高考数学教案和学案有答案学案文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]学案11 函数与方程导学目标： 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值．自主梳理1．函数零点的定义(1)对于函数y ＝f (x ) (x ∈D )，把使y ＝f (x )的值为____的实数x 叫做函数y ＝f (x ) (x ∈D )的零点．(2)方程f (x )＝0有实根?函数y ＝f (x )的图象与____有交点?函数y ＝f (x )有______．2．函数零点的判定如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条不间断的曲线，且____________，那么函数y ＝f (x )在区间________上有零点．2对于区间[a ，b ]上连续不断的，且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法．自我检测1．(2010·福建改编)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ， x >0的零点为______________．2．(2010·山东省实验中学模拟)函数f (x )＝3ax ＋1－2a ，在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围为________________________．3．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是________(填序号)．4．若函数f (x )唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，则下列说法正确的个数是________．①函数f (x )在(1,2)或[2,3)内有零点； ②函数f (x )在(3,5)内无零点； ③函数f (x )在(2,5)内有零点；④函数f (x )在(2,4)内不一定有零点．5．(2009·山东)若函数f(x)＝a x－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围为________．探究点一函数零点的判断例1 判断函数y＝ln x＋2x－6的零点个数．变式迁移 1 (1)(2011·南通调研)设f(x)＝x3＋bx＋c(b>0)，且f(－12)·f(12)<0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内根的个数为________．(2)(2010·烟台一模)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是________．探究点二用二分法求方程的近似解例2 用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点的近似值．(精确到0.1)变式迁移 2 用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考为________．探究点三利用函数的零点确定参数例 3 已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．变式迁移3 若函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a的取值范围．1．全面认识深刻理解函数零点：(1)从“数”的角度看：即是使f(x)＝0的实数x；(2)从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；(3)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；(4)若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．2．求函数y＝f(x)的零点的方法：(1)(代数法)求方程f(x)＝0的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f(a)·f(b)<0表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．3．有关函数零点的重要结论：(1)若连续不间断的函数f (x )是定义域上的单调函数，则f (x )至多有一个零点；(2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·天津改编)函数f (x )＝2x ＋3x 的零点个数为________．2．若f (x )＝⎩⎨⎧x 2－x －1 ?x ≥2或x ≤－1?1 ?－1<x <2?，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为______________．3．(2010·苏北四市模拟)若方程ln x －6＋2x ＝0的解为x 0，则不等式x ≤x 0的最大整数解为________．4．若函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0,1)内恰有一个零点，则a 的取值范围是____________．5．(2010·南通二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1， ?x >0?－x 2－2x ， ?x ≤0?，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围为________．6．(2010·泰州期末)已知函数f (x )＝log a (2＋ax )的图象和函数g (x )＝1log (2)aa x +(a >0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝b 对称(b 为常数)，则a＋b ＝________.7．(2010·深圳一模)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是______________．8．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是下列四个函数中的________．(填上正确的序号)①f (x )＝4x －1；②f (x )＝(x －1)2；③f (x )＝e x －1；④f (x )＝ln(x －0.5)．二、解答题(共42分)9．