绝密★考试结束前2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式 台体的体积公式11221()3V h S S S S =++其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+(第5题图)俯视图侧视图正视图323244(第8题图)-11Oxy一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|2},{|41},S x x T x x ST =>-=-≤≤=则.A [4,)-+∞ .B (2,)-+∞ .C [4,1- .D (2,1]- 2．已知i 是虚数单位，则(2)(3)i i ++=.A 55i - .B 75i - .C 55i + .D 75i + 3．若a R ∈，则“0a = ”是“sin cos αα< ”的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 4．设m,n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面.A ,,m n m n αα//////若则 .B ,,m m αβαβ//////若则 .C ,,m n m n αα⊥⊥//若则 .D ,,m m ααββ⊥⊥//则 5．已知某几何体的三视图（单位：mm ）如图所示，则该几何体的体积是 .A 2108cm .B 2100cm .C 292cm .D 284cm 6．函数3()sin cos cos 22f x x x x =+的最小正周期和振幅分别是 .A ,1π .B ,2π .C 2,1π .D 2,2π 7．,,a b c R ∈函数2(),(0)(4)(1),f x ax bx c f f f =++=>若则 .A 0,40a a b >+= .B 0,40a a b <+=.C 0,20a a b >+= .D 0,20a a b <+=8．已知函数()y f x =的图象是下列四个图象之一，且其导函数()y f x '=的如 右图所示，则该函数的图象是9．如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是 .A 2 .B 3 .C 32.D 6210．设,a b R ∈，定义运算“∧”和“∨”如下： a a b b a ba b a b b a b a a b ≤≤⎧⎧∧=∨=⎨⎨>>⎩⎩若正数,,,4,4,a b c d ab c d ≥+≤满足则.A 2,2a b c d ∧≥∧≤ .B 2,2a b c d ∧≥∨≥.C 2,2a b c d ∨≥∧≤ .D 2,2a b c d ∨≥∨≥ 二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知函数()1,()3,f x x f a =-=若则实数a = .12．从3男3女共6名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等），这两名同学都是女生的概率等于 .13．直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于 . 14．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于 .15．设,z kx y =+其中实数,x y 满足2240240x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z 的最大值为12，则实数k = .16．设,a b R ∈，若0x ≥时恒有43220(1)x x ax b x ≤-++≤-，则ab = . 17．设12,e e 为单位向量，非零向量1212,,.,b xe ye x y R e e =+∈若的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于 .三．解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(本题满分14分)在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin 3.a B b = (Ⅰ)求角A 的大小；ⅠⅠ()若6,8,a b c ABC =+=∆求的面积.19．(本题满分14分)在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知112310,,22,5a a a a =+且成等比数列. (Ⅰ)求d ，n a ；ⅠⅠ()120,|||||.n d a a a <+++若求|(第20题图)GPB CDA20．(本题满分15分)如图，在四棱锥P ABCD -中，,2,PA ABCD AB BC ⊥==平面7,3,120,A D C D P A A B C G ===∠=为线段PC 上的点.(Ⅰ)证明：BD APC ⊥平面；ⅠⅠ()若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成角的正切值； (ⅠⅠⅠ)若G 满足,PC BGD ⊥平面求PGGC的值.21．（本题满分15分）已知a R ∈，函数32()23(1)6f x x a x ax =-++ (Ⅰ)若1a =，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； ⅠⅠ()若||1a >，求()f x 在闭区间[0,2||]a 上的最小值.22．（本题满分14分）已知抛物线C 的顶点为(0,0)O ，焦点为(0,1)F . (Ⅰ)求抛物线C 的方程；ⅠⅠ()过点F 作直线交抛物线C 于,A B 两点，若直线,AO BO 分别交直线:2l y x =-于,M N 两点，求||MN 的最小值.参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案D C A C B A A BDC二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分． 11.10 112.5 13.45 914.515.2 16.1- 17.2 三．解答题：本大题共5小题，共72分18．