∴△ABC≌△EAD(SAS)．
(2)∵AE 平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠BAE， 又∵∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB＝∠B. ∴△ABE 为等边三角形. ∴∠BAE＝60° .∵∠EAC＝25° ， ∴∠BAC＝85° .∵△ABC≌△EAD， ∴∠AED＝∠BAC＝85° .
考点训练
8．(2014· 益阳)如图，▱ABCD 中，E，F 是对角线 BD 上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF， 则添加的条件不能是( )
A．AE＝CF C．BF＝DE
B．BE＝FD D. ∠1＝∠2
解析： 由平行四边形的性质， 可得 AB＝CD， AB∥CD， 可得∠ABE＝∠CDF.A 中，添加 AE＝CF，三个条件为两边 及一边的对角分别相等，不能使△ABE≌△CDF；B 中，添 加 BE＝FD，可由“SAS”证明△ABE≌△CDF；C 中，添加 BF＝DE，可得 BE＝FD，可由“SAS”证明△ABE≌△CDF； D 中，添加∠1＝∠2，可由“ASA”证明△ABE≌△CDF. 故选 A. 答案： A
10． (2014· 河南)如图， ▱ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB⊥AC.若 AB＝4，AC＝6，则 BD 的长 是( )
A．8
B．9
C．10
D．11
1 解析： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA＝ AC 2 ＝3， BD＝2OB.∵AB⊥AC, ∴∠OAB＝90° .在 Rt△AOB 中，∵OA ＋AB ＝OB ，∴OB＝ 3 ＋4 ＝5，∴BD＝ 2OB＝10.故选 C. 答案：C
A．7
B．10
C．11
D．12
解析：∵AC 的垂直平分线交 AD 于点 E，∴AE ＝EC.∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴DC＝AB， AD ＝BC＝6，∴△CDE 的周长为 EC＋ED＋CD＝AD＋ CD＝6＋4＝10.故选 B. 答案： B
6．(2014· 毕节)如图，一个多边形纸片按图示的剪 法剪去一个内角后，得到一个内角和为 2 340° 的新多 边形，则原多边形的边数为( )
方法总结： 根据平行四边形的判定定理证明一个四边形是平 行四边形的方法有多种，要结合图形及已知条件，灵 活选择适当的方法进行证明.
1．正十边形的每个外角等于( B ) A．18° C．45° B．36° D．60°
2．已知正 n 边形的一个内角为 135° ，则边数 n 的值是( C A．6 ) B．7 C．8 D．10
解析：本题考查多边形的外角和定理．正 n 边形 的内角为 135° ，故一个外角为 45° .所以 n＝360° ÷ 45° ＝8.故选 C.
3．如图，将▱ABCD 折叠，使顶点 D 恰好落在 AB 边 上 的 点 M 处 ， 折 痕 为 AN ， 那 么 对 于 结 论 ： ①MN∥BC；②MN＝AM.下列说法正确的是( )
考点二
平行四边形的性质
例 2(2014· 郴州)如图，已知四边形 ABCD 是平行 四边形，点 E，B，D，F 在同一直线上，且 BE＝DF. 求证：AE＝CF.
【点拨】本题考查平行四边形的性质，利用平行 四边形的性质得出边、角之间的相等关系是解题的 关键．
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD ，AB＝CD.∴∠ABD＝∠CDB. ∴∠ABE＝∠CDF. AB＝CD， 在△ABE 与△CDF 中，∠ABE＝∠CDF， BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF(SAS)．∴AE＝CF.
5． 如图， 在▱ABCD 中， AB＝5， AD＝3， AE 平分∠DAB 交 BC 的延长线于点 F，则 CF＝ 2 .
解析：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC， BC ＝ AD ＝ 3.∴∠DAF ＝ ∠BFA.∵AE 平 分 ∠DAB ， ∴∠DAF ＝ ∠FAB.∴∠BFA ＝ ∠BAF.∴AB ＝ BF ＝ BC ＋ CF.∴CF＝AB－BC＝5－3＝2.
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温馨提示： 各条边都相等的多边形，不一定是正多边形，因 为它的内角不一定都相等；各个角都相等的多边形， 也不一定是正多边形，因为它的边不一定都相等.
4．多边形的内角和与外角和 (1)多边形的内角和等于(n－2)· 180° ； (2)多边形的外角和等于360° ； n－2· 180° (3)正n边形的每一个内角为 (n≥3)，正 n 360° n边形的每一个外角为 (n≥3)． n
方法总结： 证明线段相等， 常考虑证明三角形全等. 但在平行 四边形中，可根据平行四边形的性质，得出线段相等.
