立体几何1．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题：(1)α∥β⇒l⊥m；(2)α⊥β⇒l∥m；(3)l∥m⇒α⊥β；(4)l⊥m⇒α∥β.其中正确的命题是()A．(1)与(2) B．(1)与(3)C．(2)与(4) D．(3)与(4)答案 B解析∵直线l⊥平面α，α∥β，∴l⊥平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l⊥m，故(1)正确；∵直线l⊥平面α，α⊥β，∴l∥平面β，或l⊂平面β，又∵直线m⊂平面β，∴l与m可能平行也可能相交，还可以异面，故(2)错误；∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，∵直线m⊂平面β，∴α⊥β，故(3)正确；∵直线l⊥平面α，l⊥m，∴m∥α或m⊂α，又∵直线m⊂平面β，则α与β可能平行也可能相交，故(4)错误．故选B.2．已知如图所示的正方体ABCD—A1B1C1D1，点P、Q分别在棱BB1、DD1上，且PB1BB1＝QD1DD1，过点A、P、Q作截面截去该正方体的含点A1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的正(主)视图的是()答案 A解析当P、B1重合时，正(主)视图为选项B；当P到B点的距离比到B1近时，正(主)视图为选项C；当P到B点的距离比到B1远时，正(主)视图为选项D，因此答案为A.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.43 5 B.83 C ．45 D.43答案 B解析 由三视图知几何体为四棱锥，四棱锥的右边侧面与底面垂直，其直观图如图．四棱锥的底面是边长为2的正方形，由侧(左)视图中等腰三角形的腰长为5，得棱锥的高为5－1＝2，∴几何体的体积V ＝13×22×2＝83.故选B.4．设a ，b ，l 均为直线，α，β均为平面，则下列命题判断错误的是( ) A ．若l ∥α，则α内存在无数条直线与l 平行 B ．若α⊥β，则α内存在无数条直线与β不垂直C ．若α∥β，则α内存在直线m ，β内存在直线n ，使得m ⊥nD ．若a ⊥l ，b ⊥l ，则a 与b 不可能垂直答案 D解析 由直线与平面平行的性质可知A 正确；当α⊥β时，平面α内与两平面的交线不垂直的直线均与平面β不垂直，故B 正确；由两平面平行的性质可知，C 正确；当a ⊥l ，b ⊥l 时，a ⊥b 可以成立，例如长方体一个顶点上的三条直线就满足此条件，所以D 错，故选D. 5．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方体，S —ABCD 是高为1的正四棱锥，若点S ，A 1，B 1，C 1，D 1在同一球面上，则该球的表面积为( )A.916π B.2516π C.4916π D.8116π 答案 D解析 按如图所示作辅助线，点O 为球心，设OG 1＝x ，则OB 1＝SO ＝2－x ，同时由正方体的性质知B 1G 1＝22，则在Rt △OB 1G 1中，OB 21＝OG 21＋G 1B 21，即(2－x )2＝x 2＋(22)2，解得x ＝78，所以球的半径R ＝OB 1＝98，所以球的表面积为S ＝4πR 2＝8116π，故选D.6．如图，已知平面α∩平面β＝l，α⊥β.点A、B是直线l上的两点，点C、D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，DA＝4，AB＝6，CB＝8.点P是平面α上的一动点，且有∠APD ＝∠BPC，则四棱锥P—ABCD的体积的最大值是()A．48 B．16 C．24 3 D. 144答案 A解析由题意知：△P AD，△PBC是直角三角形，又∠APD＝∠BPC，所以△P AD∽△PBC.因为DA ＝4，CB ＝8，所以PB ＝2P A . 作PM ⊥AB 于点M ，则PM ⊥β. 令AM ＝t ，则P A 2－t 2＝4P A 2－(6－t )2， 所以P A 2＝12－4t ， 所以PM ＝12－4t －t 2， 即为四棱锥的高．又底面为直角梯形，S ＝12(4＋8)×6＝36，所以V ＝13×36×12－4t －t 2＝12－(t ＋2)2＋16≤12×4＝48.7．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．57＋24πB ．57＋15πC ．48＋15πD ．48＋24π答案 D解析 本题为圆锥与直四棱柱的组合体．注意表面积分为三部分，圆锥侧面展开图，即扇形面积5×6π2＝15π；圆锥底面圆，S ＝πr 2＝9π；直四棱柱侧面积，3×4×4＝48，总面积为48＋24π.8．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 答案 D解析 连接BD ，则AC ⊥BD ，BB 1⊥AC ， 所以AC ⊥平面BDD 1B 1，则AC ⊥BE ，故A 正确；因为B 1D 1∥平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD ，故B 正确；因为三棱锥A —BEF 的底面是底边为EF ＝12，高为棱长BB 1＝1的△BEF ，面积为14，三棱锥的高为22，所以三棱锥A —BEF的体积是定值224，故C 正确；显然△AEF 与△BEF 有相同的底边，但B 到EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，即两三角形的面积不相等，故D 错误．故选D.9．