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极坐标系

§1.3.1极坐标系在平面内取定一点O ,O 点叫作极点:从O 起引一条射线O x ,这条从极点起的射线O x 叫作极轴;选定长度单位,再选定角度的下方向(逆时针转角为正向),这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。

对于平面上的一个点M ,连接极点O 与M ,线段OM 之长ρ叫作M 点的极径(或矢径、或向径),极轴O x 为始边按逆时针转到OM 的角θ叫作M 点的极角,有序数对(ρ,θ)叫作M 点的极坐标。

当M 在极点时,它的极径ρ=0,极角θ可取任何实数。

在极坐标系中,若无特殊声明,ρ是非负实数,[)+∞∈,0ρ,),(+∞-∞∈θ。

当[)πθρ2,0,0∈>时,平面上的点与极坐标一一对应。

事实上,对给定的ρ与θ,由极坐标(ρ,θ)可以唯一地确定一个点M ,但是反过来,平面上给定一点,却可以写出这个点的无数多个极坐标。

根据点的极坐标(ρ,θ)的定义,对于给定的点,它的极径ρ是唯一确定的,但极角却可以有无穷多种,如果我们写出了它的极坐标(ρ,θ),则(ρ,πθn 2+)也是这个点的极坐标,其中n 是任意整数,当0>n 时,πθn 2+表示从该点起绕极点O 逆时针转动了n 圈又回到原处,当0<n 时,πθn 2+表示从该点起绕极点O 顺时针转动了n 圈又回到原处。

三、范例讲解例1、在极坐标系中,画出点A (1,4π),B (2,23π)C (3,4π-)D (4,49π) 解析:在极坐标系中,先按极角找到极径所在的射线,即4π线,23π线,4π-线,49π线,4π线和49π线是同一条射线,然后在相应的射线上按极径的数值描点。

指出:我们也可以允许0<ρ,此时极坐标(ρ,θ)对应的点M 的位置按下面规则确定:点M 在与极轴成θ角的射线的反向延长线上,它到极为O 的距离|ρ|,即规定当0<ρ时,点M (ρ,θ)就是点M (πθρ+-,)例2、如图在极坐标系中,写出点A ,B ,C ,的极坐标,解析:在极坐标系中,一般先按点与极点的距离求出极径的数值,然后按照极径所在的射线的位置求出极角。

如图点A 与极点O 的距离为了,且在极轴上,所以A 的极坐标为(1,0),同样可求得B ,C 的极坐标分别为(4,2π),(5,34π)指出:已知点的位置求极坐标时,如果没有特殊要求,只要求一个解就可以了,由于点的极坐标的多值性,在需要写出通式的时候,求出一个解(ρ,θ)后,再写出其通式(ρ,πθn 2+)或(πθρ)12(,++-n )例3、已知点Q (ρ,θ),分别按下列条件求出点P 的极坐标。

(1)M 是点Q 关于极点的对称点:(2)N 是点Q 关于直线2πθ=的对称点解:(1)由于M 、Q 关于极点对称得它们的极径OQ=OM ,极角角相差π)12(+n ,所以点M 的极坐标为(ρ,πθ)12(++n )或(πθρn 2,+-)(Z n ∈)(2)由于点Q 、N 关于直线2πθ=的对称,得它们的极径OQ=ON ,点N 的极角满足πθπn 2+-所以点N 的极坐标为(ρ,πθπn 2+-) 或(θπρ--n 2,)(Z n ∈) 例4、已知两点的极坐标A (3,2π),B (3,6π), 求AB 两点间的距离;AB 与极轴正方向所成的角。

