含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x 二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆，所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ；当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。

三、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；例5 解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--a x a x ，故对应的方程必有两解。

本题只需讨论两根的大小即可。

解：原不等式可化为：()0)1(<--ax a x ，令a a 1=，可得：1±=a ，∴当1-<a 或10<<a 时，a a 1< ，故原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|；当1=a 或1-=a 时，a a 1=,可得其解集为φ； 当01<<-a 或1>a 时, a a 1>,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|。

例6 解不等式06522>+-a ax x ，0≠a分析 此不等式()0245222>=--=∆a a a ，又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ，故只需比较两根a 2与a 3的大小.解 原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为a x a x 3,221==，当0a 时，即23a a ，解集为{}a x a x x 23|<>或；当0<a 时，即23a a ，解集为{}|23x x a x a ><或一元二次不等式 参考例题（2）1．(1)解不等式121≤-xx （}0,1|{>-≤x x x 或）(2)不等式11<-x ax的解集为}21|{><x x x ，或，求a 的值. （21=a ）2．解下列关于x 的不等式：（1）01)1(2<++-x a a x （2）)23(0)3)(2(-≠≠<-+-a a x x ax ，且}1|{01,1)3(1)2(}1|{10,1)1(a x ax a a a ax a x a a <<<<->Φ±=<<<<-<时，或当时，当时，或当 }3,2|{3)3(}3,2|{32)2(}32,|{2)1(a x x x a x a x x a x a x x a <<-<><<-<<<-<<-<-<或时，当或时，当或时，当（3）01)1(2<++-x a ax （4）0)2)(2(>--ax x}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(<<>Φ=<<<<>=><<x a x a a ax x a x x a x ax x a 时，当时，当时，当时，当或时，当 }2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(><>≠=><<<<=<<<x ax x a x x a ax x x a x x a x ax a 或时当时当或时当时当时当（5）012<++x ax （6）)(11R a a x x ∈-<-Φ≥-+-<<---<<-<=--->-+-<<时，当时，当时，当或时，当41)4(}24112411|{410)3(}1|{0)2(}2411,2411|{0)1(a a a x a a x a x x a aax a a x x a }1,1|{0)3(}1|{0)2(}11|{0)1(a a x x x a x x a x aa x a -><<<=<<->或时，当时，当时，当3．（1）若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.（22≤<-a ）（2）若不等式13642222<++++x x m mx x 的解集为R ，求实数m 的取值范围.（31<<m ）4．（1）已知}0)1(|{},023|{22≤++-=≤+-=a x a x x B x x x A ，①若A B ，求实数a 的取值范围.；（2>a ）②若A B ⊆，求实数a 的取值范围.；（21≤≤a ）③若B A 为仅含有一个元素的集合，求a 的值.（1≤a ）（2）已知}031|{≤--=x x x A ，B B A a x a x x B =≤++-= 且},0)1(|{2，求实数a 的取值范围. （31<≤a ）(3) 关于x 的不等式2)1(|2)1(|22-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x 的解集依次为A 与B ， 若B A ⊆，求实数a 的取值范围. （31,1≤≤-=a a 或）（4）设全集R U =，集合}3|12||{},01|{<+=≥+-=x x B x ax x A ，若R B A = ， 求实数a 的取值范围. （12≤≤-a ）（5）已知全集R U =，}034|{},082|{},06|{2222<+-=>-+=<--=a ax x x C x x x B x x x A ，若C B A ⊆)( ，求实数a 的取值范围.（ 21≤≤a ）一元二次不等式及其解法1．二次函数的图象及性质:二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a bx 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac ab 4422，． 2．二次函数的解析式的三种形式：2()f x ax bx c =++（一般式）；12()()()f x a x x x x =-⋅-（零点式）； n m x a x f +-=2)()(（顶点式）．3．一元二次不等式的解法 一元二次不等式20axbx c ++>()200ax bx c a ++<≠或的解集：设相应的一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅4．解一元二次不等式的步骤： (1)将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2>0(或<0)(a >0)；(2)计算判别式∆，分析不等式的解的情况；(3)写出解集． 5．讨论二次函数()02≠++=a c bx ax y 在指定区间[]q p ,上的最值问题：(1)注意对称轴a b x2-=与区间[]q p ,的相对位置．