第三章 微分中值定理习题课一、判断题（每题3分）1.函数)(x f 在0x 点处可导，且在0x 点处取得极值，那么0)(0='x f .（√）2.函数)(x f 在0x 点处可导，且0)(0='x f ，那么)(x f 在0x 点处取得极值.（× ）3.若0x 是()f x 的极值点，则0x 是()f x 的驻点. ( ×)4.函数()x f 在区间()b a ,内的极大值一定大于极小值 . (×)5.若()0,(,)f x x a b ''>∈,则()f x '在(,)a b 内单调增加 .（ √ ）6.0()0f x '=且0()0f x ''<是函数()y f x =在0x 处取得极大值的充要条件.( ×)7.函数()arctan fx x x =的图形没有拐点. （ √ ）8.因为函数y =0x =点不可导，所以()0,0点不是曲线y =.（ × ）二、选择题（每题3分）1.下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（ D ）. A ．x e B ．ln x C ．x D ．21x - 2．对于函数()211f x x=+，满足罗尔定理全部条件的区间是（D ）.（A ）[]2,0-；（B ）[]0,1；（C ）；[]1,2-（D ）[]2,2-3. 设函数()()()12sin f x x x x =--，则方程()0f x '=在 (0,)π内根的个数（ D ）(A) 0个 ; (B)至多1个; (C) 2个; (D)至少3个.4．已知函数3()2f x x x =+在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，使得该定理成立的ξ=（ D ）.（A ）13（B 1（C ）12（D 15.若函数)(),(x g x f 在区间),(b a 上的导函数相等，则该两函数在),(b a 上（ C ）. A.不相等 B .相等 C.至多相差一个常数 D.均为常数6.arcsin y x x =- 在定义域内( B ).A. 单调减函数B.单调增函数C. 有单调增区间也有单调减区间D. 没有单调性7. 函数2129223-+-=x x x y 的单调减少区间是 （ C ）. （A ）),(+∞-∞ （B ）)1,(-∞（C ）)2,1(（D ）),2(+∞8．设(),a b 内()0f x ''>，则曲线()y f x =在(),a b 内的曲线弧位于其上任一条切线的（ A ）. （A ）上方;（B ）下方;（C ）左方;（D ）右方.9.曲线32y ax bx =+的拐点为(1,3)，则（A ）. （A ）3,30a b a b +=+= （B ）0,30a b a b +=+= （C ）2,320a b a b +=+=（D ）0,340a b a b +<+=10. 设函数()y f x =在开区间(,)a b 内有()'0f x <且()"0f x <，则()y f x =在(,)a b 内（ C ）A.单调增加，图像是凹的B.单调减少，图像是凹的C.单调减少，图像是凸的D. 单调增加，图像是凸的11．函数2y ax c =+在区间()0,+∞内单调增加，则a 和c 应满足（ C ）. （A ）0a <且0c =； （B ）0a >且c 是任意实数； （C ）0a <且0c ≠；（D ）0a <且c 是任意实数.12． 函数23++=x x y 在其定义域内（ B ） （A ）单调减少 (B) 单调增加 (C) 图形是凹的(D) 图形是凸的13．若()()00,x f x 为连续曲线()y f x =上凹弧与凸弧的分界点，则（ A ）. （A ）()()00,x f x 必为曲线的拐点; （B ）()()00,x f x 必为曲线的驻点; （C ）0x 点必为曲线的极值点;（D ）0x x =必为曲线的拐点.14.函数()2ln f x x x =-的驻点是（ B ）. （A ）1x =（B ）12x =（C ）(1,2)(D) 1(,1ln 2)2+15．函数2ln(1)y x x =-+的极值（ D ）. A ．是1ln 2-- B ．是0 C ．是1ln 2- D ．不存在16.设()[0,1]()f x x f x ''=在上有＜0，则下述正确的是（ A ）( A ) (1)f '＜)0()1(f f -＜(0)f '; ( B ) (0)f '＜)0()1(f f -＜(1)f '; ( C ) (1)f '＜(0)f '＜)0()1(f f -; ( D ) (0)f '＜(1)f '＜)0()1(f f -17.设()f x 具有二阶连续的导数，且2()lim 3,ln(1)x f x x →=-+则(0)f 是()f x 的（ A ）（A ）极大值； （B ）极小值; （C ）驻点; （D ）拐点.18.设函数()y f x =在0x x =处有()0f x '=0,在1x x =处导数不存在，则( C ). A. 0x x =,1x x =一定都是极值点 B.只有0x x =可以是极值点C. 0x x =, 1x x =都可能不是极值点D. 0x x =,1x x =至少有一个是极值点三、 解答题（求极限每题4分其余每题 8分）1．