(1), (1) s1z的本征态，
(2),
(2)
s2
的本征态，
z
则(s1z , s2z )的共同本征态为：
1 (1) (2), 2 (1) (2),
3 (1) (2), 4 (1) (2)
8
二、双原子体系的自旋态(3)
为什么 1 (1) (2), 2 (1) (2),
S 2 1
1 2
2[3 (1) (2) (1) (2) i (1)i (2)
(1) (2)] 2 2 (1) (2) 2 21
S21 2 21,同理可得S2 2 2 2 2
S2 (1) (2) 2 2 (1) (2)
S2 (1) (2) 2 2 (1) (2)
12
二、双原子体系的自旋态(7)
0
1
1 0
,
y
0
i
i 0
,
z
1 0
0 1
例1：证明 x , x , y i ,
y i , z , z
证： x
0
1
1 0
1 0
0 1
同理可证 另外两式
y
0
i
i 0
0 1
i
1 0
i
6返
二、双电子体系的自旋态(1)
氦原子有两个电子，自旋角动量分别为
(s1z , s2z )的共同本征态为：1 (1) (2),
2 (1) (2), 3 (1) (2), 4 (1) (2)
其中，1和 2都是S2属于本征值2 2的本征态，
即S21 2
21, S2 2 2
2
2，但
3和
都不
4
是S
2的本征态。不过，
3和
的线性组合是否
4
为S2的本征态？令 c1 3 c2 4
1(r) 2 (r) (r), 此时 (r, sz )可以表示为
(r
,
sz
)
1 2
(r) (r)
(r
)
a b
(r
)
(sz
)
(sz
)
a b
自旋函数
4
一、自旋态与自旋波函数(3)
(r, sz )
1 2
(r) (r)
(r
)
a b
(r
)
(
sz
)
自旋函数 (sz )
(1) / 2 (2)
/
2 1
1是s2
的本征态
z
1是s2
z和s2
的共同本征态
z
9
二、双原子体系的自旋态(4)
同时，(s1z , s2z )的共同本征态1 (1) (2),
2 (1) (2), 3 (1) (2), 4 (1) (2)
也是Sz
s1z
s2
的本征态：
z
Sz1 (s1z s2z ) (1) (2) s1z (1) (2) s2z (1) (2)
a
b
1
a
0
0
b
1
a1
2
b
1 2
1
2
1 0
，
Sˆ z的属于本征值sz
的本征函数 2
1 2
0 1
,
Sˆz的属于本征值sz
的本征函数 2
它们彼此是正交的： +
1 2
1 2
(1
0)
0 1
0
5
一、自旋态与自旋波函数(4)
1
2
1 0
，
1 2
0 1
,
泡里矩阵
x
即 c1 (1) (2) c2 (1) (2)
检验 S2 2 是否满足
S 2 1
1 2
2 (3 1x 2x 1y 2 y 1z 2z ) (1) (2) 11
二、双原子体系的自旋态(6)
S 2 1
1 2
2 (3 1x 2x 1y 2 y 1z 2z ) (1) (2)
由例1， x , x , y i , y i ,
z , z ,可得
s1和s
，分属两个电子，涉及不同的自由度，
2
[s1 j , s2k ] 0,
j, k x, y, z
令S
s1
+s
为两个电子的自旋之和,则有
2
[Sx , Sy ] i Sz ,[Sy , Sz ] i Sx ,[Sz , Sx ] i Sy
证：[Sx , Sy ] [s1x s2x , s1y s2 y ] [s1x , s1y ] [s2x , s2 y ]
量子力学
光电子科学与工程学院 刘劲松
第十八讲 电子自旋单态与三重态 自旋纠缠态
1
目录
一、自旋态与自旋波函数 二、双电子体系的自旋态 三、可分离态与纠缠态
2
一、自旋态与自旋波函数(1)
考虑自旋后，稳态下电子的波函数为
(r, sz )。 自旋变量sz只取 / 2两个值，
(r, sz )可以用一个列向量来表示
Sz
s1z
s2
属于本征值
z
，-
, 0, 0的本征态。
[S2 , Sz ] 0,(S2 , Sz )也可选为自旋力学量完全集，
其共同本征态=？S2 (s1 s2 )2 s12 s22 2s1 s2
3 4
23 4
21 2
2 (1x 2x 1y 2 y 1z 2z )
1 2
2 (3 1x 2x 1y 2 y 1z 2z )
3 (1) (2), 4 (1) (2)
是(s1z
,
s2
z
)的共同本征态？以
为例
1
s1z (1) / 2 (1), s1z1 s1z (1) (2)
/ 2 (1) (2) / 21 1是s1z的本征态
又 s2z (2) / 2 (2),且s2z对 (1)不起作用
s2z1 s2z (1) (2) (1)s2z (2)
(1) (2) (1) (2)
2
2
(1) (2)
1
1是Sz属于本征值 的本征态.
同理，
2
,
3
,
4是S
属于本征值-
z
, 0, 0的本征态
10
二、双原子体系的自旋态(5) 1 (1) (2), 2 (1) (2), 3 (1) (2),
4 (1) (2)是(s1z , s2z )的共同本征态，也是
i s1z i s2z i (s1z s2z ) i Sz .同理可证另两式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设S2
S
2 x
S
2 y
S
2 z
,
则[S2
,
S
j
]
0,
j
x,
y,
z
习题：证明[S2 , S j ] 0, j x, y, z
7
二、双电子体系的自旋态(2)
[s1z , s2z ] 0, 选(s1z , s2z )为自旋力学量 完全集，求其共同本征态。记
1 2
(r) (r)
电子以一定的概率处于 / 2或 / 2自选态
1
2
1(r 0
)
，sz
sz －
/
/ 2自旋态
2自旋态
1 2
0
2
(r
)
3
一、自旋态与自旋波函数(2) 考虑自旋后，稳态下电子的波函数
(r,
sz
)
1 2
(r) (r)
,
一般
1
(r
)
2
(r
)
若H不含自旋算符S,或H f (r) g(S )