流体力学和双星形成的非线性动力学模型张一方云南大学物理系，昆明（650091）E-mail ：yifangch@摘 要：基于星云的流体力学和磁流体动力学，用非线性方程的定性分析理论讨论了双星的形成。

非线性相互作用和旋转取到非常关键的作用。

此外，Lorenz 模型可以由流体力学方程导出，模型中的双翼正好形成双星。

而线性方程仅仅形成单星。

关键词：双星，非线性动力学，流体力学，Lorenz 模型，磁流体动力学1. 引言近年来，双星系统的普遍存在和解释成为天文学中一个令人关注的问题[1-7]。

Itoh 等讨论了具有强场的相对论性紧密双星的运动方程[8]。

Taniguchi 等讨论了广义相对论中同步的无转动双中子星的准平衡序列[9]。

Büning 等用物理模型计算了在闭合双星中质量转移的数值稳定性[10]。

Pittard 等推广了正在碰撞缠绕双星（colliding-wind binaries, CWBs ）的幅射模型[11]。

Rensbergen 等重新分析了一类相互作用双星的演化[12]。

云南天文台黄润乾院士对双星系统进行了长期研究，并且1999年对大质量双星系统的非守恒演化作了系统总结[13]。

基于星云的旋转吸积盘的基本方程，我们应用非线性方程的定性分析理论得到了双星形成的非线性动力学模型[14]。

在一定条件下，一对奇点作为演化结果相应于双星。

而在其它条件下这些方程给出单个中心点，就相应于单星。

这一模型和著名的Boss 等计算机模拟的结果是一致的[15,16]。

但是，计算机模拟的定量过程仍然是一个问题。

进而我们定性指出用Lorenz 方程可以形成双星，其中具有两“翼”的Lorenz 吸引子相应于双星[14]。

Steinitz 和Farbiash 确定了双星中自旋（旋转速度）间的相互关系，并显示出自旋关系度与组成的分离是无关的。

这一结果可以作为例子联系于星云形成的双星Zhang’s 非线性模型[17]。

本文我们应用星云早期状态的流体动力学和别的非线性理论论证双星的形成，并证明非线性相互作用是其形成的必要条件。

2. 双星形成的非线性流体力学模型基于早期星云的流体力学方程和磁流体动力学方程，非线性相互作用将在二维平面形成某些奇点。

当Jeans 不等式λπρ>(/)/v G s 12成立时，引力不稳定，并且原始星云将塌缩。

我们模型的基础是恒星起源于星云，而主要由氢和氦等离子体组成的星云服从非线性的磁流体动力学方程。

它们的一般形式是著名的Alfver 方程[18]:graddivV V gradp B V ce F V V t V dt dV 3])([ηµ∂∂ρρ+∆+−×+=∇+=. (1) 这是具有磁力项的Navier-Stokes 方程。

在二维星云的吸积盘中，方程变为),(3)()(2222y v x u x u yx x p v B c e F u y v x u t u z x ∂∂∂∂∂∂η∂∂∂∂µρ∂∂∂∂∂∂ρ++++∂∂−+++−= (2) )(3)()(2222y v x u y v yx y p u B c e F v y v x u t v z y ∂∂∂∂∂∂η∂∂∂∂µρ∂∂∂∂∂∂ρ++++∂∂−−++−=. (3) 旋转作用显出后，方程可以重新写为[19]：)(3)()(2122222y v x u x u yx x p v B c e F y u x v v x V t u z x ∂∂∂∂∂∂η∂∂∂∂µ∂∂∂∂∂∂ρ++++∂∂−++−+∂∂−=, (4) )(3)()(2122222y v x u y v yx y p u B c e F y u x v u y V t v z y ∂∂∂∂∂∂η∂∂∂∂µ∂∂∂∂∂∂ρ++++∂∂−−+−−∂∂−=. (5) 此时旋转角速度是)(21yu x v ∂∂∂∂ω−=. (6) 由于非线性流体力学方程的严格解迄今仍是一个未解决的难题，为得到定量的结果，对上述非线性方程组进行合理简化。

假设粘滞力为零,0==ηµ压强的梯度为零gradp=0，并且22)2/(,cV V gV V =∇=∇。

令 F=--kV 是Stokes 阻力和b c eB a k z ==ρρ/,/, 设u=X 和v=Y ，这样方程(4)和(5)只是速度的函数：)()( '222Y X c bY aX XY Y g X +−+−−=, (7) )()('222Y X c bX aY X XY g Y +−−−+−=. (8) 其中第一和第四项表示旋转力，第二项是与公式F b v u r th =−(/)432πρ[20]一致的阻力，第三项是磁力。