求极限220000011sin sin 1cos 2(1)lim lim lim lim lim 0sin sin 22→→→→→---⎛⎫-===== ⎪⎝⎭x x x x x xx x x x x xx x x x x x （2）11lim 1ln x x x x →⎛⎫⎪⎝⎭--=()()11ln 1ln 11lim lim 11ln ln x x x x x x x x x x x→→--+-=--+11ln ln 11limlimln 1ln 22x x x x x x x x x →→+===+-+0(3)11lim 1→⎛⎫ ⎪⎝⎭--x x x e 01lim (1)→--=-xx x e x x e 0011lim lim 12xxx x x x x x x e e e xe e e xe →→-===-+++ （4）211ln(1)ln(1)lim ()limlimln(1)ln(1)x x x x x x x x xx x x→→→-+-+-==++0011111limlim lim 22(1)2(1)2x x x x x x x x x →→→-+====++ 20sin (5)lim tan →-x x x x x22sin 1cos limlimtan 3x x x x x x xx→→--==0sin 1lim66x x x→==22221(6)lim(1)→---xxx exx e2241lim→--=xx ex x22322211limlim42xxx x xexexx→→--==12=222322tan tan sec 1tan 1(7)limlimlimlimln(1)333→→→→---====+x x x x x x x xx x x x xxx1ln 1(8)lim cot →+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x arc x 1lim cot →+∞=x x arc x 222211limlim111x x x xx xx→+∞→+∞-+===+-+sin sin cos (9)limlimcos 1→→-==-x ax ax ax a x a2220021sec 77ln tan 7tan 2sec 77tan 7(10)lim lim lim 11ln tan 2tan 7sec 22sec 22tan 2+++→→→⋅⋅⋅===⋅⋅⋅x x x x xx x x x x x x x(11)lim arctan 2→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭x x x π22221arctan 12lim limlim1111→+∞→+∞→+∞--+====+-x x x x xxxxxπ2lim ln(arctan )2(12)lim arctan →+∞→+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭x xx x x x eππ2lim ln(arctan )→+∞x x x π222211lnarctan lnln arctan arctan 1limlimlim 111→+∞→+∞→+∞+⋅+===-x x x x x x xxxxππ2222lim1x xxππ→+∞=-=-+22lim arctan -→+∞⎛⎫∴= ⎪⎝⎭xx x e ππ .()tan1(13)lim 2→-xx x π解：()()()11sinln 22limlim tanln 2costan2221lim 2x x x x x x xxx x eeππππ→→--→-==1122sinlim22x xx e eπππ→---⋅==tan 0(14)1lim +→⎛⎫⎪⎝⎭xx x 011lim tan lnlim ln++→→⋅⋅==x x x x xxe e2001110ln limlim1x x x xxxe ee++→→---====2．验证罗尔中值定理对函数32452y x x x =-+-在区间[]0,1上的正确性.解：()f x 在闭区间[]0,1上连续，在开区间()0,1内可导，()()012f f ==-满足罗尔定理条件.（3分）令()2121010f x x x '=-+=，得()50,112x ±=∈，满足罗尔定理结论.3．试证明对函数2y px qx r =++应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.证明：在区间[],a b 上，()()()f b f a f b aξ-'=-代入：()()222pbqb r pa qa r p q b aξ++-++=+-解得：2a b ξ+=.4．证明方程531x x -=在()1,2之间有且仅有一个实根．证明：令()531f x x x =--，()11310f =--<， ()522610f =-->所以 ()0f x =在()1,2上至少一个根，又()4'53f x x =-，当()1,2x ∈时()'0f x >，所以单增，因此在()1,2上至多有一个根. ()0f x =在()1,2上有且仅有一个根.5． 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一个(,)a b ξ∈，使得()()0f f ξξ'+=. 