绝 密 ★ 启 用 前
2021年全国硕士研究生招生考试模拟二
数学（三）试题
（科目代码： 303 ）
考生注意事项
1.考生必须严格遵守各项考场规则。
（1）考生在考试开考15分钟后不得入场。
（2）交卷出场时间不得早于考试结束前30分钟。
（3）交卷结束后，不得再进考场续考，也不得在考场附近逗留或交谈。
2.答题前，应按准考证上的有关内容填写答题卡上的“考生姓名”“报考单位”“考生编号”等信息。
3.答案必须按要求填涂或写在指定的答题卡上。
（1）填涂部分应该按照答题卡上的要求用2B 铅笔完成。
如要改动，必须用橡皮擦干净。
（2）书写部分必须用（蓝）黑色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔在答题卡上作答。
字迹要清楚。
4.考试结束后，将答题卡装入原试卷袋中，试卷交给监考人员。
考生姓名考生编号
题型选择题填空题解答题分值50分
30分
70分
得分
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1
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一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，下列3
个无穷小
α=，2
2
0(e 1)d x t t β=-⎰
，γ=-，按后一个
无穷小比前一个高阶的次序排列，正确的次序是（）
（A ）,,αβγ.
（B ）,,γβα.
（C ）,,γαβ.
（D ）,,αγβ.
（2）设函数2()
,0,()(0),0,
f x x F x x f x ⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩其中()f x 在0x =处二阶可导，(0)0f ''≠，
(0)0f '=，(0)0f =，则0x =是()F x 的（ ）
（A ）第一类间断点
（B ）连续点
（C ）第二类间断点
（D ）连续点或间断点不能由此确定
（3）设3
2
()3f x x x x =+，则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为（ ） （A ）0（B ）1
（C ）2
（D ）3
（4）设
3()f x dx x C =+⎰，则23(1)x f x dx -=⎰（
）
（A ）333()x x C --+ （B ）333(1)x C -+ （C ）
33
1(1)3
x C --+ （D ）33
1
()3
x x C -+（5）微分方程2e x y y y '''-+=的特解形式为（ ）（A ）e (0)x y A A *=≠.（B ）()e (0)x y A Bx B *=+≠. （C ）2()e (0)x y A Bx Cx C *=++≠. （D ）23()e (0)x y A Bx Cx Dx D *=+++≠.（6）下列不等式中正确的是（）
（A ）
22
1
1()0x y x y d σ≤≤->⎰⎰
（B ）
2211
()0x y x y d σ≤≤-<⎰⎰
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2
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（C ）
11
(1)0
x y x d σ≤≤+≥⎰⎰ （D ）
22221
()0
x y x y d σ+≤-->⎰⎰
（7）已知123λλλ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
A ，则123()()()λλλ=---=
B A E A E A E （ ） （A ）O
（B ）E （C ）2E
（D ）-E
（8）设123(1,2,1),(2,3,),(1,2,2)T
T
T
a a ===+-ααα，若1(1,3,4)T
=β能由
123,,ααα线性表示，2(0,1,2)T =β不能由123,,ααα线性表示，则a =（ ）
（A ）1
-（B ）3 （C ）0 （D ）1
（9）随机事件,A B 满足1
()()2
P A P B ==，()1P A B = ，则有（ ） （A ）A B =Ω （B ）AB =∅
（C ）(1P A B = （D ）()0
P A B -=（10）设随机变量(0,1),(0,1)X N Y N ，则（ ）（A ）X Y +服从正态分布（B ）22X Y +服从2χ分布
（C ）2
X 和2
Y 服从2
χ分布
（D ）2
2X Y
服从F 分布
二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. （11）设12a ≠，则21lim ln (12)n
n n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦
.
（12）设0x >时，可微函数()f x 及其反函数()g x 满足关系式3
()
20
1()(8)3
f x
g t dt x =-⎰
，
则()f x =
.
（13）设某产品的需求函数为1
()q d p e
=-，q 为需求量（即产量），p 为单价，d 为正的常数，则需求对价格的弹性为
.
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3
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（14）计算不定积分
2222tan sin cos x
dx a x b x =
+⎰ .（其中0ab ≠）
（15）已知向量(1,,1)T k =α是矩阵211121112⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
A 的逆矩阵的特征向量，则
k =
.（其中0k >）
（16）已知事件,A B 满足()()P AB P AB =，记()P A p =，则()P B =
.
三、解答题：17~22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本题满分10分）计算不定积分2
2(1)()
dx
x x x ++⎰。
（18）（本题满分10分）设()f x 在区间[0,1]上可微，当01x ≤<时，恒有
0(1)()f f x <<，且()()f x f x '≠.证明：在(0,1)内存在唯一的点ξ，使得
()()f f t dt ξ
ξ=⎰.
（19）（本题满分10分）设直线y ax =与抛物线2y x =所围成的图形的面积为1S ，它们与直线1x =所围成的图形面积为2S ，并且1a <.试确定a 的值，使12S S S =+达到最小，并求出最小值.
（20）（本题满分11分）计算2
max{,}D
I y x x y d σ=-⎰⎰
，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤.
（21）（本题满分14分）设A 为3阶矩阵，123,,λλλ为A 的三个不同特征值，对应的特征向量为123,,ααα，令123=++βααα.
（1）证明：向量组122313(),(),()+++A A A αααααα线性无关的充要条件是A 为可逆矩阵；
（2）若3=A A ββ，求秩()r -A E 及行列式2+A E 。
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（22）（本题满分15分）设总体X ，Y 相互独立，且X 的概率分布为
,
01,1(;),13,2
0,
.x f x x θθθ<<⎧⎪-⎪
=≤<⎨⎪⎪⎩其他Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，12,n
X X X 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,n x x x 中小于1的个数。
（1）求Z X Y =+的分布函数；
（2）求X 的数学期望()E X 和方差()D X ；（3）求参数θ的矩估计量和最大似然估计值。