(12分)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈(0，12)，使f (x 0)＝x 0.10．(14分)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．11．(16分)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a2，3a >2c >2b ，求证：(1)a>0且－3<ba<－34；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3)设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则2≤|x1－x2|<57 4.答案自主梳理1．(1)0 (2)x轴零点 2.f(a)·f(b)<0 (a，b) 3．(x1,0)，(x2,0) 两个一个无自我检测1．－3和e2 2.a>15或a<－1 3.①③ 4.3 5.a>1课堂活动区例1 解题导引判断函数零点个数最常用的方法是令f(x)＝0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数y＝f(x)就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧．解方法一设f(x)＝ln x＋2x－6，∵y＝ln x和y＝2x－6均为增函数，∴f(x)也是增函数．又∵f(1)＝0＋2－6＝－4<0，f(3)＝ln 3>0，∴f(x)在(1,3)上存在零点．又f(x)为增函数，∴函数在(1,3)上存在唯一零点．故函数y＝ln x＋2x－6的零点个数为1.方法二在同一坐标系画出y＝ln x与y＝6－2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y＝ln x＋2x－6只有一个零点．变式迁移1 (1)1 (2)4解析(1)∵f′(x)＝3x2＋b>0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数，又f(－12)·f(12)<0，∴f(x)在[－1,1]内存在唯一零点，方程f(x)＝0有唯一根．(2)由题意知f(x)是偶函数并且周期为2.由f(x)－log3|x|＝0，得f(x)＝log3|x|，令y＝f(x)，y＝log3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数y轴下边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x≠0，x∈R的范围内共4个．例2 解题导引用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程．解∵f(1)＝1－1－1＝－1<0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875>0，∴f(x)在区间[1,1.5]存在零点．所取近似值都是1.3，因此1.3就是所求函数的一个零点近似值．变式迁移2 1.56解析∵f(1.562 5)·f(1.556 2)<0，且区间[1.556 2,1.562 5]左右端点精确到0.01所取近似值都是1.56，因此1.56即为符合要求的零点．例3 解题导引函数与方程虽然是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，然后通过方程进行研究．函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点．解若a＝0，f(x)＝2x－3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a≠0.令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，解得a＝－3±72.①当a＝－3－72时，f(x)＝0的重根x＝3－72∈[－1,1]，当a＝－3＋72时，f(x)＝0的重根x＝3＋72?[－1,1]，∴y＝f(x)恰有一个零点在[－1,1]上；②当f(－1)·f(1)＝(a－1)(a－5)<0，即1<a<5时，y＝f(x)在[－1,1]上也恰有一个零点．③当y＝f(x)在[－1,1]上有两个零点时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ＝8a 2＋24a ＋4>0－1<－12a <1f (1)≥0f (－1)≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ＝8a 2＋24a ＋4>0－1<－12a <1f (1)≤0f (－1)≤0，解得a ≥5或a <－3－72. 综上所述实数a 的取值范围是a >1或a ≤－3－72. 变式迁移3 解 方法一 (换元)设2x ＝t ，则函数f (x )＝4x ＋a ·2x ＋a ＋1化为g (t )＝t 2＋at ＋a ＋1 (t ∈(0，＋∞))．函数f (x )＝4x ＋a ·2x ＋a ＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，等价于方程t 2＋at ＋a ＋1＝0，①有正实数根．(1)当方程①有两个正实根时，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0t 1＋t 2＝－a >0t 1·t 2＝a ＋1>0，解得：－1<a ≤2－22；(2)当方程①有一正根一负根时，只需t 1·t 2＝a ＋1<0， 即a <－1；(3)当方程①有一根为0时，a ＝－1，此时方程①的另一根为1. 综上可知a ≤2－2 2.方法二 令g (t )＝t 2＋at ＋a ＋1 (t ∈(0，＋∞))． (1)当函数g (t )在(0，＋∞)上存在两个零点时，实数a 应满足⎩⎨⎧Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0－a2>0g (0)＝a ＋1>0，解得－1<a ≤2－22；(2)当函数g (t )在(0，＋∞)上存在一个零点，另一个零点在(－∞，0)时，实数a 应满足g (0)＝a ＋1<0，解得a <－1；(3)当函数g (t )的一个零点是0时，g (0)＝a ＋1＝0，a ＝－1，此时可以求得函数g (t )的另一个零点是1.综上(1)(2)(3)知a ≤2－2 2.方法三 f (x )存在零点?方程a ＝－4x ＋12x ＋1有实根．因为－4x ＋12x ＋1＝－(2x ＋1)2－2(2x ＋1)＋22x ＋1＝－[(2x＋1)＋22x ＋1－2]≤2－2 2.