《备战2020年浙江省高考数学优质卷分类解析》第八章 平面解析几何纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线的方程及几何性质为主，难度在中等或以下，其中圆的问题是五年两考，直线与椭圆的位置关系，五年三考，圆锥曲线基本问题五年五考；大题则主要考查直线与抛物线的位置关系问题，五年五考，直线与椭圆位置关系问题只2016年理科考查一次；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.一．选择题1．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】双曲线的焦距是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 双曲线的焦距为.故选D.2．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】双曲线22132x y -=的焦距是（ ）A ．1B ．2C 5D ．25【答案】D 【解析】2213,2,32x y a b -=⇒=又225c a b =+5 D.3．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】双曲线的一个顶点坐标是（）A．( 2，0) B．( －，0) C．(0，) D．(0 ，)【答案】D【解析】双曲线化为标准方程为：，∴=，且实轴在y轴上，∴顶点坐标是（），故选D.4．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（）A．1 B．2 C．4 D．【答案】A【解析】因为双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长一半，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是1,选A.5．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，双曲线的标准方程为，其焦点在轴上，且，，则其渐近线方程为；故选：．6．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】过点（1,0）且与直线220x y --=垂直的直线方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．220x y +-= D ．210x y +-=【答案】C 【解析】由于直线220x y --=的斜率为12，故所求直线的斜率等于2-， 所求直线的方程为02(1)y x -=--，即220x y +-=， 故选：C ．7．【浙江省金华十校2019届高三上期末】已知双曲线的一个焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程为A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意，双曲线的右焦点为在圆上，，， ，双曲线方程为双曲线的渐近线方程为故选：B ．8．【浙江省宁波市2019届高三上期末】已知椭圆的离心率的取值范围为，直线交椭圆于点为坐标原点且，则椭圆长轴长的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 联立方程得，设，，则，由，得， ∴，化简得，∴，化简得，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即椭圆的长轴长的取值范围为，故选C ．9．【浙江省金华十校2019届高考模拟】已知椭圆C ：2214x y +=上的三点A ，B ，C ，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则直线BC 的斜率为（ ）A ．24-B ．14-C ．36-D ．3-【答案】C 【解析】设11(,)B x y ，22(,)C x y ．(0,)M m ．33(,)A x y ，直线BC 的方程为y kx m =+. ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴BMA ∆与CMO ∆的高之比为3，又BMA ∆与CMO ∆的面积之比为32，则2BM MC =.即2BM MC =u u u u r u u u u r ，1220x x ⇒+=…①联立2244y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()222418440k x mkx m +++-=. 122814km x x k -+=+，21224414m x x k-=+…②，由①②整理可得：22223614m k m k =-+…③ ∵原点O 是ABC ∆的重心，∴()3122814kmx x x k =-+=+，3211222()[()2]14my y y k x x m k=-+=-++=-+. ∵223344x y +=，∴22222282()4()41441414km m k m k k -+=⇒+=++…④． 由③④可得2112k =，∵k 0<．∴36k =-. 故选：C ．二.填空题10．【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】双曲线2214y x -=的渐近线方程是_____，离心率为_____．