【人教A 版】高中数学重点难点突破：导数的概念 同步讲义（学生版）【重难点知识点网络】： 一、平均变化率 1.变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。

如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2.平均变化率一般地，函数f(x)在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --3.如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=-②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-。

二、导数的概念定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作()　或0x f '即　0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim＝ 三、求导数的方法： 求导数值的一般步骤：① 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；② 求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③ 求极限，得导数：00000()()'()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆。

也可称为三步法求导数。

【重难点题型突破】： 一、平均变化率与瞬时变化率函数(x)f 在某点()00x ,(x )f 处的导数()()00'000(x )lim lim x x f x x f x y f x x →→+-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例1．（1）设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x +Δx 时，函数的增量Δy 为（ ）A ．0()f x x +∆B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ⋅∆D ．00()()f x x f x +∆-（2）若函数f （x ）=2x 2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx ，1+Δy ），则xy∆∆等于 A.4 B.4xC.4+2ΔxD.4+2Δx 2例2.函数()y f x==在区间[1，1+Δx]内的平均变化率为________。

例3.求函数y=2x 2+5在区间[2，2+Δx]上的平均变化率；并计算当12x ∆=时，平均变化率的值。

例4.已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy．二、利用定义求导数的值例5.（1）设函数()f x 在1x =处存在导数，则0(1)(1)lim3x f x f x∆→+∆-=∆（ ）A ．1(1)3f ' B ．(1)f ' C ．3(1)f 'D ．(3)f '（2）设函数f (x )在x =1处存在导数为2,则()()113x f x f limx∆→+∆-∆= _______________．例6.用导数的定义，求函数()y f x ==在x=1处的导数。

例7.（1）求函数2()3f x x =在x =1处的导数.（2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例8.已知函数1y x=x=4处的导数.例9.已知()f x =，求'()f x ，'(2)f三、导数的几何意义例10.已知()y f x =的图象如图所示，则()A f x '与()B f x '的大小关系是A ．()()AB f x f x >''B ．()()A B f x f x =''C ．()()A B f x f x <''D ．()A f x '与()B f x '大小不能确定例11.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则[(0)]f f =；(1)(1)limx f x f x∆→+∆-∆=.例12.已知曲线31433C y x =+：． （1）求曲线C 上横坐标为2的点处的切线方程；（2）第（1）小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？【人教A 版】高中数学重点难点突破：导数的概念 同步讲义（教师版）【重难点知识点网络】： 一、平均变化率 1.变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。

如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；2.平均变化率一般地，函数f(x)在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --3.如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法：①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=-②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-。

二、导数的概念定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作()　或0x f '即　0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim＝ 三、求导数的方法： 求导数值的一般步骤：④ 求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；⑤ 求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ⑥ 求极限，得导数：00000()()'()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆。

也可称为三步法求导数。

【重难点题型突破】：一、平均变化率与瞬时变化率函数(x)f 在某点()00x ,(x )f 处的导数()()00'000(x )lim lim x x f x x f x y f x x →→+-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例1．（1）设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x +Δx 时，函数的增量Δy 为（ ）A ．0()f x x +∆B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ⋅∆D ．00()()f x x f x +∆- 【答案】 D【解析】 由公式00()()y f x x f x ∆=+∆-可得，故选D 。

（2）若函数f （x ）=2x 2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx ，1+Δy ），则xy∆∆等于 A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2Δx 2【答案】C【解析】Δy =2（1+Δx ）2－1－1=2Δx 2+4Δx ，xy∆∆=4+2Δx . 例2.函数()y f x==在区间[1，1+Δx]内的平均变化率为________。

【解析】∵(1)(1)1y f x f ∆=+∆-====，∴y x ∆=∆ 例3.求函数y=2x 2+5在区间[2，2+Δx]上的平均变化率；并计算当12x ∆=时，平均变化率的值。

【答案】∵222(2)(2)2(2)5(225)82()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆+-⋅+=∆+∆ ∴82yx x∆=+∆∆，函数在区间[2，2+Δx]上的平均变化率为82x +∆。

当12x ∆=时，829y x x∆=+∆=∆，即平均变化率的值为9. 例4.已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 【答案】∵)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴2(1)(1)23y x x x x x∆--+∆+-+∆+==-∆∆∆ 二、利用定义求导数的值例5.（1）设函数()f x 在1x =处存在导数，则0(1)(1)lim3x f x f x∆→+∆-=∆（ ）A ．1(1)3f ' B ．(1)f ' C ．3(1)f 'D ．(3)f '【答案】A 【解析】00(1)(1)1(1)(1)1limlim (1)333x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆，故选A.（2）设函数f (x )在x =1处存在导数为2,则()()113x f x f limx∆→+∆-∆= _______________．【答案】23【解析】由极限的运算法则结合导函数的定义可得：()()0113x f x f limx ∆→+∆-∆=()()01113x f x f lim x∆→+∆-∆=13×f ′(1)=23.例6.用导数的定义，求函数()y f x x==在x=1处的导数。

【解析】∵(1)(1)11y f x f x∆=+∆-=+∆111(11)1x x x x -+∆==+∆++∆+∆(11)1x x=++∆+∆∴y x ∆=∆∴01'(1)lim 2x y f x ∆→∆==-∆。

【点评】利用定义求函数的导数值，需熟练掌握求导数的步骤和方法，即三步法。

例7.（1）求函数2()3f x x =在x =1处的导数.（2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．【答案】 (1)22(1)(1)3(1)363()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆263()63y x x x x x∆∆+∆==+∆∆∆, 0lim(63)6x x ∆→+∆=，即(1)6f '=.所以函数2()3f x x =在x =1处的导数为6 .（2）依照定义，f (x )在1x =-的平均变化率，为两增量之比，需先求2200()()(1)(1)23()y f x x f x x x x x ∆=+∆-=--+∆+-+∆-=∆-∆，再求：23()3y x x x x x∆∆-∆==-∆∆∆，即为f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率。

再由导数定义得：00(1)limlim(3)3x x yf x x ∆→∆→∆'-==-∆=∆例8.已知函数1y x=x=4处的导数. 【答案】（1）0011(2)(4)(4)44'(4)lim lim x x f x f x f x x∆→∆→-+∆-+∆==∆∆0112)44lim x x x ∆→⎛⎫-- ⎪+∆⎝⎭=∆0lim x ∆→=015lim 4(4)16x x ∆→⎛-==- +∆⎝，例9.已知()2f x x =+，求'()f x ，'(2)f【答案】因为22y x x x ∆=+∆+-+，所以22(2)(2)1(22)22y x x x x x x x x x x x x x x x ∆+∆+-++∆+-+===∆∆∆+∆++++∆+++。