勾股定理
本章常用知识点：
1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。

如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。

2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 ，称为勾股数。

常见勾股数有： 3、常见平方数：
121112=； 144122=； 16913
2=； 196142=； 225152
=；256162= 289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212
=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=
专题归类：
专题一、勾股定理与面积
1、、在Rt ▲ABC 中，∠C=︒90,a=5,c=3.，则Rt ▲ABC 的面积S= 。

2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为： 。

3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为
4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是
1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4， 则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于 。

5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。

6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a 2
+b 2
+c 2
+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为 。

7、如图1，︒=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？
l
3
21
S 4
S 3
S 2S 1
7、如下图，在∆ABC 中，︒=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到∆ABC 三边距离相等的点，求点P 到∆ABC 三边的距离。

8、有一块土地形状如图3所示，︒=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7
米，请计算这块土地的面积。

（添加辅助线构造直角三角形）
9、如右图：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD 的面积。

10、如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落
在C ′的位置上，已知AB=•3，BC=7，求：重合部分△EBD 的面积
11、如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3 .
D C
B A B
C
P
(1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明)
(2) 如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明；
(3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你猜想S 1、S 2、S 3之间的关系?.
专题二、勾股定理与折叠
1、如图4，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。

2、有一个直角三角形纸片，两直角边的长
AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿AD 对折，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长？
3、如图6，在矩形纸片ABCD 中，
AB=33，BC=6,沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在Q 点处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=︒30
(1) 求BE 、QF 的长
(2) 求四边形QEFH 的面积。

专题三、利用勾股定理列方程求线段的长度
1、如图7，铁路上A 、B 两站相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于A 点，CB ⊥AB 于点B ，DA=15千米，CB=10千米，现在要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C 、D 两村庄到收购站的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多远的距离？
2、一架长为5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端B 距离底C 为3米，如果梯子的顶端A 沿墙下滑1米到D 处，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动1米到E 处吗？请给出证明。

3、 △ABC 中，AB=AC=20，BC=32，D 是BC 上一点，
且AD ⊥AC ，求BD 的长．
专题四、勾股数的应用
1、下列是勾股数的一组是（ ）
A 4,5,6,
B 5,7,12
C 12,13,15
D 14 ,48,50
2、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则它的周长是 。

3、下列是勾股数的一组是（ ）
A 2,3,4,
B 5,6,7,
C 9,40,41
D 10 24 25
4、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c ，其中a,b,c 为正整数，且a<b<c
（1）：试找给他们的共同点，并证明你的结论 （2）：当a=21时，求b,c 的值
专题五、勾股定理及逆定理有关的几何证明
1、 在四边形ABCD 中，∠C 是直角，AB=13,BC=3,CD=4,AD=12 证明：AD ⊥BD
3、在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点 且CF=
4
1
CD 试说明▲AEF 是直角三角形。

4、▲ABC 三边的长为a,b, c ，根据下列条件判断▲ABC 的形状
（1）：a 2
+b 2
+c 2
+200=12a+16b+20c ；
5、试判断，三边长分别为2n 2+2n ，2n+1，2n 2+2n+1（n 为正整数）•的三角形是否是直角三角形？
6、如图2-12，△ABC 中，∠C=90°，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ． 求证：A D 2=AC 2+BD 2．
专题六、勾股定理与旋转
1、在等腰Rt ▲ABC 中，∠CAB=︒90，P 是三角形内一点，且
PA=1,PB=3,PC=7求：∠CPA 的大小？
2、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长。

4、已知，如图△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC 。

5、如图，在ABC ∆中，090B ∠=，M 为AB 上一点，AM=BC ，N 为AB 上一点，CN=BM ，连接AN 、CM 交于点P 。

求APM ∠的大小。

专题七、最短路线问题
1、 有一正方体盒子，棱长是10cm ，在A 点处有一只蚂蚁它
想到B 点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？
A
B
2、有一个长方体盒子。

它的长是70cm ，宽和高都是50cm ，在A 点处有一只蚂蚁它想到B 点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？
A
3、如图所示，一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为60cm 、30cm 、10cm ，A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，在A 点处有一只蚂蚁它想到B 点处
觅食，
B M
C A
N A
那么它爬行的最短路线是多少？
4、王力的家在高楼15层，一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别为1.2m,1.2m,1.3m，
则他所买的竹竿最大长度是多少？
5、如图,已知圆锥的母线AS=10㎝，侧面展开图的夹角是90°，点C为AS的中点,A处有一只蜗牛想吃到C处的食物,但它不能直接爬到C处,只能沿圆锥曲面爬行,请你画出蜗牛爬行的最短路程的图形并求出最短路程.
B。