【答案】2y x =± 5【解析】由2204y x -=得其渐近线方程为2y x =±，且2a =，5c =，∴5e =． 故答案为：2y x =±，5． 11．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知抛物线，过点作直线交抛物线于另一点，是线段的中点，过作与轴垂直的直线，交抛物线于点，若点满足，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 由，可设.因为，是的中点，所以.所以直线的方程为.代入，可得.因为，所以点为的中点，可得.所以.所以当时，取得最小值，即的最小值为.12．【浙江省台州市2019届高三4月调研】已知为双曲线的左焦点，过点作直线与圆相切于点，且与双曲线右支相交于点，若，则双曲线的离心率为______. 【答案】【解析】如下图，取AB有中点D，连F2D，因为，所以FA＝AD＝DB，因为O为FF2的中点，A为FD的中点，OA⊥FD，所以OA∥F2D，F2D⊥FD，F2D＝2OA＝2a，在直角三角形FAO中，FA2＝OF2－OA2＝c2－a2＝b2，所以FA＝b，又由双曲线的定义，得：BF－BF2＝2a，所以BF2＝3b－2a，在Rt△BDF2中，，解得：。

离心率：e＝13．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】已知F是椭圆的右焦点，直线交椭圆于A、B 两点，若cos AFB，则椭圆C 的离心率是_____．【答案】【解析】设椭圆的左焦点为，由对称性可知，∠AF= cos∠AFB，设A AF=n，在中，由余弦定理可得=+∠AF，又m+n=2a，所以-4，即mn=3,联立直线与椭圆，得A（）,B（）,则=；又在中，由余弦定理可得=+∠AFB=，得到-，所以有=-，即=5，=4，所以e=.故答案为.14．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知椭圆的两个顶点，，过，分别作的垂线交该椭圆于不同于的，两点，若，则椭圆的离心率是__________．【答案】【解析】过作的垂线的方程为，与联立方程组解得，过作的垂线的方程为，与联立方程组解得，因为，所以15．【浙江省金华十校2019届高三上期末】已知F为抛物线C：的焦点，点A在抛物线上，点B在抛物线的准线上，且A，B两点都在x轴的上方，若，，则直线FA的斜率为______．【答案】【解析】的焦点，准线方程为，如图，设A在x轴上的射影为N，准线与x轴的交点为M，由，，可设，，可得，，即有，，则直线AF的斜率为．故答案为：．16．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】已知是椭圈上的动点，过作椭圆的切线与轴、轴分别交于点、，当（为坐标原点）的面积最小时，（、是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】如图所示，设切点直线的方程为：．联立，化为：．由直线与椭圆相切，可得：．化为：．，化为：．由，可得：，解得，．由直线的方程为：．．可得．．当且仅当时取等号．设，，．，化为：．，代入化为：，．故答案为：．三.解答题17．【浙江省宁波市2019届高三上期末】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交于.（1）求证：；（2）设，当时，求的面积的最小值.【答案】(1)见证明；(2)【解析】（1）显然斜率存在，设直线的方程，代入抛物线方程中，得，设，由韦达定理得到，∵，∴，∴直线的斜率为，易知切线方程，切线的方程，当时，联立求得：，故，. ，∴，又当时，显然有.所以.（2）由，得，结合韦达定理，，从而，又，，，由于在区间上为减函数，因此当有最小值.18．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】对于椭圆，有如下性质：若点是椭圆外一点，，是椭圆的两条切线，则切点所在直线的方程是，利用此结论解答下列问题：已知椭圆和点，过点作椭圆的两条切线，切点是，记点到直线（是坐标原点）的距离是，（Ⅰ）当时，求线段的长；（Ⅱ）求的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因为点，直线的方程式：，即，当时，直线的方程是，此时.（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线的方程是，直线的方程是.设，，则.又由点在直线的两侧可得与异号，所以.又，所以.设，则，所以，当，即时，有最大值为19．【浙江省2019届高三高考全真模拟（二)】如图所示，曲线C 由部分椭圆1C ：22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥和部分抛物线2C ：21(0)y x y =-+≤连接而成，1C 与2C 的公共点为A ，B ，其中1C 所在椭圆的离心率2.（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）过点B 的直线l 与1C ，2C 分别交于点P ，Q （P ，Q ，A ，B 中任意两点均不重合），若AP AQ ⊥，求直线l 的方程. 【答案】（Ⅰ）2,1a b ==；（Ⅱ）440x y +-=. 