解法一:根据极坐标的定义,可得|OA|=|OB|=3,∠AOB=3π,即△AOB 为等边三角形,所以|AB|=3,∠ACX=65π法二:∵A 、B 两点的极坐标分别为(3,2π),(3,6π),∴|OA|=|OB|=3,∠AOC=2π,∠BOC=6π了 ∴∠AOB=3π,在△AOB 中,由余弦定理可得AOB OB OA OB OA AB ∠-+=cos ||||2||||||22=3cos3323322π⋅⋅⋅-+=3即△AOB 为等边三角形,∠ACX=∠AOC+∠OAB=65π四、巩固练习:1、已知两点的极坐标P (5,45π),Q (1,4π),求线段PQ 的长度 2、已知点A 的极坐标(6,35π)分别写出给定条件下点A 的极坐标①若πθπρ≤<->,0;则A ②若πθρ20,0<≤<,则A ③若02,0≤<-<θπρ,则A 五、小结,,则1、要注意直角坐标与极坐标的区别,直角坐标系中平面上的点与有序数对(x ,y)是一一对应的,在极坐标系中,平面上的点与有序数对(ρ,θ)不是一一对应,只有在规定[)πθρ2,0,0∈>的前提下,并除极点外,点与极坐标之间才一一对应,在解题时要注意极坐标的多种表示形式。

2、一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,πθn 2+)表示同一个点,特别地,极点O 的坐标为(0,θ)和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示。

一、新课引入:1、在平面内取定一点O ,O 点叫作极点:从O 起引一条射线O x ,这条从极点起的射线O x 叫作极轴;选定长度单位,再选定角度的下方向(逆时针转角为正向),这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。

建立极坐标系的要素是:极点、极径、长度单位、角度单位和它的正方向2、对于平面上的一个点M ,连接极点O 与M ,线段OM 之长ρ叫作M 点的极径(或矢径、或向径),极轴O x 为始边按逆时针转到OM 的角θ叫作M 点的极角,有序数对(ρ,θ)叫作M 点的极坐标。

当在建立了极坐标系的平面内给定一个点时,这个点的极坐标却不上唯一确定的,它可以有无数多种表示。

3、一般说来,由点求极坐标时,一般先按点与极点的距离求出极径的数值,并给出正号,然后按照它所在的直线的位置求出极角。

二、讲解新课:在平面直角坐标系中,许多曲线的方程变得十分简洁,而且几何形象也表达得十分明确。

所谓曲线L 的极坐标方程是指L 上的动点的极坐标的极径与极角满足的方程)(θρf =或0),(=θρF1、过极点直线的极坐标方程在平面直角坐标系中,过原点O 的直线方程形如:kx y =,其中k 是实数,叫作斜率,θtan =k ,θ是此直线与O x 轴的夹角,这个角是多大,一般从k 上不易看出来,需要计算θarctan 。

但在极坐标中,我们取O x 的正方向为极轴,则过极点O 的射线方程写成[)πθθθ2,0(00∈=)如果我们充许极径取负值,约定M (ρ,θ)关于极点对称点N 的极坐标写成N (θρ,-),于是过原点与x 轴夹角为0θ的直线的极坐标方程为:l 0θθ=如与x 轴夹角为4π过原点的直线的极坐标方程为θ=4π2、圆心在极点的圆的极坐标方程 ρ=0r方程ρ=0r 的含义是动点的极径恒为0r ,是个常数;而方程ρ=0r 无极角θ,表示θ可以任意变化,当极径ρ是常数,极角任意时,即动保持与O 点等距地转动,这正是圆规在画圆。

3、圆心在极轴,过极点的圆的极坐标方程如图中画的是过极点,其中心在极轴的圆,设其半径为0r 设此圆上任取一点M 的极坐标为(ρ,θ),由于OA 是直径,所以∠OMA=2π,于是θcos =OA OM ,即θρcos 20=r 从而得ρ与θ满足的方程为:ρ=20r θcos 4、阿基米德螺线一个动点M 随时间的增加绕定点O 逆(或顺)时针匀速绕动,同时离O 点越来越远,它远离O 点的直线距离也是匀速增长的,如果把O 点定为极坐标的极点,M 与O 点的直线距离就是向径ρ,转角就是极角θ,由于ρ与θ的增加所用的时间是一致的,设开始时,动点在极点,则时间t 为ωθυρ==t (0,≠ωυ)θωυρ=一般地,将该式写成)0(≠=ααθρ)0(≠=ααθρ表示的曲线叫作阿基米德螺线,由于它向径的扩张与转角的变化皆为等速的,所以也称其为等速螺线。