一般分为三种情况讨论，即：①对称轴2ba -在区间左边，函数在此区间上具有单调性；②对称轴2b a -在区间之内；③对称轴2ba-在区间右边．（2）函数()02≠++=a c bx ax y 在区间[]q p ,上的单调性．要注意系数a 的符号对抛物线开口的影响．6．二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置． 三、典型例题选讲题型1：考查一元二次函数的性质 例1 函数2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是（ ）A ．0b ≥B ．0b ≤C ．0b >D ．0b <解：∵函数2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞的对称轴为2b x =-， ∴函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞）是单调函数⇔ -(0,)2b ∉+∞⇔02b-≤，⇔0b ≥．故选A ．归纳小结：二次函数的单调区间是(,]2b a -∞-和[,)2ba-+∞，结合开口方向就可得出所需的条件，从而求出b 的范围．例2已知二次函数的对称轴为x =x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析．解：∵二次函数的对称轴为x=2()(f x a x b =++，∵()f x 截x 轴上的弦长为4，∴()f x过点(2,0)和(2,0)，()f x 又过点(0,1)-，∴4021a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解之得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴21()(22f x x =-．归纳小结：求二次函数的解析式一般采用待定系数法，但要注意根据已知条件选择恰当的解析式形式：一般式、零点式和顶点式，正确的选择会使解题过程得到简化． 题型2：简单不等式的求解问题 例3 求下列不等式的解集． （1）01442>+-x x；（2）0322>-+-x x解法一：因为210144,0212===+-=∆x x x x 的解是方程．所以，原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠21x x ． 解法二：整理，得0322<+-x x ．因为032,02=+-<∆x x 方程无实数解，所以不等式0322<+-x x 的解集是∅．从而，原不等式的解集是∅．归纳小结：解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系，按照解一元二次不等式的步骤求解，必要时要画出二次函数的图象进行观察． 例4 不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值．解法一：设022=-+bx ax的两根为1x 、2x ，由韦达定理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+a x x a b x x 22121 由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=-+-=-21221aa b∴1=a ，1-=b ，此时满足0>a ，0)2(42>-⨯-=∆a b ． 解法二：构造解集为{}21<<-x x 的一元二次不等式：0)2)(1(<-+x x ，即022<--x x ，此不等式与原不等式022<-+bx ax 应为同解不等式，故1=a ，1-=b ．归纳小结：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为{}21<<-x x ，不等式022<-+bx ax 需满足条件0>a ，0>∆，022=-+bx ax 的两根为11-=x ，22=x ．在解题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系．题型3：含参不等式的求解问题 例5 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．证：分以下情况讨论(1)当0=a 时，原不等式变为：01<+-x ，∴1>x ，即不等式的解集为{|1}x x >(2)当0≠a 时，原不等式变为：0)1)(1(<--x ax ① ①当0<a 时，①式变为0)1)(1(>--x ax ，∴不等式的解为1>x 或a x 1<．即不等式的解集为1{|1}x x x a><或；②当0>a 时，①式变为0)1)(1(<--x a x ．②，∵a aa -=-111， ∴当10<<a 时，11>a ，此时②的解为a x 11<<．即不等式的解集为1{|1}x x a<<；当1=a 时，11=a ，此时②的解为∅．当1a >时，11a <，即不等式的解集为1{|1}x x a<<． 归纳小结：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0<a 时，解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax应首选做到将二次项系数变为正数再求解．题型4：一元二次不等式的应用 例6 （1）已知函数()⎩⎨⎧≥-<+-=0101x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是（ ）A ．{}121|-≤≤-x x B ．{}1|≤x xC ．{}12|-≤x xD ．{}1212|-≤≤--x x解：依题意得11010(1)()(1)1x x x x x x x x +<+⎧⎧⎨⎨++-++⎩≥≤⎩≤或所以1111R x x x x ≥-∈⎧<-⎧⎪⎨⎪≤⎨⎩≤⎩或1111x x x ≤≤<-⇒⇒≤-或，选C ． （2）若函数f (x ) =1222--+aax x 的定义域为R ，则a 的取值范围为_______．解：函数()f x =R ，∴对一切x R ∈都有2221xax a+-≥恒成立，即220x ax a +-≥恒成立，0∴∆≤成立，即2440a a +≤，10a ∴-≤≤，故选A ．归纳小结：解一元二次不等式往往与分段函数、指数函数和对数函数结合进行综合考查，一般是借助于函数的性质和图象进行转化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相应一元二次函数的性质，体现“三个二次”之间的紧密联系，这也是一元二次不等式的重要考点之一．例7 已知函数21sin sin 42a y x a x =-+-+的最大值为2，求a 的值． 解：令sin t x =，[1,1]t ∈-，∴221()(2)24a y t a a =--+-+，对称轴为2a t =，当112a-≤≤，即22a -≤≤时，2max 1(2)24y a a =-+=，得2a =-或3a =（舍去）．