北京四中2014年下学期高二期中考试数学试卷（文） 有答案试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，共计150分，考试时间120分钟卷（Ⅰ）《选修1－1》一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．抛物线x 2=－8y 的焦点坐标为A. （0，－4）B. （0，－2）C. 1(0,)16-D. 1(0,)32- 2．下列函数求导运算正确的个数为 ①(21)'2x -=；②21(log )'ln 2x x =⋅；③()'x x e e =；④(cos )'sin x x = A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．函数()2cos f x x x =+在[0，π]上的极大值点为 A.12π B. 6π C. 3π D. 2π4．下列命题中，是假命题的是A ．如果x<2，则x<3B ．3+6=8或3+6=9C ．2,0x R x ∀∈> D. *x N ∃∈，使x 既是质数又是偶数5．若偶函数f （x ）定义域为(,0)(0,)-∞+∞，f （x ）在（0,+∞）上的图象如图所示，则不等式f （x ）f'（x ）>0的解集是A. (,1)(0,1)-∞-B. (1,0)(1,)-+∞C. (,1)(1,)-∞-+∞D. (1,0)(0,1)-6．若ln (),3xf x a b x=<<，则 A ．()()f a f b > B ．()()f a f b = C ．()()f a f b < D ．()()1f a f b >7. 已知抛物线22y x =上两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于直线y x m =+对称，若1212x x =-，则m 的值为A.23 B. 2 C. 52 D. 328. 已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图象大致可能为二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9. 若命题2:,2p x N x x ∃∈=+，则p ⌝为： 。

10. 函数313y x x =+-的极小值是 。

11. 方程22121x y m m +=++表示双曲线的充要条件是 。

12. 已知函数22,0,()3,0x a x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是。

三、解答题（本大题共3小题，共40分） 13. （本小题满分14分）设函数3211()232f x x x ax =-++。

（Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若y x =是曲线()y f x =的切线，求a 的值。

14. （本小题满分12分） 已知函数1()ln (0,)f x a x a a R x=+≠∈ （Ⅰ）若a=1，求函数f （x ）的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间[1，e]上至少存在一点x 0，使得f （x 0）<0成立，求实数a 的取值范围。

15. （本小题满分14分）已知椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的离心率为2，且椭圆上点到两焦点距离之和为2k （k ≠0）的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点M （0，m ）。

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）试用m 表示△MPQ 的面积，并求面积的最大值．卷（Ⅱ）《选修1－2》一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1.1i= A. i B. －i C. 1 D. －12．满足12z i -+=的复数z 在复平面上对应的点组成的图形是 A ．线段 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线3．观察243()'2,()'4x x x x ==，(cos )'sin x x =-，由归纳推理可得出：若定义在R 上的偶函数f （x ），记'()()f x g x =，则()g x -=A ．f （x ）B ．－f （x ）C ．g （x ）D ．－g （x ）二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）4. 已知复数(2)(1)z i i =-+，则z 的虚部为 ，z 在复平面内对应的点在第 象限。

5. 若P =0)Q a =≥，则P 、Q 的大小关系是 。

6. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =-，112(2)n nS n S -+=-≥，通过计算1234,,,S S S S 可以归纳出n S = 。

三、解答题（本大题共2小题，共20分） 7. （本小题满分10分）设复数22(23)(32)z m m m m i =--+++，实数m 取何值时： （Ⅰ）z 是纯虚数；（Ⅱ）z 是实数；（Ⅲ）z 对应的点位于复平面的第二象限。