应用通常的场论方法，例如类似于Frances-Chini-Tebaldi 法，偏微分方程(4)和(5)可以化为两个常微分方程(7)和(8)。

它们的特征矩阵是：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−+−−+−−−−cY a gX cX b gX gY cY b gX gY cX a gY 222222. (9) 相应的特征方程是：λλ20−+=T D , (10) 其中 T=--2a—(g+2c)(X+Y),22222))(23())(2()2(4)(2b Y X c g b Y X g c a XY g c g Y X g a D +−−−+++−+++=, 和222222224))(23(4)241218())(744(4b Y X c g b XY gc c g Y X g cg c D T −−−+−+++−+=−=∆通常X’=0和Y’=0 的方程组有四个奇点。

这些点可以相应于多星。

对X Y 0000==,, 022>+=b a D ，042<−=∆b 时是焦点，如果a>0和T=--2a<0，它是稳定的汇；或如果a<0和T>0，它是不稳定的源。

对一般的情况：(a). 对D<0，一个相应的奇点是鞍点。

(b). 对D>0，如果∆<0，点是焦点；如果∆>0，点是结点。

(c). 对T<0，点是稳定的汇；对T>0，点是不稳定的源。

(d). 当非线性项和旋转作用略去时，唯一的奇点(0,0)是一个焦点，系统相应于单星。

Durisen 等[21]讨论的基础也是方程(1)，仅仅其中磁力项被忽略。

3. Lorenz 模型和双星非线性动力学的结论进一步，已知Lorenz 方程可以直接从Navier-Stokes 方程(1)导出。

Lorenz 吸引子有两 “翼”，它相应于双星。

当磁场和力F 被略去，并且η=0时，二维的方程(1)结合具有对流的连续性方程：ρρρρ∆+=++k w g N w u y x t )/(2. (11) 然后，获得Saltzman 模型[22]。

由此就能够得到著名的Lorenz 模型[23]。

它的方程组是； dx/dt=-vx+ky, (12)dy/dt=ax-by-xz, (13) dz/dt=-cz+xy, (14) 其中x 是流体速率，y 和z 分别是星云温度差的不均匀和均匀部分。

这些是Navier-Stokes 方程的简化结果。

通常我们假设各种参数都是正值。

如果方程组(12)(13)(14)中的各个参数取适当的数值，就可以获得漂亮的Lorenz 奇怪吸引子。

该吸引子具有某些类似于Paredes 等的从一个中心核喷出两极，最后合成图形的特性[24]。

应用Lorenz 模型的混沌机制，我们从二维平面星云讨论双星系统的形成。

如果dx/dt=0，并且x=(k/v)y=ey ，方程(13)和(14)变为：dy/dt=(ae-b)y-eyz, (15)dz/dt=2ey cz +−. (16) 用非线性方程的定性分析理论，方程(15)和(16)的特征矩阵是：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−− 2 c ey ey ez b ae . (17) 它的特征方程是：02)()(2222=+−−−−−−−=+−y e ez b ae c c ez b ae D T λλλλ. (18) 对dy/dt=0和dz/dt=0 的平面系统有三个奇点（平衡点）：O(0,0)，A 和 B()/(,/)(e b a e b ae c −−±)。

对O 点，两个特征根为1λ=ae-b 和2λ= -c 。

当ae>b ，它是一个鞍点；当 ae<b ，它是一个结点。

对A 和B 点。

T=-c<0时，它们是两个稳定的汇， 2/])88([2,1b ae c c c +−±−=λ。

当8ae>c+8b ，它们是两个焦点；当8ae<c+8b ，它们是两个结点。

对8ae>8b+c>8b ，系统具有鞍-焦点；对8b+c>8ae>8b ，系统具有鞍-结点；对8b+c>8b>8ae ，系统具有结-结点。

在这些情况，可以形成双星。

这些鞍点是某些分开不同吸引区域的临界点，而这些区域形成不同的星。

Lorenz 模型的天文学意义在于星云可以经过混沌，变成一对奇怪吸引子，最后由于自身的引力而形成双星。

Mardling[4]也讨论过在潮汐浮获双星的情况中，混沌的作用。

当奇点简并为单个点时，系统相应于单星[14]，例如在(7)和(8)中略去旋转时。

按照定性分析理论，一般的线性方程只有一个奇点，所以此时仅仅形成一个单星。

更一般地说，在天体的演化过程中，任何稳定的星应该是一个稳定的不动点。

假设演化方程是y=f(x)，其相应的不动点方程就是x*=f(x*)。

因此，如果f(x)是n 次非线性函数，则可能有n 个（稳定的或不稳定）的不动点。

而如果f(x)=ax+b 是线性函数，则只能有一个不动点x*=b/(1-a)，即此时只能形成一个单星。

由于非线性相互作用是普遍存在的，所以双星和多星也是非常普通的。

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