提示:令()()xF x e f x =证明：令()()x F x e f x =，显然()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()()()xF x ef x f x ''=+（3分）由Larange 中值定理，则至少(,)a b ξ∈，使得()()()F b F a F b aξ-'=-又 ()()0f a f b ==∴()()0f f ξξ'+= 6．设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=.提示:令 ()()F x xf x =.证明：构造辅助函数()()F x xf x =， ()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导∴()F x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，()()()F x f x xf x ''=+且(0)()0F F a ==由Rolle 定理，至少(0,)a ξ∃∈，有()0F ξ'= 即()()0f f ξξξ'+= 7．证明：不论b 取何值，方程033=+-b x x 在区间[]1,1-上至多有一个实根证：令()()()()323,33311fx x x b f x x x x '=-+=-=+-()1,1x ∈-时，0,,f f '< 故()fx 在区间[]1,1-上至多有一个实根.8．证明：当1x >时，xe x e >⋅.证明: 令()xf x e x e =-⋅，显然()f x 在[1,]x 上满足Lagrange 中值定理的条件，由中值定理，至少存在一点(1,)x ξ∈，使得()(1)(1)()(f x f x f x e eξξ'-=-=-- 即()(1)0f x f >=又即xe x e >⋅9．证明：当0x >时，112x +>证：()()111022f x x f x '=+-=-=>()()00f x f >=,即有112x +>10．求证：1,(0,)>+∈+∞x e x x证明：令()1,,[0,)x f x e x x =--∈+∞当(0,)x ∈+∞时，()10x f x e '=->故在区间[0,)+∞上，()f x 单调递增从而当(0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f >=即1x e x >+或者：证明：()221112!2xf ee x x x x x ξξ''=++=++>+……8分11． 当1>x 时，证明：13>-x.答案参看课本p148 例6 12．证明：当0x >时，ln(1).1x x x x<+<+答案参看课本P132 例1 13．设0,1a b n >>>，证明:11()()n n n n nb a b a b naa b ---<-<-.证明：令()nf x x =，显然()f x 在[,]b a 上满足lagrange 定理条件，故至少存在一点(,)b a ξ∈，使得()()()()f a f b f a b ξ'-=-即1()nnn a b n a b ξ--=-又由b a ξ<<及1(1)n n n ξ->的单增性，得11()()n n n n nba b a b naa b ---<-<-14．设0a b >>，证明：lna b b a b aa b--<<证明：令()ln f x x =，在区间[],b a 上连续，在区间(,)b a 内可导，有拉格朗日中值定理，至少存在一点(),b a ξ∈，使得1ln ln ()a b a b ξ-=-，又因为1110,abξ<<<因此，lna b a a b abb--<<.15． 证明恒等式()arcsin arccos ,112x x x π+=-≤≤.证：令()arcsin arccos f x x x =+则()fx 在[]1,1-上连续.在()1,1-内有:()0,f x f C '=-≡≡令0,,arcsin arccos 22x C x x ππ==+=在()1,1-内成立.再根据()f x 在[]1,1-上的连续性,可知上式在[]1,1-上成立.16．求函数2y x =-的极值点和单调区间.解：132(1)y x -'=-因此，2y x =-在定义域(,)-∞+∞内有不可导点10x =和驻点21x =列表17．求函数32535y x x x =-++的单调区间，拐点及凹或凸的区间.解：23103y x x '=-+,易得函数的单调递增区间为1(,)(3,)3-∞+∞ ,单调减区间1(,3)3.610y x ''=-,令0y ''=，得53x =.当53x -∞<<时，0y ''<，因此曲线在5(,]3-∞上是凸的；当53x <<+∞时，0y ''>，因此曲线在5[,)3+∞上是凹的，故520(,)327是拐点18．试确定,,a b c 的值，使曲线32y x ax bx c =-++在（1,1-）为一拐点，在0x =处有极值，并求曲线的凹凸区间.