求出水柱抛物线的函数表达式； (2)水柱的最大高度是多少？【解析】 (1)由于题目所给数据均与水池中心相关，故可选取水池中心为原点，原点与水柱落地点所在直线为x 轴，水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，再利用顶点式求解函数关系式； (2)抛物线的顶点纵坐标即为水柱的最大高度． 解：(1)如答图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x 轴，水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．由题意可设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －1)2＋h (0≤x ≤3)．抛物线过点(3，0)和(0，2)，代入抛物线表达式，可得⎩⎨⎧4a ＋h ＝0，a ＋h ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，h ＝83.∴抛物线表达式为y ＝－23(x －1)2＋83(0≤x ≤3)，化为一般式为y ＝－23x 2＋43x ＋2(0≤x ≤3)；(2)由(1)知抛物线表达式为y ＝－23(x －1)2＋83，当x ＝1时，y ＝83.答：水柱的最大高度为83m.9．(15分)[2017·成都]随着地铁和共享单车的发展，‚地铁＋单车‛已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x (单位：km)，乘坐地铁的时间y 1(单位：min)是关于x的一次函第8题答图数，其关系如下表：(1)求y 1关于x 的函数表达式；(2)李华骑单车的时间y 2(单位：min)也受x 的影响，其关系可以用y 2＝12x 2－11x ＋78来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家里所需的时间最短？并求出最短时间．解：(1)设乘坐地铁的时间y 1关于x 的一次函数是y 1＝kx ＋b ， 把x ＝8，y 1＝18；x ＝10，y 1＝22代入，得 ⎩⎨⎧18＝8k ＋b ，22＝10k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝2，∴y 1关于x 的函数表达式是y 1＝2x ＋2； (2)设回家所需的时间为y ，则y ＝y 1＋y 2，即y ＝2x ＋2＋12x 2－11x ＋78＝12x 2－9x ＋80＝12(x －9)2＋792，∴当x ＝9时，y最小＝792(min)． 答：李华选择从B 地铁口出站，骑单车回家的时间最短，最短时间为792min.(15分)10．(15分)[2017·嘉兴]如图18－6，某日的钱塘江观潮信息如下表： 2017年×月×日，天气：阴；能见度：1.8 km. 11：40时，甲地‚交叉潮‛形成，潮水匀速奔向乙地；12：10时，潮头到达乙地，形成‚一线潮‛，开始均匀加速，继续向西； 12：35时，潮头到达丙地，遇到堤坝阻挡后回头，形成‚回头潮‛．图18－6按上述信息，小红将‚交叉潮‛形成后潮头与乙地之间的距离s (km)与时间t (min)的函数关系用图③表示，其中：‚11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12 km ‛记为点A (0，12)，点B 坐标为(m ，0)，曲线BC 可用二次函数s ＝1125t 2＋bt ＋c (b ，c 是常数)刻画． (1)求m 的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；(2)11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48 km/min 的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？(3)相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48 km/min ，小红逐渐落后，问小红与潮头相遇到落后潮头1.8 km共需多长时间？⎝ ⎛⎭⎪⎫潮水加速阶段速度v ＝v 0＋2125（t －30），v 0是加速前的速度解：(1)由题意可知：m ＝30，∴B (30，0)， ∴潮头从甲地到乙地的速度为1230＝0.4(km/min)；(2)∵潮头的速度为0.4 km/min ，∴到11：59时，潮头已前进19×0.4＝7.6(km)， 设小红出发x min 与潮头相遇， ∴0.4x ＋0.48x ＝12－7.6，解得x ＝5， ∴小红5 min 与潮头相遇； (3)把B (30，0)，C (55，15)代入s ＝1125t 2＋bt ＋c ，解得b ＝－225，c ＝－245，∴s ＝1125t 2－225t －245. ∵v 0＝0.4，∴v ＝2125(t －30)＋25，当潮头的速度达到单车最高速度0.48 km/min ，0.48＝2125(t －30)＋25， 解得t ＝35. 此时，s ＝1125t 2－225t －245＝115. ∴从t ＝35 min(12：15时)开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，但小红仍以0.48 km/min 的速度匀速追赶潮头．设她离乙地的距离为s 1，则s 1与时间t 的函数关系式为s 1＝0.48t ＋h (t ≥35)， 当t ＝35时，s 1＝s ＝115，代入可得h ＝－735， ∴s 1＝1225t －735.最后潮头与小红相距1.8 km 时，即s －s 1＝1.8， 1125t 2－225t －245－1225t ＋735＝1.8， 解得t ＝50或20(不符合题意，舍去)，∵小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6 min ， ∴共需要时间为6＋50－30＝26(min)．答：小红与潮头相遇到潮头离她1.8 km 外共需要26 min.。