2
为 S 2的本征态？令 χ = c1ψ 3 + c2ψ 4 即 检验
χ = c1α (1) β (2) + c2 β (1)α (2)
S2 χ = λ h2 χ 是否满足
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二、双原子体系的自旋态(8) χ = c1α (1) β (2) + c2 β (1)α (2), 检验 S 2 χ = λ h 2 χ
二、双原子体系的自旋态(6) 1 2 2 S ψ 1 = h (3 + σ 1 xσ 2 x + σ 1 yσ 2 y + σ 1 zσ 2 z )α (1)α (2) 2 由例1， σ xα = β , σ x β = α , σ yα = i β , σ y β = −iα ,
σ zα = α , σ z β = − β , 可得
2 设 S 2 = S x2 + S y + S z2 , 则[S 2 , S j ] = 0, j = x , y , z
习题：证明[S , S j ] = 0, j = x , y , z
2
8
二、双电子体系的自旋态(2)
Q [ s1 z , s2 z ] = 0, 选(s1 z , s2 z )为自旋力学量 完全集，求其共同本征态。记
4
一、自旋态与自旋波函数(2)
考虑自旋后，稳态下电子的波函数 ψ 1 ( r ) ψ = ψ ( r, sz ) = , 一般 ψ 1 ( r ) ≠ ψ 2 ( r ) ψ 2 ( r ) 通常，轨道与自旋的耦合能量很小， 忽略不计的话，有 ψ = ψ ( r , s z ) = ψ ( r ) χ ( s z ) a 其中， χ ( s z ) = → 自旋函数 b ψ 1 ( r ) a ψ = ψ ( r, sz ) = = ψ ( r ) b = ψ ( r ) χ ( sz ) ψ 2 ( r ) 5
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二、双原子体系的自旋态(7) (s1 z , s2 z )的共同本征态为： ψ 1 = α (1)α (2),
ψ 2 = β (1) β (2),ψ 3 = α (1) β (2),ψ 4 = β (1)α (2)
其中， ψ 1和 ψ 2都是 S 属于本征值 2 h 的本征态，
2 2
即 S 2ψ 1 = 2 h 2ψ 1 , S 2ψ 2 = 2 h 2ψ 2，但 ψ 3和 ψ 4都不 是 S 的本征态。不过， ψ 3和 ψ 4的线性组合是否
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二、双原子体系的自旋态(9) χ = c1α (1) β (2) + c2 β (1)α (2), 检验 S 2 χ = λ h 2 χ
左边=S 2 χ = h 2 [(c1 + c2 )α (1) β (2) + (c1 + c2 ) β (1)α (2)] 右边 = λ h χ = λ h [c1α (1) β (2) + c2 β (1)α (2)]
α (1),β (1) → s1 z的本征态， α (2),β (2) → s2 z的本征态，
则(s1 z , s2 z )的共同本征态为：
ψ 1 = α (1)α (2),ψ 2 = β (1) β (2), ψ 3 = α (1) β (2),ψ 4 = β (1)α (2)
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二、双原子体系的自旋态(3) 为什么 ψ 1 = α (1)α (2),ψ 2 = β (1) β (2),
σ y β = − iα , σ z α = α , σ z β = − β
0 证 ： σ xα = 1 0 σ yβ = i
11 0 = = β 另外两式 00 1 −i 0 1 = − i = − iα 返 0 1 7 0
2
3 2 1 2 = h [c1α (1) β (2) + c2 β (1)α (2)] + h {c1 β (1)α (2) 2 2 + c2α (1) β (2) + c1i β (1)[ − iα (2)] + c2 [ − iα (1)]i β (2) + c1α (1)[ − β (2)] + c2 [ − β (1)]α (2)}
同理可证
二、双电子体系的自旋态(1) 氦原子有两个电子，自旋角动量分别为 s1和 s 2，分属两个电子，涉及不同的自由度， ∴ [ s1 j , s2 k ] = 0, j , k = x, y , z
令 S = s1 +s 2为两个电子的自旋之和,则有 [S x , S y ] = i hS z ,[S y , S z ] = i hS x ,[S z , S x ] = i hS y 证： x , S y ] = [ s1 x + s2 x , s1 y + s2 y ] = [ s1 x , s1 y ] + [ s2 x , s2 y ] [S = i hs1 z + i hs2 z = i h ( s1 z + s2 z ) = i hS z .同理可 证另两式
