2 － 2 －2b＋c＝4， 2 入 y＝x ＋bx＋c，得 解得 c＝－2，
b＝－1， 所以二次函数的解析式为 y＝x2－x－2.故 c＝－2，
选 A. 答案： A
3．二次函数y＝ax ＋bx＋c 的图象如图所示，则 a 反比例函数y＝ 与一次函数y＝bx＋c在同一坐标系中 x 的大致图象是( )
2 2
∴BF＝AC＝ 5，AF＝BC＝2 5，∠BFD＝90° . ∵AD∥BC， ∴△AOH∽△BOC. AO BO 1 4 1 ∴ ＝ ，即 ＝ ，OH＝ . OH OC OH 2 2 1 ∴H0，－2.
设直线 AD 的函数解析式为 y＝kx＋b. 1 把 A(－1,0)，H0，－ 代入，得 2 0＝－k＋b， ∴ 1 － ＝b. 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 答案： 4a
m 5．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y＝ 和 x 直线y＝kx＋b交于A，B两点，点A的坐标为(－3,2)， BC⊥y轴于点C，且OC＝6BC.
(2)在求解几何图形的最大面积时，还应注意自变 量的取值范围，一定要注意题目中的每一个几何量的 可能范围， 一般有几种情况： 边长、 周长、 面积大于 0， 三角形中两边之和大于第三边，圆的周长与半径的关 系．
3．考查方向 (1)与三角形结合，涉及三角形面积、三角形相 似、等腰三角形和直角三角形的性质等知识的相关计 算问题； (2)与特殊平行四边形结合，涉及特殊平行四边形 的判定、某些线段长度的计算问题； (3)涉及动点的存在探究性问题．
【点拨】 本题考查利用二次函数求几何图形面积 最值的问题．(1)直接根据矩形的面积列出一元二次 方程，求出其解即可；(2)首先根据矩形的面积公式 建立 S 与 x 之间的函数关系式，然后配方，把二次 函数的解析式转化为顶点式，然后根据二次函数的 性质求函数的最值．
解：(1)∵AB＝x m，则 BC＝(28－x)m， ∴x(28－x)＝192，解得 x1＝12，x2＝16. ∴当 x＝12 时，BC＝16 m； 当 x＝16 时，BC＝12 m. ∴x 的值为 12 m 或 16 m；
方法总结： 是各类考试中常见的题型， 解决此类问题一般需要分类 讨论.
在同一个直角坐标系中同时考查两个函数的图象，
考点二 反比例函数与一次函数的综合应用 k 例 2(2014· 遂宁)已知：如图，反比例函数 y＝ 的 x 图象与一次函数 y ＝ x＋ b 的图象交于点 A(1,4) 、点 B(－4，n)．
(2)由题意可得出 S＝x(28－x)＝－x ＋28x ＝－(x－14) ＋196， ∵在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分 别是 15 m 和 6 m，
x≥6， ∴ 解得 6≤x≤13. 28－x≥15，
2
2
∵a＝－1≤0，且对称轴为 x＝14， ∴在 6≤x≤13 范围内，S 随 x 的增大而 增大， ∴当 x＝13 时，S 有最大值， S 最大值＝－(13－14) ＋196＝195(m )． 答：花园面积 S 的最大值为 195 m .
【点拨】本题考查用待定系数法求二次函数的解 析式、二次函数与相似等知识的综合应用． 解：(1)把 A(－1,0)，B(4,0)，C(0,2)代入 y＝ax2＋ bx＋c，得 0＝a－b＋c， 0＝16a＋4b＋c， 2＝c.
3 解得 b＝ ， 2 c＝2.
1 a＝－ ， 2
3．建立函数模型后，往往涉及方程、不等式、相 似等知识，最后必须检验与实际情况是否符合． 4．综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方 面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时， 要想到运用二次函数．
考点一 在同一坐标系中确定多个函数的图象 例 1(2014· 遵义 ) 已知抛物线 y ＝ ax2 ＋ bx 和直线 y＝ax＋b 在同一坐标系内的图象如图所示， 其中正确的 是( )
2 2 2
考点四
函数知识的综合应用
2
例 4(2014· 威海)如图，已知抛物线 y＝ax ＋bx＋ c(a≠0)经过 A(－1,0)，B(4,0)，C(0,2)三点．
(1)求这条抛物线的解析式； (2)E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A， B，E为顶点的三角形与△COB相似．若存在，试求 出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线 相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．
考点三
二次函014· 成都)在美化校园的活动中，某兴趣小 组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用 28 m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD(篱笆只围 AB，BC 两边)，设 AB＝x m.
(1)若花园的面积为 192 m2，求 x 的值； (2)若在 P 处有一棵树与墙 CD， AD 的距离分别是 15 m 和 6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑 树的粗细)，求花园面积 S 的最大值．
考点三
二次函数与几何图形结合
1．通过几何图形和几何知识建立函数模型，提 供设计方案或讨论方案的可行性． 2．利用二次函数求最大面积的方法 (1)求几何图形的最大面积，应先在分析图形的基 础上，引入自变量，用含自变量的代数式分别表示出 与所求几何图形相关的量，再根据图形的特征列出其 面积的计算公式，并且用函数表示这个面积，最后根 据函数关系式求出最值及取得最值时自变量的值．
温馨提示： 此类问题中常常涉及的数学思想有：数形结合思 想、分类讨论思想，解题时一定要根据具体题目有针 对性地分析，求解.