三、范例讲解例1、(1)求过点A (2,4π)且平行于极轴的直线的极坐标方程; (2)过点A (3,3π)且和极轴成43π角的直线的极坐标方程思路点拔:在已给极坐标系中,要想求直线的极坐标方程,就必须先寻找到几何等式。

按照常规思路需构造关键三角形,利用关键三角形的边角关系引出几何意义。

解法一:如图,在直线l 上任取一点M (ρ,θ) 在△OAM 中 |OA|=2 |OM|=ρ∠OAM=-π4π(或4π) ∠OMA=θ(或-πθ) 在△OAM 中由正弦定理得:)4sin(sin 2ππρθ-=∴2sin =θρ解法二:如图在直线l 上任取一点M (ρ,θ)过M 作MH ⊥极轴于H 点, |MH|=24sinπ=2 在RT △OHM ,|HM|=|OM|θsin 即2sin =θρ(2)∠MBx=43π,∠OAB=43π3π-=125π∴∠OMA=θπθππ+=--4)43( 在△MOA 中,根据正弦定理125sin)4sin(3πρθπ=+ ∴化简得直线l 的极坐标方程为:2333)cos (sin +=+θθρ 本题利用三角形法求出了直线方程,三角形法的步骤是:先根据题意作出(寻找)关键三角形,利用解三角形的知识列出几何等式,再将几何等式坐标化,化简、整理即得所求直线的极坐标方程。

例2、在极坐标系中,求以Q (r ,α)为圆心,以r 为半径的极坐标方程 解:由已知条件可知,此圆过极点。

设点M (ρ,θ)为圆上任意一点,连结OQ交圆于点N ,则ON 为圆的直径,连结MN ,则△OMN∠NOM=θα- |ON|=2r∴|OM|=|OM|)cos(αθ- 即ρ=2r )cos(αθ- 这就是所求的圆的极坐标方程。

四、巩固练习:1、设极点O 到直线l 的距离为d ,由点O 向直线l 作垂线OA ,由极轴到垂线OA 的角度为α(如图所示)求已知直线l 的极坐标方程2、判断两圆θθρsin 3cos +=和θρcos 2=的位置关系五、小结几类特殊曲线的极坐标方程1、过极点直线的极坐标方程:l 0θθ=2、过已知点A (0ρ,α)且平行于极轴的直线的极坐标方程:αρθρsin sin 0=3、过已知点A (0ρ,α)且垂直于极轴的直线的极坐标方程:αρθρcos cos 0=4、过点A (0ρ,α)且和极轴成β角的直线的极坐标方程:)sin()sin(0βαρβθρ-=- 5、极点O 到直线l 的距离为d ,由点O 向直线l 作垂线OA ,由极轴到垂线OA 的角度为α的直线l 的极坐标方程:d =-)cos(αθρ 6、圆心在极点的圆的极坐标方程:ρ=0r7、圆心在极轴,过极点的圆的极坐标方程ρ=20r θcos8、以(r ,α)为圆心,以r 为半径的圆(即圆过极点)极坐标方程ρ=2r )cos(αθ- 9、阿基米德螺线)0(≠=ααθρ§1.4极坐标与平面直角坐标的互化 一、新课引入:1、在平面内取定一点O ,O 点叫作极点:从O 起引一条射线O x ,这条从极点起的射线O x 叫作极轴;选定长度单位,再选定角度的下方向(逆时针转角为正向),这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。

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