8. （本小题满分10分）设0a >，函数()x x e af x a e=+是R 上的偶函数。

（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）证明：()f x 在(0,)+∞上单调递增。

【试题答案】一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分9. 2,2x N x x ∀∈≠+ 10. 1 11. 21m -<<- 12. 23a > 三、 解答题：本大题共3小题，共40分解：（Ⅰ）当3a =时，3211()632f x x x x =-++ 2'()6f x x x =-++(2)(3)x x =-+- 3分可知当2x <-或3x >时，'()0f x <当23x -<<时，'()0f x > 5分 所以此时函数()f x 的单调递增区间为：(2,3)-函数()f x 的单调递减区间为：(,2)-∞-和(3,)+∞ 7分（Ⅱ）设直线y x =与曲线()y f x =相切于点3211(,2)32P m m m am ++－， 8分 则有2322111232m m a m m am m⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩ 11分解得113232a =或 14分 14. 解：（Ⅰ）因为2211'()a ax f x x x x-=+=－， 2分 当1a =，21'()x f x x -=， 令'()0f x =，得1x =， 3分 又()f x 的定义域为(0,)+∞，'()f x ，()f x 随x 的变化情况如下表：所以1x =时，()f x 的极小值为1。

5分()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为（0，1）； 6分（Ⅱ）解法一： 因为2211'()a ax f x x x x-=-+=，且0a ≠， 令'()0f x =，得到1x a=， 若在区间（0，e]上存在一点0x ，使得0()0f x <成立，其充要条件是()f x 在区间（0，e]上的最小值小于0即可。

7分 （1）当10x a=<，即0a <时，'()0f x <对(0,)x ∈+∞成立， 所以，()f x 在区间（0，e]上单调递减， 故()f x 在区间（0，e]上的最小值为11()ln f e a e a e e=+=+， 由10a e +<，得1a e <-，即1(,)a e∈-∞- 9分 （2）当10x a=>，即0a >时， ①若1e a≤，则'()0f x ≤对(0,]x e ∈成立，所以()f x 在区间(0,]e 上单调递减， 所以，()f x 在区间（0，e]上的最小值为11()ln 0f e a e a e e=+=+>， 显然，()f x 在区间（0，e]上的最小值小于0不成立 10分 ②若10e a <<，即1a e>时，则有所以()f x 在区间（0，e]上的最小值为()ln f a a a a=+， 由11()ln(1ln )0f a a a a a a=+=-<， 得1ln 0a -<，解得a e >，即(,)a e ∈+∞。

11分综上，由（1）（2）可知：1(,)(,)a e e∈-∞-+∞符合题意。

12分解法二：若在区间（0，e]上存在一点0x ，使得0()0f x <成立，即001ln 0a x x +<， 因为00x >，所以，只需001ln 0ax x +< 7分 令()1ln g x ax x =+，只要()1ln g x ax x =+在区间（0，e]上的最小值小于0即可 因为'()ln (ln 1)g x a x a a x =+=+， 令'()(ln 1)0g x a x =+=，得1x e = 9分 （1）当0a <时：因为(0,x ∈１）ｅ时，()1ln 0g x ax x =+>，而()1ln 1g e ae e ae =+=+， 只要10ae +<，得1a e <-，即1(,)a e∈-∞- 10分 （2）当0a >时：所以，当(0,)x e ∈时，()g x 极小值即最小值为1()1ln 1a g a e e e e=+⋅=-， 由10ae-<，得a e >，即(,)a e∈+∞11分 综上，由（1）（2）可知，有1(,)(,)a e e∈-∞-+∞ 12分15. 解：（Ⅰ）依题意可得，c a =，b c =， 又222a b c =+， 可得1b =，a =所以椭圆方程为2212y x +=。

3分 （Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，由221,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(2)210k x kx ++-=。

4分设11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 则12222k x x k -+=+，12212x x k =-+。

可得121224()22y y k x x k +=++=+。

5分 设线段PQ 中点为N ，则点N 的坐标为222(,)22k k k -++ 由题意有1MN k k ⋅=-，可得222212m k k k k -+⋅=-+。

可得212m k =+，又0k ≠，所以102m <<。

8分（Ⅲ）设椭圆上焦点为F ， 则1212MPQ S FM x x ∆=⋅⋅-。

12x x -==9分 由212m k =+，可得212k m+=。

所以12x x -== 11分 又1FM m =-，所以MPQ S ∆=所以MPQ ∆1)2m <<。

设3()(1)f m m m =-，则2'()(1)(14)f m m m =--。