三、值域问题例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。
解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。
若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故 f(0)≠0，必有f(0)=1。
由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x 、y 均成立，因此，0)2()(2≥⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f x f ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0. 四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法， 例6、设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ，函数f(x)满足,()x x x f x f +=⎪⎭⎫⎝⎛-+11 ,求f(x)的解析式。
解:(1)1),x 0(x x 1)x1x (f )x (f ≠≠+=-+且Θ----,12)11()1(:x 1-x xx x f x x f x -=-+-得代换用（2）:)1(x -11 得中的代换再以x.12)()x -11f(x x x f --=+---（3）1)x 0(x x2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:①f(n)>0,n ∈N;②f(n 1+n 2)=f(n 1)f(n 2),n 1,n 2∈N*;③f(2)=4同时成立? 若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x (x ∈N*)小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解. 练习：1、.232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:02)x (x f 3 x,x1)x (f 2)x1(f ,x x12=++=-与已知得得代换用，.232|)x (f |,024)x (9f02≥∴≥⨯-≥∆得由3、函数f (x )对一切实数x ,y 均有f (x +y)-f (y)=(x +2y+1)x 成立，且f (1)=0， （1）求(0)f 的值；（2）对任意的11(0,)2x ∈，21(0,)2x ∈，都有f (x 1)+2<log a x 2成立时，求a 的取值范围． 解：（1）由已知等式()()(21)f x y f y x y x +-=++，令1x =，0y =得(1)(0)2f f -=，又∵(1)0f =，∴(0)2f =-． （2）由()()(21)f x y f y x y x +-=++，令0y =得()(0)(1)f x f x x -=+，由（1）知(0)2f =-，∴2()2f x x x +=+．∵11(0,)2x∈，∴22111111()2()24f x x x x +=+=+-在11(0,)2x ∈上单调递增，∴13()2(0,)4f x +∈．要使任意11(0,)2x ∈，21(0,)2x ∈都有12()2log a f x x +<成立，必有23log 4a x ≤都成立.当1a >时，21log log 2a a x <,显然不成立．当01a <<时，213(log )log 24a a x >≥，解得14a ≤<∴a 的取值范围是,1)4． 五、单调性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决）.练习：设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x 、y ，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R 上为增函数。
证明：设R 上x 1<x 2，则f(x 2-x 1)>1，f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)f(x 1),(注意此处不能直接得大于f(x 1)，因为f(x 1)的正负还没确定) 。
取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f （0）=0,令x>0,y=0，则f(x)=0与x>0时，f(x)>1矛盾，所以f(0)=1，x>0时，f(x)>1>0,x<0时，-x>0，f(-x)>1,∴由0)(1)(1)()()0(>-==-=x f x f x f x f f 得，故f(x)>0，从而f(x 2)>f(x 1).即f(x)在R 上是增函数。
（注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性）练习：已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且f (－21)=0,当x >－21时，f (x )>0.求证：f (x )是单调递增函数；证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－21>－21,由题意f (x 2－x 1－21)>0,∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－21)－1=f ［(x 2－x 1)－21］>0,∴f (x )是单调递增函数.练习4、已知函数f(x)对任何正数x,y 都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,当x>1时,f(x)<1。
试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性。
解:0)x (f ,0)x (f ,0)x (f )x x (f )x (f R x 2>≠≥=•=∈+故又有对，则则且设,1x x ,x x ,R x ,x 122121><∈+1)x x(f )x (f )x (f )x x(f )x (f )x x x (f )x (f )x (f 121112111212<=•=•=，所以f(x 1)>f(x 2),故f(x)在R +上为减函数.练习6、. 已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥；(2)(1)3f =，(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-. (I)求(0)f 的值；(II)求()f x 的最大值； (III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*12(3),n n S a n N =--∈.求证：123112332()()()()2n n f a f a f a f a n -⨯++++≤+-L .解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤，由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥max ()(1)3f x f ∴==(III)*12(3)()n n S a n N =--∈Q 1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥1111133(2),10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴=Q111112113333333()()()()()23()4n n n n n n n nf a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 111143333()()n n f f -∴≤+，即11433())(n n f a f a +≤+。
22112211414414444112133333333333()()()()2n n n n n n n f a f a f a f a ------∴≤+≤++≤≤+++++=+L L 故113()2n n f a -≤+ 1213131()1()()()2n nf a f a f a n --∴+++≤+L 即原式成立。
六、奇偶性问题解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(-x)与f(x)的关系（2）已知y=f (2x +1)是偶函数，则函数y=f (2x )的图象的对称轴是（ D ）A.x =1B.x =2C.x =－21D.x =21解析：f(2x+1)关于x=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称. 注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。
F （x ）=f(2x+1)为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1)→f(x)关于x=1对称。
例15：设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在)0,(-∞上是增函数，又)123()12(22+-<++a a f a a f 。
求实数a 的取值范围。
解析：又偶函数的性质知道：)(x f 在),0(+∞上减，而0122>++a a ，01232>+-a a ，所以由)123()12(22+-<++a a f a a f 得1231222+->++a a a a ，解得30<<a 。
（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：)21()1()1()1(a f a f f a f -<+<+或等；也可将定义域作一些调整）例16：定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x +y )=f (x )+f (y )．(1)求证f (x )为奇函数；(2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．解答：(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x ，y ∈R)---- ①令y=-x ，代入①式，得 f(x -x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立，∴f(x)是奇函数．(2)解：f(3)=log 23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R 上是单调函数，所以f(x)在R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k ·3x )＜-f(3x -9x -2)=f(-3x +9x +2)， k ·3x ＜-3x +9x +2，32x -(1+k)·3x +2＞0对任意x ∈R 成立．令t=3x ＞0，即t 2-(1+k)t+2＞0对任意t ＞0恒成立．221()(1)2,2101(0)20,20,100,()02(1)801令其对称轴当即时，符合题意；1+k 当时2对任意恒成立解得-1k f t t k t x kk f kt f t k k +=-++=+<<-=>≥+⎧≥⎪>>⇔⎨⎪∆=+-<⎩≤<-+故：31(3)(392)0x x k f k f <-+⋅+--<对任意x ∈R 恒成立。