嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题一、简答题（共70 分）1、试阐述解析延拓的含义。
解析延拓的结果是否唯一（ 6 分）解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。
替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。
无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。
2、奇点分为几类如何判别（6分）在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F（ z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（ z）的可去奇点，极点及本性奇点。
判别方法：洛朗级数展开法A，先找出函数f(z)的奇点；B，把函数在的环域作洛朗展开1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点；2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点；3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。
3、何谓定解问题的适定性（ 6 分）1，定解问题有解； 2，其解是唯一的； 3，解是稳定的。
满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。
4、什么是解析函数其特征有哪些（ 6 分）在某区域上处处可导的复变函数称为该区域上的解析函数.1）在区域内处处可导且有任意阶导数 .u x, y C12）这两曲线族在区域上正交。
v x, y C23）u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。
(称为共轭调和函数 )4）在边界上达最大值。
4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（ 6 分）数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。
波动方程属于其中的双曲线方程。
5、写出 (x) 挑选性的表达式（ 6 分）f xx x 0 dxf x 0f xx dxf 0f (r )( rR 0) dvf ( R 0 )、写出复数 1i 3的三角形式和指数形式（ 8 分）62cosisin 1 32 i2三角形式：2sin 2cos 21 i 3 cos i sin2331指数形式：由三角形式得：3iz e 3、求函数z在奇点的留数（ 8 分）71)( z 2) 2(z解：奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点： z=2Re sf (1) lim (z 1)z1( z 1)( z 2)2z 1Re sf ( 2) lim 1 d ( z 2) 2z lim1 1z 21! dz(z 1)( z 2)2z 2( z1) 2cos z8、求回路积分z 1z 3dz（ 8分）解： f ( z) 有三阶奇点 z=0（在积分路径内）Re sf ( 0) lim 1 d 2 z 3 coszlim cosz - 1z 02! dz2z 3z 02原积分 =2 i Re sf (0) 2 i (1i)2x21 9 、计算实变函数定积分x 4dx（8 分）1z 21z 2 1解： f ( z)1z42(1 i ) z2(1 i ) z2(1 i) z2(1 i )z2222它具有 4 个单极点：只有 z=2(1 i ) 和 z=2(1 i ) 在上半平面，其留数分别为：22Re sflimz 2 11 22 2i( (1 i ))z 02(1 i ) z2(1 i) z22z(1 i )222Re sflimz 2 1122 2i((1 i ))z 0z2(1 i ) z2(1 i ) z2(1 i )22 22I 2 i (2 1 2 1 ) 22i2i10、求幂级数 1(z i ) k的收敛半径（ 8 分）k 1 ka k1k 1 R limlimklim1 1ka kk kk1k 1所以收敛圆为 z i 1二、计算题（共 30 分）1、试用分离变数法求解定解问题（ 14 分）u tta 2u xx 00 x l ,t 0 u x x 0ux x lut 0x 1/ 2,ut t 0令 u(x,t )X (x)T (t ) ，并代入方程得XT '' a 2 X X ' (0)T (t)X '(l)T (t)XX '''X(0) 0''T0 T ''X ''移项 2TX0 a和T''a 2 T 0在 ＜ 时，方程的解为： X (x) C 1e x C 2 e x在0时，方程的解为： X ( x) C 1 x C 2在 ＞ 时，方程的解为：X (x) C 1 cos x C 2 sin x 0由边界条件 X ' (0) 0， X ' (l ) 0得：＜0时， X (x)0时， Xx( '＞0时， X ( x) ' X (0) ' X (l )C 1l n0 CC1 cos xC 2sin xC 2，C 20 C 1 cos lC 2 sin l 0l 0n 22X ( x) C 1nxl 2cosl把0和n 2 2 代人 T 的方程 T '' a 2 T 0得：l 2T 0 (t) A 0 B 0 tT n (t) A n cosnat B n sin n at(n 1，2,3)llU (x, t ) A 0 B 0t( A n cosn atB n sinn at) cosnxn 1lllA 0A n cosnxx 1由初始条件得n 1l2n a cos nB 0B n x 0n1l l把右边的函数展成傅里叶余弦级数 , 比较两边的系数得 A 0 1 l(x1) dx B 0 1 l 0dx l 0 2 l 0A n 2 l 1 cos nB n2ln xdxl ( x ) xdx0 cosl0 2 ln a 0l12l4l (n 2k 1)得： A 0A n(cos n 1)A nn 2 2222n( n 2k )U (x, t )l1( 4ln at cos n22 2 ) cos xn 1n l l2、把下列问题转化为具有齐次边界条件的定解问题（不必求解） （6 分）u 0 u x 0 Ay(b y), u x a 0u y 0B sin x, u y ba（0否则方程无解），sin令 u( x, t) v( x,t )w( x, t)v xx v yy 0 w xx w yy 0，wx 0 Ay(b y) ，vx 0 0 vx a 0wx a x wy 0，0vy 0 B sin ，0 0 w y bva则， v， w 都可以分别用分离变量法求解了。
3、求方程y2 y 3 y e t 满足初始条件 y(0)=0,y’(0)=1 的解。
(10分)解：对方程程两边取拉氏变换，并注意到初始条件，得p2 f p 1 2p f p 3 f p 1p 1解上式这个代数方程，得f p p 21 p 1 p 3pf1 1 3 1 1 1 pp 1 8 p 1 8 p 3 4y t 1 e t 3 e t 1 e3t4 8 8。