当且仅当2x ＋1＝2，即x ＝log 2(2－1)时，上式取“＝”． 所以a ≤2－2 2. 课后练习区 1．1解析 因为f (－1)＝12－3<0，f (0)＝1>0，所以f (x )在区间(－1,0)上存在零点．又f (x )在R 上单调递增．所以f (x )只有1个零点． 2．1＋2或1解析 求g (x )＝f (x )－x 的零点，即求f (x )＝x 的根，∴⎩⎨⎧x ≥2或x ≤－1x 2－x －1＝x或⎩⎨⎧－1<x <2x ＝1.解得x ＝1＋2或x ＝1. 3．2解析 令f (x )＝ln x －6＋2x ，则f (1)＝ln 1－6＋2＝－4<0，f (2)＝ln 2－6＋4＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0，∴2<x 0<3.∴不等式x ≤x 0的最大整数解为2. 4．(1，＋∞)解析 当a ＝0时，函数的零点是x ＝－1，不合题意；当a ≠0时，若Δ>0，f (0)·f (1)<0，则a >1；若Δ＝0，即a ＝－18，函数的零点是x＝－2，不合题意，所以a ∈(1，＋∞)． 5．(0,1)解析 在坐标系内作出函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1， (x >0)－x 2－2x ， (x ≤0)的图象(如图)，发现0<m <1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 有3个交点，即g (x )＝f (x )－m 有3个零点．6．2解析 依题意有f (x )＋g (x )＝log a (2＋ax )＋1log a(a ＋2x )＝2b ，所以有⎩⎨⎧f (0)＋g (0)＝2b ，f (1)＋g (1)＝2b ，即有11log 2log 2log (2)log (2)2a aa a a ba ab +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩?⎩⎨⎧a ＝2，b ＝0，所以a ＋b ＝2.7．x 1<x 2<x 3解析 令x ＋2x ＝0，即2x ＝－x ，设y ＝2x ，y ＝－x ； 令x ＋ln x ＝0，即ln x ＝－x ，设y ＝ln x ，y ＝－x .在同一坐标系内画出y ＝2x ，y ＝ln x ，y ＝－x ，如图：x 1<0<x 2<1，令x －x －1＝0，则(x )2－x －1＝0，∴x ＝1＋52，即x 3＝3＋52>1，所以x 1<x 2<x 3.8．①解析 f (x )＝4x －1的零点为x ＝0.25，f (x )＝(x －1)2的零点为x ＝1，f (x )＝e x －1的零点为x ＝0，f (x )＝ln(x －0.5)的零点为x ＝1.5，现在我们来估算g (x )＝4x ＋2x －2的零点，因为g (0)＝－1，g (0.25)≈－0.086，(g (0.5)＝1，所以g (x )的零点x ∈(0,0.5)，又函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，只有f (x )＝4x －1的零点适合．9．证明 令g (x )＝f (x )－x .………………………………………………………………(2分)∵g (0)＝14，g (12)＝f (12)－12＝－18，∴g (0)·g (12)<0.……………………………………………………………………………(8分)又函数g(x)在(0，12)上连续，……………………………………………………………(10分)所以存在x0∈(0，12)，使g(x0)＝0.即f(x0)＝x0.………………………………………………………………………………(12分)10．解∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)>0，∴若存在实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．………………………………………………………………(3分) f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－15或a≥1.………………………………………………(5分)检验：①当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0.得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.…………………………………………(8分)②当f(3)＝0时，a＝－1 5，此时f(x)＝x2－135x－65，令f(x)＝0，即x2－135x－65＝0，解之得x＝－25或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－15.………………………………………(12分)综上所述，a<－15或a>1.………………………………………………………………(14分)11．证明(1)∵f(1)＝a＋b＋c＝－a 2，∴3a＋2b＋2c＝0.又3a>2c>2b，∴3a>0,2b<0，∴a>0，b<0.又2c＝－3a－2b，由3a>2c>2b，∴3a>－3a－2b>2b.∵a>0，∴－3<ba<－34.……………………………………………………………………(4分)(2)∵f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c.①当c>0时，∵a>0，∴f(0)＝c>0且f(1)＝－a2<0，∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点．……………………………………………(8分)②当c≤0时，∵a>0，∴f(1)＝－a2<0且f(2)＝a－c>0，∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点．综合①②得f(x)在(0,2)内至少有一个零点．……………………………………………(12分)(3)∵x1，x2是函数f(x)的两个零点，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．∴x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca＝－32－ba.∴|x1－x2|＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－ba)2－4(－32－ba)＝(ba＋2)2＋2.……………………………………………(15分)∵－3<ba<－34，∴2≤|x1－x2|<574.……………………………………………………(16分)。