解：232y x ax b '=-+62y x a ''=-(1,1)-为拐点，则062a =-3a ∴=由0y '=，则2360x x b -+= , 代入0x =，则0b =.11,1a b c c -++=-=曲线为3231y x x =-+, 66y x ''=-. 凸区间为(,1)-∞-, 凹区间为(1,)+∞.19．求函数()7ln 124-=x x y 的单调区间，拐点及凹或凸的区间.解：34314(12ln 7)124(12ln 4)y x x x x x x'=-+⋅⋅=-，易得函数的单调递增区间为13(,)e +∞,单调减区间13(0,)e .()232112(12ln 4)412144ln 0y x x x x x x x''=-+⋅⋅=>，令0y ''=，得1x =.当01x <<时，0y ''<，因此曲线在(0,1]上是凸的；当1x <<+∞时，0y ''>，因此曲线在[1,)+∞上是凹的，故(1,7)-是拐点 20．求函数arctan x y e =的单调区间，拐点及凹或凸的区间．解：arctan 211x y e x'=⋅+>0,因此单调增区间是R ,arctan arctan arctan 2222221212(1)(1)(1)xxx x x y eee x x x ⎡⎤⎡⎤-''=+-=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦， 令0y ''=，得12x =.当12x -∞<<时，0y ''>，因此曲线在1(,]2-∞上是凹的；当12x <<+∞时，0y ''<，因此曲线在1[,)2+∞上是凸的，故1arctan21(,)2e是拐点21．求函数1234+-=x x y 的拐点和凹凸区间.解：3246y x x '=-2121212(1)y x x x x ''=-=- 令0y ''=，得10x =，21x = 列表 （4分）22．求函数32391=+-+y x x x 的极值.解：2'3693(1)(3)y x x x x =+-=-+''66y x =+ 令0'=y 得驻点：121,3x x ==-.当21x =时，''0,y >取得极小值，其值为4-. 当33x =-时，''0y <，取得极大值，其值为28.23．求函数23(1)1=-+y x 的极值.解： 226(1)y x x '=-22226(1)24(1)y x x x ''=-+-令0y '=，得1231,0,1x x x =-==(0)60y ''=>，故20x =是极小值点.(1)0y ''±=， 无法用第二充分条件进行判定.在11x =-的附近的左右两侧取值均有0y '<，故11x =-不是极值点. 在21x =的附近的左右两侧取值均有0y '>，故21x =不是极值点. 极小值(0)0y =24．求函数32(1)(23)=-+y x x 的极值点和单调区间.解：22323(1)(23)4(1)(23)(1)(23)(105)0y x x x x x x x '=-++-+=-++=所以，驻点11x =，232x =-，312x =-列表∴()f x 在32x =-处取得极大值3()02f -=()f x 在12x =-处取得极小值127()22f -=-单调递增区间31(,],[,)22-∞--+∞，单调递增区间31[,]22--25．试问a 为何值时，函数1()sin sin 23=+f x a x x 在3π处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解：2()cos cos 23f x a x x '=+()f x 在3π处取得极值22121()coscos03333232f a a πππ'∴=+=⋅-⋅= 23a ∴=即 ()2()cos cos 23f x x x '=+()2()sin 2sin 23f x x x ''∴=--222()sin 2sin 203333322f πππ⎛⎛⎫''∴=--=-⋅+<⎪⎝⎭⎝⎭所以它是极大值，极大值为212()sinsin333332f πππ∴=+=26．求函数3223y x x =-在区间[]1,4上的最大值与最小值. 解：212660,0,1y x x x x '=-===(舍去0x =)()()11,480,f f =-=，故最大值为80，最小值为－1.27．、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m 长的墙壁.问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解：设小屋长 x m ，宽 y m ，220,102x x y y +==-.2101022x x S x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，100,10S x x '=-==故小屋长10米，宽5米时，面积最大.28.某厂每批生产产品x 单位的总费用为()5200C x x =+（元），得到的收入是()2100.01R x x x =-（元）.问每批生产多少个单位产品时总利润()L x 最大？解：()()()22100.0152000.015200L x x x x xx =--+=-+-()0.0250,250L x x x '=-+==（单位）()0.020L x ''=-<，故250x =单位时总利润最大.。