考点四
函数的综合应用
1．利用数形结合思想，借助函数的图象和性质， 形象直观地解决有关不等式的最大(小)值、 方程的解以 及图形的位置关系等问题． 2．利用转化思想，通过一元二次方程根的判别式 及根与系数的关系来解决抛物线与 x 轴交点的问题．
第15讲
函数的综合应用
考点一
一次函数与方程、不等式
1．解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为 0 时，求相应的自变量的值． 从图象上看， kx＋b＝0 的解就是直线 y＝kx＋b 与 x 轴交点的横坐标． 2．解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大 于(或小于)0 时，求自变量相应的取值范围．
2．如图，二次函数y＝x ＋bx＋c的图象过点 8 B(0，－2)，它与反比例函数y＝－ 的图象交于点 x A(m,4)，则这个二次函数的解析式为( A．y＝x －x－2 B．y＝x2－x＋2 C．y＝x ＋x－2 D．y＝x ＋x＋2
2 2 2
2
)
8 解析：将点 A(m,4)代入 y＝－ ，得 m＝－2，因 x 此点 A 的坐标为(－2,4)，将点 A 和点 B 的坐标分别代
∵A(－1,0)，B(4,0)，C(0,2)， ∴OA＝1，OB＝4，OC＝2，AB＝5. 在 Rt△AOC 中， 由勾股定理， 得 AC＝ AO ＋OC ＝ 12＋22＝ 5. 在 Rt△BOC 中， 由勾股定理， 得 BC＝ BO ＋OC ＝ 42＋22＝2 5.
2 2 2 2
∵AC2＋BC2＝( 5)2＋(2 5)2＝25， AB ＝5 ＝25， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90° . ∵AD∥BC， ∴∠CAF＝90° . 又∵BF⊥AD， ∴四边形AFBC是矩形．
考点二
二次函数与一元二次方程
判别式情况 二次函 数 y＝ ax ＋bx ＋ c(a≠0) 与x轴 的交点 a＜ 0
2
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
a＞ 0
一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0 的实数根
2
有两个不 相等的实 数根 x1， x2
有两个 相等的 实数根 x1＝x2 没有实 数根
温馨提示： 解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0 时的自变量x的取值，反映在函数图象上就是求抛物 线与x轴交点的横坐标.
解析：设点 P 的坐标为(x，y)，∵⊙P 与直线 y＝ －n 始终保持相切，∴⊙P 的半径为 y＋n.∵⊙P 恒过 点 F(0，n)，∴PF＝y＋n，即 x2＋(y－n)2＝(y＋n)2， x ＋y －2yn＋n ＝y ＋2yn＋n ，x ＝4yn.又∵y＝ax ， 1 ∴x ＝4ax n，∴n＝ . 4a
(1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△OAB 的面积； (3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变 量 x 的取值范围． 【点拨】本题对反比例函数与一次函数进行综合 考查，熟练运用待定系数法、两个函数的性质是解决 问题的关键．
k 解：(1)把点A(1,4)分别代入反比例函数y＝ 、一 x 次函数y＝x＋b，得k＝1×4,1＋b＝4， 解得k＝4，b＝3， 4 ∴反比例函数的解析式是y＝ ，一次函数的解析 x 式是y＝x＋3.
①当△AEB∽△COB时，则∠ABE＝∠CBO. ∴点E与点C重合． ∴E(0,2)． ②当△BEA∽△COB时，由抛物线的对称性知， 3 此时点E是①中点(0,2)关于对称轴x＝ 的对称点． 2 ∴E(3,2)． 综上可知，点E的坐标为(0,2)或(3,2)．
(3)如图，连接AC，过点B作BF⊥AD于点F，AD 与y轴交于点H，过点D作DM⊥x轴于点M.
2
解析：由二次函数的图象可知，c＝0，a＜0，b＜ 0.所以反比例函数的图象位于第二、 四象限，一次函 数的图象经过第二、四象限和原点．故选 D. 答案： D
4．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，若动点 P 在 抛物线 y＝ax2 上， ⊙P 恒过点 F(0，n)，且与直线 y＝－n 始终保持相切，则 n＝ 表示)． (用含 a 的代数式
k 1． 若反比例函数 y＝ 与一次函数 y＝x＋2 的图象 x 没有交点，则 k 的值可以是( A．－2 B．－1 ) C．1 D．2
k 解析：∵反比例函数 y＝ 与一次函数 y＝x＋2 的 x k y＝x， 图象没有交点，∴方程组 无解， y＝x＋2 k 2 ∴方程 ＝x＋2 无解，即 x ＋2x－k＝0 无解． x ∴Δ＝4－4×(－k)＜0.解得 k＜－1.故选 A. 答案：A