【解析】（Ⅰ）因为21(0)y x y =-+≤，所以0y =，即1x =±，因此(1,0),(1,0)A B -，代入椭圆方程中，得1b =，由22c a =以及 2221a c b -==，可得2a =， 所以2,1a b ==；（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出横轴上方的椭圆方程为：2222(0)y x y +=…，由题意可知：过点B 的直线l 存在斜率且不能为零，故设直线方程为1(0)x my m =+≠，代入椭圆1C 得：()222140m y my ++=，故可得点P 的坐标为：222124,1212m m m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，显然0m <，同理将1(0)x my m =+≠代入抛物线2C 方程中，得2220m y y my ++=，故可求得Q 的坐标为：22221,m m m mm ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭，AP AQ ⊥Q 222222122141101212m m m m m AP AQ m m m m ⎛⎫⎛⎫---+-∴⋅=+⋅+-⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ，2820m m +=，解得14m =-，符合0m <，故直线l 的方程为：440x y +-=.20．【浙江省台州市2019届高三4月调研】已知斜率为的直线经过点，且直线交椭圆于，两个不同的点.（Ｉ）若，且是的中点，求直线的方程；（Ⅱ）若随着的增大而增大，求实数的取值范围. 【答案】（Ｉ）；（Ⅱ）或. 【解析】（Ｉ）设，，直线的方程为，联立椭圆方程，得所以，因为点是中点，所以，代入得，所以，解得所以直线的方程为（Ⅱ）设，，直线的方程为，联立椭圆方程得所以，所以记，则记,由随着的增大而增大，所以随着的增大而增大所以函数在上单调递减当时，显然不成立当时，有，解得或21．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】如图，A 为椭圆的下顶点，过 A 的直线 l 交抛物线于B、C 两点，C 是 AB 的中点．（I）求证：点C的纵坐标是定值；（II）过点C作与直线 l 倾斜角互补的直线l 交椭圆于M、N两点，求p的值，使得△BMN的面积最大．【答案】（Ⅰ）见证明；（II）见解析【解析】（Ⅰ）易知，不妨设，则，代入抛物线方程得：，得：，为定值.（Ⅱ）点是中点，直线的斜率，直线的斜率，直线的方程：，即，不妨记，则：代入椭圆方程整理得：，设，则，，，到的距离，所以.取等号时，，得，所以，.22．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】已知抛物线：的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，直线交抛物线于另一点，的最小值为4.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）记、的面积分别为，，求的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由已知及抛物线的几何性质可得，∴，∴抛物线的方程为.（Ⅱ）设直线：，：，，，，由，，同理可得，从而，点到的距离，，∴.又，∴.当且仅当，即时有最小值.23．【浙江省金华十校2019届高三上期末】已知椭圆C：，过点分别作斜率为，的两条直线，，直线交椭圆于A，B两点，直线交椭圆于C，D两点，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N．Ⅰ若，，求椭圆方程；Ⅱ若，求面积的最大值．【答案】Ⅰ；Ⅱ见解析【解析】Ⅰ由得解得，所以，解得，故椭圆方程为：Ⅱ由得，中点，故，用代得，所以，令，则，所以时，；当时，．24．【浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考】已知椭圆左顶点为，为原点，，是直线上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于，两点（1）若，求的面积的最小值；（2）若，，三点共线，求实数的值.【答案】（1）1；（2）【解析】（1）由勾股定理、三角形面积可得：，,当且仅当等号成立．，即的面积的最小值为1．（2）设，则方程为：，则为，同理为，，，得．25．【浙江省七彩联盟2019届高三上期中】抛物线Q：，焦点为F．若是抛物线内一点，P是抛物线上任意一点，求的最小值；过F的两条直线，，分别与抛物线交于A、B和C、D四个点，记M、N分别是线段AB、CD的中点，若，证明：直线MN过定点，并求出这个定点坐标．【答案】(1) 4(2)见证明【解析】由抛物线定义知，等于P到准线的距离，的最小值即为点E到准线的距离，等于4．证明：由，得：，解得，代入，得，同理，，，：，变形得：，因为，所以进一步化简得，所以MN 恒过定点．26.【浙江省金华十校2019届下学期高考模拟】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点是(1,0)F ，直线1l ：1y k x =，2l ：2y k x =分别与抛物线C 相交于点A 和点B ，过A ，B 的直线与圆O ：224x y +=相切．（1）求直线AB 的方程（含1k 、2k ）；（2）若线段OA 与圆O 交于点M ，线段OB 与圆O 交于点N ，求MON S ∆的取值范围． 