考点三 平行四边形的判定 例 3(2014· 长春)如图，在▱ABCD 中，点 O 是对角 线 AC，BD 的交点，点 E 是边 CD 的中点，点 F 在 1 BC 的延长线上，且 CF＝ BC，求证：四边形 OCFE 2 是平行四边形．
解析：∵平行四边形的对角线互相平分，但不一 定垂直，∴A 错误；∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180° ， ∴B 正确；∵平行四边形的对边相等，但邻边不一定 相等，∴C 错误；∵∠A＝∠C，∴D 错误．故选 B. 答案：B
3．(2014· 宿迁)如图，▱ABCD 中，BC＝BD，∠C ＝74° ，则∠ADB 的度数是( )
一、选择题(每小题 4 分，共 48 分) 1．(2014· 临沂)将一个 n 边形变成 n＋1 边形，内 角和将( C ) B．增加 90° D．增加 360° A．减少 180° C．增加 180° 故选 C.
解析：(n＋1－2)· 180° －(n－2)· 180° ＝180° .
2．如图，在▱ABCD 中，下列结论一定正确的是 ( ) A．AC⊥BD B．∠A＋∠B＝180° C．AB＝AD D．∠A≠∠C
A．①②都对 C．①对，②错
B．①②都错 D．①错，②对
解析：由折叠的性质可知，∠D＝∠AMN，MN＝ DN.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠B＝ ∠D， ∴∠B＝∠AMN，∴MN∥BC.故①正确；∵BC∥AD， ∴MN∥AD，∵DN∥AM，∴四边形 AMND 是平行四 边形．∴DN＝AM，∴MN＝AM.故②正确．故选 A. 答案： A
A．90°
B．180°
C．210°
D．270°
解析：∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180° ，∴∠B， ∠C 两角的外角和是 180° .∵五边形的外角和是 360° ， ∴∠1＋∠2＋∠3＝360° －180° ＝180° .故选 B. 答案： B
5． (2014· 十堰)如图， 在平行四边形 ABCD 中， AB ＝4， BC＝6， AC 的垂直平分线交 AD 于点 E， 则△CDE 的周长是( )
6．如图，在▱ABCD中，E为BC边上一点，且AB ＝AE.
(1)求证：△ABC≌△EAD. (2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25° ，求∠AED的 度数．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∠DAE＝∠AEB. 又∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B. ∴∠B＝∠DAE.在△ABC 和△EAD 中， BC＝AD， ∠B＝∠DAE， AB＝EA，
第五章 四边形
第20讲 多边形与平行四边形
考点一
多边形的相关概念与有关计算
1．在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段 首尾顺次相接组成的封闭图形，叫做多边形． 2． 多边形的对角线：(1)从 n 边形的一个顶点可以 n n－3 引(n－3)条对角线；(2)n 边形共有 条对角线． 2 3．正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多 边形叫做正多边形．
4．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AC， BD 相交于点 O， 请你添加一对线段或一对角之间关系 的条件，使四边形 ABCD 是平行四边形，你所添加的 条件是 ．
解析： 有四种添加方法： (1)添加 AD＝BC， 由“一 组 对 边 平 行 且 相 等 ” 可 得 平 行 四 边 形 ； (2) 添 加 AB∥CD ，由 “ 两组对边平行 ” 可得平行四边形； (3)添加∠ABC＝∠ADC 或∠BAD＝∠BCD， 可得“两 组对边平行”再得平行四边形； (4)添加 AO＝CO 或 BO＝DO，由三角形全等，进一步得出 “一组对边平 行且相等”可得平行四边形． 答案： AD＝BC(AB∥CD 或∠ABC＝∠ADC 或 ∠BAD＝∠BCD 或 AO＝CO 或 BO＝DO)
A．16°
B．22°
C．32°
D．68°
解析：∵BC＝BD，∠C＝74° ，∴∠BDC＝∠C＝ 74° ，∴∠DBC＝180° －74° ×2＝32° .∵在▱ABCD 中， AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝32° .故选 C. 答案： C
4．如图，在五边形 ABCDE 中，AB∥CD，∠1， ∠2，∠3 分别是∠BAE，∠AED，∠EDC 的外角，则 ∠1＋∠2＋∠3 等于( )
A．13
B．14
C．15
D．16
解析：设原多边形的边数为 n，则新多边形的边 数为(n＋1)，根据题意列出方程，得(n＋1－2)· 180° ＝ 2 340° ，解得 n＝14.故选 B. 答案： B
7．(2014· 黔东南)如图，在四边形 ABCD 中，对角 线 AC 与 BD 相交于点 O，不能判断四边形 ABCD 是平 行四边形的是( )
9．(2013· 哈尔滨)如图，在▱ABCD 中，AD＝2AB， CE 平分∠BCD 交 AD 边于点 E，且 AE＝3，则 AB 的 长为( )
A．4
B．3
5 C. 2
D．2
解析： 在▱ABCD 中， ∵AD∥BC， ∴∠DEC＝∠BCE. 又∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE.∴∠DEC＝∠DCE， ∴DE＝CD.又∵AD＝2AB， AB＝CD＝DE， ∴AD＝2DE， ∴AE＝DE.∵AE＝3，∴AB＝3.故选 B. 答案： B