专题四 函数的图像、函数与方程一、基本初等函数1.五种幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1图像值域奇偶性单调性2.指数函数的图象与性质y ＝a xa ＞10＜a ＜1图象定义域值域过定点 当x ＞0时， ；x ＜0时，当x ＞0时，；x ＜0时，性质在R 上是 函数在R 上是函数3.对数函数的图象与性质log a y xa >10<a <1图象定义域 值域_________定点过点单调性在(0，＋∞)上是函数在(0，＋∞)上是函数函数值当x >1时，y >0；当x >1时，y <0；考点一：知式选图1．【2017课标1，文8】函数的部分图像大致为sin21cos xy x =- A． B ．C ．D ．2.【2017课标3，文7】函数的部分图像大致为（ ）2sin 1xy x x =++A B C D3．(2016·浙江，3，易)函数y ＝sin x 2的图象是( )解．D [考向1]y ＝sin x 2为偶函数，排除A ，C.当x ＝时，y ＝sin x 2＝0，据此可排除B ，故选D.π4．(2016·课标Ⅰ，9，中)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )5．(2014·浙江，8，易)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )ABC D5．D [考向1]方法一：分a ＞1，0＜a ＜1两种情形讨论．当a ＞1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a 递增较快，排除C ；当0＜a ＜1时，y ＝x a 为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A ，由于y ＝x a 递增较慢，所以选D.6．(2012·湖北，6，中)已知定义在区间[0，2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )(排除法)：当x ＝1时，y ＝－f (1)＝－1，排除A ，C ；当x ＝2时，y ＝－f (0)＝0，排除D.故选B.7.(2015·浙江，5)函数f (x )＝cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )(x －1x)8.(2013·山东，9)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )解．D [考向1]y ＝sin x 2为偶函数，排除A ，C.当x ＝时，y ＝sin x 2＝0，据此可排除B ，故选D.π9. (2016·山东省实验中学模拟，3)函数f (x)＝的图象可能是( )sin xln （x ＋2）解．A [考向1]由题意知∴x ＞－2且x ≠－1，故排除B ，D.{x ＋2＞0，ln （x ＋2）≠0，)由f (1)＝＞0，可排除C ，故选A.sin 1ln 310．函数y ＝|x ＋1|的大致图象为( )(12)解析：选B 该函数图象可以看作偶函数y ＝|x |的图象向左平移1个单位得到的．(12)11．函数y ＝的大致图象是( )log2|x |xA B C D 解析：选C 由于＝－，所以函数y ＝是奇函数，其图象关于原点对称．当x >0时，对函log2|－x |－xlog2|x |xlog2|x |x数求导可知函数图象先增后减，结合选项可知选C.12.【2017课标1，文9】已知函数，则()ln ln(2)f x x x =+-A ．在（0，2）单调递增B ．在（0，2）单调递减()f x ()f x考点二：利用函数的图象研究方程根的个数13. (2011·课标全国，12)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个 B ．9个 C ．8个 D ．1个解：在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝f (x )和y ＝|lg x |的图象，如图．又lg 10＝1，由图象知选A.14.(2015·安徽，14)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．解：函数y ＝|x －a |－1的大致图象如图所示，∴若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，只需2a ＝－1，可得a ＝－.1215．(2016·浙江金华模拟，4)用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小数，若f (x )＝min 的图象关于直线{|x |，|x ＋t |}x ＝－对称，则t 的值为( )12A ．－2B ．2C ．－1D ．1解．D [考向2]由图知t ＝1.16．(2012·北京，5，易)函数f (x )＝x －的零点个数为( )12(12)x解．B 令f (x )＝x －＝0，得x ＝，求零点个数可转化为求两个函数图象的交点个数，如图所示．12(12)x 12(12)x由图可知，两函数图象有1个交点，故选B.17．(2013·天津，7，中)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：B 易知函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数⇔方程|log 0.5x |＝＝的根的个数⇔函12x (12)x数y 1＝|log 0.5x |与y 2＝的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两(12)x个函数图象有两个交点，故选B.18．(2015·湖南，14，中)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．【解析】　因为y ＝f (x )有两个零点，所以|2x －2|－b ＝0有两个实根．即|2x －2|＝b 有两个实根．令y 1＝|2x －2|，y 2＝b ，则y 1与y 2的图象有两个交点．由图可知b ∈(0，2)时，y 1与y 2有两个交点．【答案】　(0，2)判断函数零点个数的常见方法(1)方程法：解方程f (x )＝0，方程有几个解，函数f (x )就有几个零点；(2)图象法：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴的交点个数即为函数f (x )的零点个数；(3)将函数f (x )拆成两个常见函数h (x )和g (x )的差，从而f (x )＝0⇔h (x )－g (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数即为函数y ＝h (x )与函数y ＝g (x )的图象的交点个数；(4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ来判断．