【答案】（1）1212()40k k x k k y -++=；（2）5(2]5【解析】（1）焦点是(1,0)F ，可得12p=，即2p =，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 抛物线方程为24y x =，联立1y k x =，可得21144(,)A k k ，同理可得22244(,)B k k ， 若AB 斜率存在，可得12121212AB y y k kk x x k k -==-+，AB 的方程为122112144()k k y x k k k k -=-+，化为1212()40k k x k k y -++=，AB 的斜率不存在时，也满足上面的方程，则直线AB 的方程为1212()40k k x k k y -++=；（2）过A ，B 的直线与圆O ：224x y +=相切，可得()()2212122d r k k k k ===++，化简为221212()()4k k k k ++=，即有1220k k -≤<，121222221122cos ||||OA OB AOB OA OB x y x y⋅∠==⋅+⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r 122221212()1k k k k =+++，由221212()()4k k k k ++=，可得1212cos 52AOB k k ∠=-，22121212()44sin 52k k k k MON k k --+∠=-，设1252(5,9]t k k =-∈，则222121212()444sin 452MONk k k k S MON k k ∆--+=∠=⋅-2(5)2(5)444t t t----+=⋅218494918()182494t t t t t-+-==-+≤-=，当7t =取等号，即121[2,0)k k =-∈-，所以max ()2MON S ∆=， 又2491618(5)55MON S ∆>-+=，即455MON S ∆>， 即有MON S ∆的取值范围为45(,2]. 27.【浙江省浙南名校联盟2019届高三上期末联考】已知直线与椭圆恰有一个公共点，与圆相交于两点.（I ）求与的关系式；（II）点与点关于坐标原点对称.若当时，的面积取到最大值，求椭圆的离心率. 【答案】（1）（II）【解析】（I）由，得，则化简整理，得；（Ⅱ）因点与点关于坐标原点对称，故的面积是的面积的两倍.所以当时，的面积取到最大值，此时，从而原点到直线的距离，又，故.再由（I），得，则.又，故，即，从而，即.28.【浙江省2019届高考模拟卷（三)】如图，直线交椭圆于两点，点是线段的中点，连接并延长交椭圆于点.（1）设直线的斜率为，求的值；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）设，则，将A、B点坐标代入椭圆方程，有……①，……②，①-②得，即，即；（2）由（1）知，当时，有，则有直线，直线，不妨设，则有，故点到直线的距离，联立方程组，即，则，故面积，令，则，令则或2（舍去）∴时，有最大值243，即面积的最大值为.29.【浙江省2019届高考模拟卷（一)】抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为2．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）如图，为抛物线上三点，且线段与轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列，若的面积是面积的，求直线的方程．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】（1）解：设，则，，由抛物线定义，得所以． 5分（2）由（1）知抛物线方程为，．①设，，（均大于零)，，与轴交点的横坐标依次为． 6分当轴时，直线的方程为，则，不合题意，舍去． 7分②与轴不垂直时，，设直线的方程为，即，令得2，同理2，2， 9分因为依次组成公差为1的等差数列，所以组成公差为2的等差数列．设点到直线的距离为，点到直线的距离为，因为，所以=2，所以得，即，所以，所以直线的方程为：12分解法二：（1）同上．（2）由（1）知抛物线方程为，．由题意，设与轴交点的横坐标依次为设，（均大于零）． 6分①当轴时，直线的方程为，则，不合题意，舍去． 7分②与轴不垂直时，设直线的方程为，即，同理直线的方程为，由得则所以， 10分同理，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，因为，所以=2，所以化简得，即，所以直线的方程为：12分30.【浙江省2019届高考模拟卷（二)】已知椭圆，过点，且离心率为，过点作互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点.（1）求椭圆方程；（2）求面积的最大值.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）∵椭圆的离心率为，∴，∴椭圆的方程为，∵椭圆过点，∴，解得．∴椭圆的方程为．（2）由题意可知，直线的斜率必存在，设直线的方程为，由消去整理得，∵直线与椭圆交于两点，∴，设，则．∵，∴，即，∴，∵,∴，∴，∴，且恒成立．∴，又点到直线的距离为，∴，令，则，∴，由于函数在上单调递减，∴，当且仅当，即时等号成立，∴面积的最大值为．。