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2020届高考数学艺术生短期集训专题知识突破:考点10-函数的图象及其变换

考点十 函数的图象及其变换知识梳理1.函数图象的作法(1)直接法(2)图象变换法(3)描点法2.描点法作函数图象(1)基本步骤:列表、描点、连线.(2)注意事项:①列表前应先确定函数的定义域,并化简函数解析式,根据作图需要讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性) .②列表时注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点.③连线时应根据函数特征,用平滑的曲线(或直线)连接各点.3.基本初等函数的图象(1) 一次函数y =ax +b (a ≠0)(2) 二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)(3) 反比例函数y =k x(k ≠0) (4) 指数函数y =a x (a >0,a ≠1)(5) 对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)4.函数图象的变换(1)平移变换:y =f (x )――――――――――→a >0,右移a 个单位a <0,左移|a |个单位y =f (x -a ); y =f (x )――――――――――→b >0,上移b 个单位b <0,下移|b |个单位y =f (x )+b . 口诀:左加右减,上加下减.(2)伸缩变换:y =f (x )―――――――――――→0<ω<1,伸长为原来的1ω倍ω>1,缩短为原来的1ω y =f (ωx ); y =f (x )――――――――――→A >1,伸为原来的A 倍0<A <1,缩为原来的Ay =Af (x ). (3)对称变换:y =f (x )――――――→关于x 轴对称 y =-f (x );y =f (x )――――――→关于y 轴对称y =f (-x ); y =f (x )―――――――→关于原点对称y =-f (-x ). (4)翻折变换:y =f (x )―――――――――――――――――→去掉y 轴左边图,保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y =f (|x |); y =f (x )―――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y =|f (x )| 口诀:绝对值作用在x 上,右翻左;作用在y 上,下翻上. 典例剖析题型一 函数的图像识别例1 下列所给图象是函数图象的个数为________.答案 2解析:选 ①中当x >0时,每一个x 的值对应两个不同的y 值,因此不是函数图象,②中当x =x 0时,y 的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个x 的值对应唯一的y 值,因此是函数图象.变式训练 函数y =x sin x 在[-π,π]上的图像是________.① ② ③ ④答案 ①解析 容易判断函数y =x sin x 为偶函数,可排除④.当0<x <π2时,y =x sin x >0,当x =π时,y =0,可排除②、③,故选①.解题要点 函数图像的识别要点:(1)对于函数的图像,一个x 只有一个y 值与之对应;(2)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;(3)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(5)从函数的周期性,判断图象的循环往复;(6)从函数的特征点,排除不合要求的图象.题型二 作函数的图象例2 画出下列函数的图象.(1) y =2x -1,x ∈Z ,|x |≤2;(2) y =2x 2-4x -3(0≤x <3);答案:(1) (2)变式训练 作出下列函数图象(1) y =x 2-2x ()||x >1;(2) y =x |2-x |.解析 (1) ∵ ||x >1,∴ x <-1或x >1,图象是两段曲线,如图.(2) ∵ y =x |2-x |=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x (x ≥2)-x 2+2x (x<2),∴ 图象由两部分组成,如图. 题型三 函数图象的变换例3 作出下列函数图象:(1)y =-x 2+2|x |+1;(2) y =|-x 2+2x +1|解析 (1)由于y =⎩⎪⎨⎪⎧ -x 2+2x +1,x ≥0,-x 2-2x +1,x <0, 即y =⎩⎪⎨⎪⎧-(x -1)2+2,x ≥0,-(x +1)2+2,x <0. 画出函数图象如图所示,(2) 函数y =|-x 2+2x +1|的图象如图所示.变式训练 作出下列函数图象(1)y =2x +2;(2) y =x +2x -1. 解析 (1) 将y =2x 的图象向左平移2个单位.图象如下左图(2)因y =x +2x -1=1+3x -1,先作出y =3x 的图象,将其图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位,即得y =x +2x -1的图象,如上右图. 题型四 函数图象的应用例4 方程x 2-|x |+a =1有四个不同的实数解,则a 的取值范围是________.答案 (1,54)解析 方程解的个数可转化为函数y =x 2-|x |的图象与直线y =1-a 交点的个数,如图:易知-14<1-a <0,∴1<a <54. 变式训练:已知函数f (x )=|x -2|+1,g (x )=kx .若方程f (x )=g (x )有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是________.答案 (12,1) 解析 先作出函数f (x )=|x -2|+1的图象,如图所示,当直线g (x )=kx 与直线AB 平行时斜率为1,当直线g (x )=kx 过A 点时斜率为12,故f (x )=g (x )有两个不相等的实根时,k 的范围为(12,1). 解题要点 借助函数图象求解方程解的个数、参数范围时利用的是数形结合的思想,解题时可对方程或不等式适当变形,选择合适的函数进行作图.当堂练习1.设函数f (x )=2x ,则如图所示的图象对应的函数是________.答案 y =-f (-|x |)解析 该图象是函数y =-2-|x |即y =-f (-|x |)的图象..2.若函数y =f (x +3)的图象经过点P (1,4),则函数y =f (x )的图象必经过点________. 