量子力学
Hale Waihona Puke 光电子科学与工程学院 刘劲松第十八讲 电子自旋单态与三重态 自旋纠缠态
1
目录
0、量子纠缠 、 一、自旋态与自旋波函数 二、双电子体系的自旋态 三、可分离态与纠缠态
2
0、量子纠缠 、
有两个相反方向、速率相 有两个相反方向、 同的电子， 同的电子，即使一颗行至太 阳边，一颗行至冥王星， 阳边，一颗行至冥王星，如 此遥远的距离下， 此遥远的距离下，它们仍保 有特别的关联性； 有特别的关联性；亦即当其 中一颗被操作（ 中一颗被操作（例如量子测 状态发生变化 发生变化， 量）而状态发生变化，另一 颗也会即刻发生相应的状态 变化。如此现象导致了“ 变化。如此现象导致了“鬼 魅似的远距作用” 魅似的远距作用”，仿佛两 颗电子拥有超光速 超光速的秘密通 颗电子拥有超光速的秘密通 信。
得到 λ = λ1 = 0 → c1 = − c2 = 1 2 2
ψ 3 = α (1) β (2),ψ 4 = β (1)α (2)
是(s1 z , s2 z )的共同本征态？以 ψ 1为例 Q s1 zα (1) = h / 2α (1),∴ s1 zψ 1 = s1 zα (1)α (2) = h / 2α (1)α (2) = h / 2ψ 1 → ψ 1是 s1 z的本征态 又 Q s2 zα (2) = h / 2α (2), 且 s2 z 对 α (1)不起作用 ∴ s2 zψ 1 = s2 zα (1)α (2) = α (1) s2 zα (2) = α (1) h / 2α (2) = h / 2ψ 1 → ψ 1是 s2 z的本征态 ∴ψ 1是 s1 z 和 s2 z的共同本征态
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一、自旋态与自旋波函数(4) 1 α ≡ χ 1 = ， β ≡ χ − 1 = 2 2 0
0 1 0 σx = ,σ y = 1 0 i 例 1 ： 证 明 σ xα = β , σ x β = α , σ y α = i β ,
0 ,泡里矩阵 → 1 −i 0 1 ,σ z = 0 0 −1
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二、双原子体系的自旋态(5) ψ 1 = α (1)α (2),ψ 2 = β (1) β (2),ψ 3 = α (1) β (2),
ψ 4 = β (1)α (2)是(s1 z , s2 z )的共同本征态，也是
S z = s1 z + s2 z 属于本征值 h，-h, 0, 0的本征态。 Q [S 2 , S z ] = 0,(S 2 , S z )也可选为自旋力学量完全集， 其共同本征态=？ S = (s1 + s 2 ) = s + s + 2s1 ⋅ s 2
2 2
1-λ 1 (1-λ )c1 + c2 = 0 左边=右边 → → =0 1 1-λ c1 +(1-λ )c2 = 0 得到 λ = λ1 = 0, λ = λ2 = 2
λ1 = 0 → c1 = − c2 ,
归一化， c1 = c2 = 1
λ2 = 2 → c1 = c2
2,
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二、双原子体系的自旋态(10) 2 2 χ = c1α (1) β (2) + c2 β (1)α (2), 检验 S χ = λ h χ
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二、双原子体系的自旋态(4) 同时，(s1 z , s2 z )的共同本征态 ψ 1 = α (1)α (2), ψ 2 = β (1) β (2),ψ 3 = α (1) β (2),ψ 4 = β (1)α (2)
也是 S z = s1 z + s2 z的本征态： S zψ 1 = ( s1 z + s2 z )α (1)α (2) = s1 zα (1)α (2) + s2 zα (1)α (2) h h = α (1)α (2) + α (1) α (2) = hα (1)α (2) = hψ 1 2 2 ∴ψ 1是 S z 属于本征值 h的本征态. 同理， ψ 2 ,ψ 3 ,ψ 4是 S z 属于本征值 -h, 0, 0的本征态
一、自旋态与自旋波函数(3) ψ 1 (r ) a ψ = ψ (r , sz ) = = ψ (r ) = ψ (r ) χ ( sz ) b ψ 2 ( r )
a 1 0 自旋函数 χ ( s z ) = = a + b = a χ 1 + b χ − 1 2 2 b 0 1 1 ˆ 的属于本征值 s = h 的本征函数 α ≡ χ 1 = ，→ S z z 2 2 0 0 ˆ 的属于本征值 s = − h 的本征函数 β ≡ χ−1 = , → Sz z 2 2 1 0 + + 它们彼此是正交的： α β = χ 1 χ − 1 = (1 0) = 0 2 2 1