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β B ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥βD ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α 答案 C解析 由m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知： 若α⊥γ，α⊥β，则γ与β相交或平行，故A 错误； 若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β相交或平行，故B 错误；若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则由线面垂直的性质定理得α∥β，故C 正确； 若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α或n ⊂α，故D 错误．故选C.10．如图，已知斜四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的各棱长均为2，∠A 1AD ＝60°，∠BAD ＝90°，平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，则直线BD 1与平面ABCD 所成的角的正切值为( )A.34 B.134 C.3913D.393答案 C解析 延长AD ，过D 1作D 1E ⊥AD 于点E ，连接BE .因为平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ，平面A 1ADD 1∩平面ABCD ＝AD ，D 1E ⊂平面A 1ADD 1，所以D 1E ⊥平面ABCD ，即BE 为D 1B 在平面ABCD 内的射影，所以∠D 1BE 为直线BD 1与平面ABCD 所成的角，因为D 1E ＝2sin 60°＝3，BE ＝AB 2＋AE 2＝13，所以tan ∠D 1BE ＝D 1E BE ＝313＝3913.故选C.11．如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和EF所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析连接BC1，A1C1，A1B，如图所示：根据正方体的结构特征，可得EF ∥BC 1，AC ∥A 1C 1，则∠A 1C 1B 即为异面直线AC 和EF 所成的角，BC 1＝A 1C 1＝A 1B ，∴△A 1C 1B 为等边三角形，故∠A 1C 1B ＝60°， 故选C.12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 为AD 的中点，现分别沿BE ，CE 将△ABE ，△DCE 翻折，使得点A ，D 重合于F ，则此时二面角E —BC —F 的余弦值为( )A.34B.74C.23D. 53 答案 B解析 如图所示，取BC 的中点P ，连接EP ，FP .由题意得BF ＝CF ＝2，PF ⊥BC ，又∵EB ＝EC ＝(32)2＋22＝52，∴EP ⊥BC ， ∴∠EPF 即为二面角E —BC —F 的平面角，而FP ＝ FB 2－(12BC )2＝72， ∴在△EPF 中，cos ∠EPF ＝EP 2＋FP 2－EF 22EP ·FP ＝4＋74－942·2·72＝74， 故选B.13．如图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，点E 为CC 1的中点，那么异面直线OE 与AD 1所成角的余弦值等于________．答案6 3解析取BC的中点F，连接EF，OF，由于点O为底面ABCD的中心，点E为CC1的中点，所以EF∥BC1∥AD1，所以异面直线OE与AD1所成角，即OE与EF所成的角．平面ABCD⊥平面BCC1B1，平面ABCD∩BCC1B1＝BC，OF⊥BC，OF⊂平面ABCD，所以OF⊥平面BCC1B1，EF⊂平面BCC1B1，所以EF⊥OF.因为EF＝2，OF＝1，所以OE＝EF2＋OF2＝2＋1＝ 3.所以cos ∠FEO ＝EF OE ＝23＝63. 14．四棱锥P －ABCD 的五个顶点都在一个球面上，底面ABCD 是矩形，其中AB ＝3，BC ＝4，又P A ⊥平面ABCD ，P A ＝5，则该球的表面积为________．答案 50π解析 由勾股定理得AC ＝5，在等腰直角三角形P AC 中，PC ＝2R ＝52，因此表面积S ＝4πR 2＝50π.15．已知矩形ABCD 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为________．答案 13π解析 设正六棱柱的底面边长为x ，高为y ，则6x ＋y ＝9,0＜x ＜1.5，正六棱柱的体积V ＝6×34x 2y ＝32(－6x 3＋9x 2)， ∴V ′＝－93x (x －1)，∴令V ′＝0，则x ＝0(舍)或x ＝1.∵当x >1时，V ′<0；当0<x <1时，V ′>0，∴当x ＝1时，正六棱柱体积最大，此时y ＝3.可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为1＋94＝132， ∴外接球的表面积为4π×134＝13π. 16．α，β是两个平面，AB ，CD 是两条线段，已知α∩β＝EF ，AB ⊥α于B ，CD ⊥α于D ，若增加一个条件，就能得出BD ⊥EF ，现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF. 其中能成为增加条件的序号是________．答案①③解析由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面，①中，∵AC⊥β，EF⊂β，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确；②中，由①可知，若BD⊥EF成立，则有EF⊥平面ABCD，则有EF⊥AC成立，而AC与α，β所成的角相等是无法得到EF⊥AC的，故②错误；③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知EF⊥AC，由①可知③正确；④中，仿照②的分析过程可知④错误，故填：①③.。