(本题满分14分)在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin 3.a B b = (Ⅰ)求角A 的大小；ⅠⅠ()若6,8,a b c ABC =+=∆求的面积. (Ⅰ) 解：由2sin 3a B b =及正弦定理sin sin a bA B=，得3sin 2A = 因为A 为锐角，所以 3A π=ⅠⅠ()由余弦定理222222cos 36ab c bc A b c bc =+-+-=得，又8b c +=所以 283bc =由三角形面积化工得1128373sin 22323ABC S bc A ∆==⋅⋅= 19．(本题满分14分)在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知112310,,22,5a a a a =+且成等比数列.(Ⅰ)求d ，n a ；ⅠⅠ()120,|||||.n d a a a <+++若求|(Ⅰ) 解;：由题意得223125(22)34014a a a d d d d ⋅=+⇒--=⇒=-=或所以 11,*46,*.n n a n n N a n n N =-∈=+∈或ⅠⅠ()设数列{}n a 的前n 项和为n S ，因为0,d <由(Ⅰ)得1,11,n d a n =-=-则当11n ≤时，212121||||||.22n n a a a S n n +++==-+当12n ≥时，21211121||||||2110.22n n a a a S S n n +++=-+=-+综上即得212212111,22||||||12111012.22n n n n a a a n n n ⎧-+≤⎪⎪+++=⎨⎪-+≥⎪⎩20．(本题满分15分)如图，在四棱锥P ABCD -中，,2,PA ABCD AB BC ⊥==平面7,3,120,A D C D P A A B C G ===∠=为线段PC 上的点.(第20题图)OG PB CDA(Ⅰ)证明：BD APC ⊥平面；ⅠⅠ()若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成角的正切值；(ⅠⅠⅠ)若G 满足,PC BGD ⊥平面求PG GC的值. (Ⅰ)设点O 为,AC BD 的交点，由,,AB BC AD CD BD ==得是线段AC 的中垂线. 所以O 为AC 的中点，BD AC ⊥ ①又因为,,PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以 ② 由①②即得 BD APC ⊥平面.ⅠⅠ()连结OG 由(Ⅰ)可知OD APC ⊥平面，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以OGD ∠是DG 与平面APC 所成的角，由题意得1322OG PA == 在ABC ∆中， 222cos 23AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=所以 132OC PA == 在Rt OCD ∆中，222OD CD OC =-= 在Rt OGD ∆中，43tan 3OD OGD OG ∠== 所以与DG 平面APC 所成角的正切值433. (ⅠⅠⅠ)连结OG ，因为,,PCBGD OG BGD PC OG ⊥⊂⊥平面平面所以在Rt PAC ∆中，得15PC =，从而2155AC OC GC PC ⋅==,315,5PG = 所以3.2PG GC = 21．（本题满分15分）已知a R ∈，函数32()23(1)6f x x a x ax =-++ (Ⅰ)若1a =，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； ⅠⅠ()若||1a >，求()f x 在闭区间[0,2||]a 上的最小值.(Ⅰ) 当1a =时，2()6126f x x x '=-+，所以(2) 6.f '=又因为(2)4f =，所以切线方程为 68y x =- ⅠⅠ() 记()g a 为()f x 在闭区间[0,2||]a 上的最小值，2()66(1)66(1)().f x x a x a x x a '=-++=--令12()0,1,f x x x a '===得当1a >时，x 0(0,1)1(1,)a a (,2)a a2a()f x '+0 -+()f x单调递增 极大值31a - 单调递减极小值2(3)aa -单调递增34a比较(0)f 和2()(3)f a a a =-的大小可得213()(3)3a g a a a a <≤⎧=⎨->⎩ 当1a <-时x 0(0,1)1(1,2)a -2a -()f x '-+()f x0 单调递减极小值31a -单调递增322824a a --得 ()31g a a =-综上所述，()f x 在闭区间[0,2||]a 上的最小值为2311()013(3)3a a g a a a a a ⎧-<-⎪=<≤⎨⎪->⎩. 22．（本题满分14分）已知抛物线C 的顶点为(0,0)O ，焦点为(0,1)F . (Ⅰ)求抛物线C 的方程；ⅠⅠ()过点F 作直线交抛物线C 于,A B 两点，若直线,AO BO 分别交直线:2l y x =-于,M N 两点，求||MN 的最小值. (Ⅰ) 设抛物线C 方程为22(0)x py p =>，则1.2p= 所以抛物线C 的方程为 24x y = ⅠⅠ()设1122(,),(,),A x y B x y 直线AB 的方程为1y kx =+由2214404y kx x kx x y=+⎧⇒--=⎨=⎩得12124,4x x k x x +=⋅= 从而 212||41x x k -=+由112y y x x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 得点M 的横坐标 1121111122844M x x x x x y x x ===--- 同理得点N 的横坐标 284N x x =- 所以21212121288821||22||2||82||444()16|43|M N x x k MN x x x x x x x x k -+=-=-==---++-令343,0,.4t k t t k +-=≠=则 当0t <时，2256||22122MN t t=++> 当0t <时，2531682||22().5255MN t =++≥ 综上所述，当253t =-，即43k =-时，||MN 的最小值是82.5。