考点三：由函数图像求参数范围19.(2013·课标Ⅰ，12)已知函数f (x )＝若≥ax ，则a 的取值范围是( ){－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0.)|f （x ）|A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2，1] D ．[－2，0]【解析】　(1)＝其图象如图．|f （x ）|{x 2－2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0.)由对数函数图象的变化趋势可知，要使ax ≤，则a ≤0，|f （x ）|且ax ≤x 2－2x (x <0)，即a ≥x －2对x <0恒成立，所以a ≥－2.综上，－2≤a ≤0，故选D.数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解．B 设g (x )＝ln x ，h (x )＝2[x ]－3，当0＜x ＜1时，h (x )＝－3，作出图象，两个函数图象有一个交点，即f (x )有一个零点；当2≤x ＜3时，h (x )＝1，ln 2≤g (x )＜ln 3.此时两函数图象有一个交点，即f (x )有一个零点，综上，共有两个零点．21.函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间上有零点，则实数a 的取值范围是( )(12，3)A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞) C.D.[2，52)[2，103)解：令f (x )＝0，则a ＝.x 2＋1x令g (x )＝，则g ′(x )＝1－.x 2＋1x1x 2当x ∈时，g ′(x )＜0，当x ∈(1，3)时，g ′(x )＞0，(12，1)∴g (x )在上单调递减，在(1，3)上单调递增，∴g (x )的值域为，∴a 的取值范围是.(12，1)[2，103)[2，103)22.已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝若函数g (x )＝f (x )－x －a 有两个不同的零点，则实数{2－x －1，x ≤0，f （x －1），x >0，)a 的取值范围是________．【解析】　当x ≤0时，f (x )＝2－x －1.当0＜x ≤1时，－1＜x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1，f (x )在(0，＋∞)是周期为1的函数，如图，若函数g (x )＝f (x )－x －a 有两个不同的零点，即函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点故a ＜1.【答案】　(－∞，1)已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．考点四：比大小23.(2016·课标Ⅰ，8，中)若a >b >0，0<c <1，则( )解．B [考向4]对于选项A ，log a c ＝，log b c ＝，∵0<c <1，∴lg c <0，而a >b >0，所以lg a >lg b ，但不能lg c lg a lg clg b 确定lga ，lgb 的正负，所以它们的大小不能确定；对于选项B ，∵0<c <1，∴y ＝log c x 为减函数，又a >b >0，∴logc a <log c b ；对于选项C ，利用y ＝x c 在第一象限内是增函数，即可得到a c >b c ；对于选项D ，由0<c <1知，y ＝c x 在R 上为减函数，易得c a <c b ，故选B.24．(2014·天津，4，易)设a ＝log 2π，b ＝log π，c ＝π－2，则( ) 12A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ． c >b >a解．C [考向4]∵a ＝log 2π>1，b ＝log π<0，c ＝π－2＝>0，但c <1，∴b <c <a .121π225．(2013·课标Ⅱ，8，易)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )A ．a >c >bB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b解．D [考向3]a ＝log 32<log 33＝1，c ＝log 23>log 22＝1，由对数函数的性质可知log 52<log 32，∴b <a <c ，故选D.26.(2014·辽宁，3)已知a ＝2－，b ＝log 2，c ＝log ，则( )13131213A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．c >b >a解：由a ＝2－知0<a <1，而b ＝log 2<0，c ＝log >1，∴c >a >b .1313121327.(2012·重庆，7)已知a ＝log 23＋log 2，b ＝log 29－log 2，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )33A ．a ＝b ＜c B ．a ＝b ＞c C ．a ＜b ＜c D ．a ＞b ＞c解．B 因为a ＝log 23＋log 2＝log 23 ＝log 23＞1，3332b ＝log 29－log 2＝log 23 ＝a .33c ＝log 32＜log 33＝1.∴a ＝b ＞c .28.(2015·天津，7)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f ，b ＝f (log 25)，(l og 0.53)c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为(　)A ．a <b <cB ．c <a <bC ．a <c <bD ．c <b <a∵f (x )是偶函数，∴m ＝0.∴f (x )＝2|x |－1，在[0，＋∞)上单调递增，a ＝f (log 0.53)＝f (－log 23)＝f (log 23)，b ＝f (log 5)，c ＝f (0)＝f (log 1)．又log21<log23<log25，∴c<a<b.。