答案 (4,4)解析 法一 函数y =f (x )的图象是由y =f (x +3)的图象向右平移3个单位长度而得到的. 故y =f (x )的图象经过点(4,4).法二 由题意得f (4)=4成立,故函数y =f (x )的图象必经过点(4,4).3. 函数y =lg 1|x +1|的大致图象为____________. ①② ③④答案 ④解析 因为y =lg 1|x |是单调递减的偶函数,关于y 轴对称,则y =lg 1|x +1|的图象是由y =lg 1|x |的图象向左平移一个单位长度得到的.故选④.4.为了得到函数y =lg(x +3)-1的图象,只需把函数y =lg x 的图象上所有的点____________. ①向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度②向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度③向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度④向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度答案③解析由y=lg x图象向左平移3个单位,得y=lg(x+3)的图象,再向下平移一个单位得y =lg(x+3)-1的图象.5.方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内____________.①没有根②有且仅有一个根③有且仅有两个根④有无穷多个根答案③解析如图所示,由图象可得两函数图象有两个交点,故方程有且仅有两个根.课后作业一、填空题1.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是____________.①②③④答案③解析出发时距学校最远,先排除①,中途堵塞停留,距离没变,再排除④,堵塞停留后比原来骑得快,因此排除②,故选③.2.函数y=log2|x|的图象大致是____________.①②③④答案③解析函数y=log2|x|为偶函数,作出x>0时y=log2x的图象,图象关于y轴对称,应选③. 3.(2013·福建文)函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是____________.①②③④答案①解析依题意,得f(-x)=ln(x2+1)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,即函数f(x)的图象关于y 轴对称,故排除③.因为函数f(x)过定点(0,0),排除②,④,故选①.4.为了得到函数y=2x-3-1的图象,只需把函数y=2x的图象上所有的点____________.①向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度②向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度③向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度④向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度答案①解析 y =2x 先向右平移3个单位长度,得到y =2x -3,再向下平移1个单位长度,得到y =2x -3-1.故选①.5.函数y =1-1x -1的图象是____________. ① ② ③ ④答案 ②解析 将y =-1x 的图象向右平移1个单位,再向上平移一个单位,即可得到函数y =1-1x -1的图象.6.若关于x 的方程|x |=a -x 只有一个解,则实数a 的取值范围是____________. 答案 (0,+∞) 解析 由题意a =|x |+x ,令y =|x |+x =⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x ≥0,0,x <0,图象如图所示, 故要使a =|x |+x 只有一解,则a >0.7. 若log a 2<0(a >0,且a ≠1),则函数f (x )=log a (x +1)的图象大致是____________.① ② ③ ④答案 ②解析 ∵log a 2<0,∴0<a <1,由f (x )=log a (x +1)单调性可知①、④错误,再由定义域知②选项正确.8.(2015山东文)要得到函数y =sin ⎝⎛⎭⎫4x -π3的图象,只需将函数y =sin 4x 的图象向____平移____个单位..答案 右,π12解析 ∵y =sin ⎝⎛⎭⎫4x -π3=sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x -π12, ∴要得到函数y =sin ⎝⎛⎭⎫4x -π3的图象,只需将函数y =sin 4x 的图象向右平移π12个单位. 9.(2015新课标II 文)已知函数f (x )=ax 3-2x 的图象过点(-1,4),则a =________. 答案 -2解析 由函数f (x )=ax 3-2x 过点(-1,4),得4=a (-1)3-2×(-1),解得a =-2.10.函数f (x )=2x +1x -1图象的对称中心的坐标是________. 答案 (1,2)解析 f (x )=2+3x -1. 11.为了得到函数y =2x-3的图象,只需把函数y =2x 的图象上所有的点向________平移________个单位长度.答案 右 3二、解答题 12.分别画出下列函数的图象:(1)y =|lg x |;(2) y =x 2-2|x |-1解析 (1) y =⎩⎪⎨⎪⎧ lg x , x ≥1,-lg x , 0<x <1图象如图 (2) y =⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x -1, x ≥0,x 2+2x -1, x <0.图象如图 13.若直线y =2a 与函数y =|a x -1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点,求a 的取值范围.解析 当0<a <1时,y =|a x -1|的图象如图1所示,由已知得0<2a <1,即0<a <12. 当a >1时,y =|a x -1|的图象如图2所示,由已知可得0<2a <1,即0<a <12,但a >1,故a ∈. 综上可知,a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0,12.。

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