当12a >，即2a >时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-上单调递增，由max 111242y a a =-+-+=，得103a =；当12a <-，即2a <-时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-上单调递减，由max 111242y a a =---+=，得2a =-（舍去）．综上可得，a 的值为2a =-或103a =．归纳小结：令sin t x =，问题就转化为二次函数的区间最值问题，再由对称轴与区间[1,1]-的三种位置关系的讨论就可求得a 的值．此题中要注意0a <的条件．例8 设不等式2220x ax a -++≤的解集为M ，如果M ⊆[1,4]，求实数a 的取值范围？解：M ⊆[1,4]有两种情况：其一是M =∅，此时∆＜0；其二是M ≠∅，此时∆=0或∆＞0，分三种情况计算a 的取值范围．设2()22f x x ax a =-++，有∆=2(2)4(2)a a --+=24(2)a a --，当∆＜0时，－1＜a ＜2，M =∅⊆[1,4]；当∆=0时，a =－1或2；当a =－1时M ={1}-⊄[1,4]；当a =2时，m ={2}⊆[1,4] 当∆＞0时，a ＜－1或a ＞2．设方程()0f x =的两根1x ，2x ，且1x ＜2x ，那么M =［1x ，2x ］，M ⊆[1,4]⇔1≤x 1＜x 2≤4⎩⎨⎧>∆≤≤>>⇔0,410)4(,0)1(且且a f f ，即30 1870 0 12a a a a a -+>⎧⎪->⎪⎨>⎪⎪<->⎩，，，或，解得2＜a ＜718，∴M ⊆［1，4］时，a 的取值范围是(－1，718)．一元二次不等式解法应试能力测试1．不等式0x2x 62<--的解集是( )A ．}2x 23|x {<<-B ．}23x 2|x {<<-C ．}2x 23x |x {>-<或D ．}23x 2x |x {>-<或2．设集合M ＝{x|0≤x<2}，}03x 2x |x {N 2<--=，则有M ∩N ＝( )A ．{x|0≤x<1}B ．{x|0≤x<2}C ．{x|0≤x ≤1}D ．{x|0≤x ≤2} 3．对于任意实数x ，不等式0)2a (ax 2ax 2<+-+恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．－1≤a ≤0B ．－1≤a<0C ．－1<a ≤0D ．－1<a<04．不等式0)6x )(4x(22≤--的解集为( )A ．{x|－2≤x ≤2}B ．{x|x ≤－2或x ≥2}C ．{x|－2≤x ≤2或x ＝6}D ．{x|x ≥2} 5．已知}Z x 04x 3x|x {A 2∈≤--=，，}Z x 06x x 2|x {B 2∈>--=，，则A ∩B 的非空真子集个数为( ) A ．2 B ．3 C ．7 D ．8 6．已知}0q px x|x {A 2≤++=，}01x 3x |x {B >+-=，且A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x|3<x ≤4}，则p 、q 的值为( ) A ．p ＝－3，q ＝－4 B ．p ＝－3，q ＝4 C ．p ＝3，q ＝－4 D ．p ＝3，q ＝4 7．若关于x 的二次不等式021mx 8mx 2<++的解集是{x|－7<x<－1}，则实数m 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．不等式ax<b 与01x x 2<++同解，则( )A ．a ＝0且b ≤0B ．b ＝0且a>0C ．a ＝0且b>0D ．b ＝0且a<01．不等式035|x |3x22>--的解为_______________．2．使函数|x |313x 2x y 2-+--=有意义的x 的取值范围是_______________．3．已知}02x 3x|x {A 2≤+-=，}0a x )1a (x |x {B 2≤++-=，若B A ≠⊂，则a 的取值范围是_______________；若B A ⊇，则a 的取值范围是_______________． 4．关于x 的不等式0bx xa <+-(a ＋b>0)的解集是_______________．1．为使周长为20cm 的长方形面积大于2cm 15，不大于2cm 20，它的短边要取多长？2．解不等式x 21|x 2x |2<-．3．解关于x 的不等式04x )1a (2ax 2>++-(a>0)．4．k 为何值时，关于x 的不等式13x 6x 4kkx 2x 222<++++对一切实数x 恒成立．参考答案一、1．D 2．B 3．C 4．C 5．A 提示：因为A ∩B ＝{3，4}6．A 提示：因B ＝{x|x<－1或x>3}，由已知得A ＝{x|－1≤x ≤4}∴－1，4是0q px x 2=++的两根，∴p ＝－3，q ＝－4．7．C 8．A ，提示：因01x x 2<++的解为∅，只有a ＝0且b ≤0时，ax<b 解为∅二、1．x<－5或x>5 提示：原不等式化为035|x |3|x |22>--，∴|x|>52．{x|－3<x ≤－1} 3．a>2，1≤a ≤2 ，提示：∵A ＝{x|1≤x ≤2}，B ＝{x|(x －1)(x －a)≤0}，∵B A ≠⊂，∴a>2 4．{x|x<－b 或x>a}，提示：原不等式可化为(a －x)(x ＋b)<0，即(x －a)(x ＋b)>0，∵a ＋b>0，∴a>－b ，∴x>a 或x<－b ． 三、1．设长方形较短边长为x cm ，则其邻边长(10－x)cm ，显然0<x<5，由已知⎩⎨⎧≤->-20)x 10(x 15)x 10(x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧-≤+≥+<<-55x 55x 105x 105或∴55x 105-≤<-． 2．当x ≤0时，不等式无解，当x>0时，不等式化为x 21|2x |x <-，即21|2x |<- 解得：25x 23<< 3．原不等式化为(ax －2)(x －2)>0 ，∵a>0，∴0)2x )(a2x (>--，当a ＝1时，2a 2=，∴0)2x (2>-，∴{x|x ∈R且x ≠2}，当a ≠1时：若a>1，则2a 2<，∴}2x a 2x |x {><或，若0<a<1，则2a 2>，∴}22|{ax x x ><或．4．∵3x 6x 42++恒正，∴不等式化为3x 6x 4k kx 2x 222++<++，即0)k 3(x )k 26(x 22>-+-+恒成立∴⊿0)k 3(8)k 26(2<---=，∴03k 4k 2<+-，∴1<k<3．。