罐底 厚度 (cm)
6.616 6.62 6.66 6.618 6.614 6.616 6.646 6.628 6.62 6.614
表2 GB／T 9106—2001中规定的
罐体主要尺寸(单位：毫米)[5
名称
符号
250mL
公称尺寸 275mL 300mL 335mL
500mL
极限 偏差
罐体高度 H 90.93 98.95 115.2 122.22 167.84 ±0.38
min M Y r 2h r c2 h a d
s.t.V r c2 h a d

a, c, d 0
图2 有不同罐壁 厚度的圆柱形易
拉罐
（3）易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度[4]的情形 在模型二的基础上，考虑工作量（焊缝长度）的不同
V r 2h
s.t. r, h 0
图1 各点罐壁厚度 相同的圆柱形易拉
罐
（2）易拉罐有不同罐壁厚度的情形 易拉罐各面厚度不同，用料量也不相同， 模型二：
根据材料的用量与其体积成正比。
容积一定时，所用材料的体积最小时的尺 寸即易拉罐的最优尺寸，所需要的材料为：
Y r 2h r c2 h a d 应使Y取最小 值， 模型二：
6.646 4.55 10.114 12.166 0.0473 0.0107 0.0318
轻怡
6.628 4.552 10.118 12.166 0.0468 0.0104 0.032
菠萝啤酒 6.62 4.548 10.108 12.158 0.0482 0.0113 0.0322
雪花啤酒 6.614 4.55 10.11 12.166 0.0475 0.0107 0.0324
c2

0
F



r

c 2 h

a

d
V

0
解得：
h ad
rc
即 圆柱体的高与半 径 之比为6时为最优
尺寸
2 h6 r
，
（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形 根据模 型一知：
min S 2 r 2 rh
Matlab6.5
V r 2h
s.t. r, h 0
高铁1602 314宿舍
销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同，这是为什么呢？？？
问题：
• 1.假设易拉罐是一个正圆柱体且底面和侧面的厚度相同，什么是它的最优设 计？
• 2.如果易拉罐是一个正圆柱体，但底面和侧面厚度不同（例如底面厚度是侧 面厚度的3倍），如何设计最优？
一、摘要
对问题一，我们通过实际测量得出（355ml）易拉罐各部分的数据。
工作量有影响，使得易拉罐的材料用量最省的同时，焊缝 长度也尽量取到最小。
根据模型分析，可得焊缝Z长度：2r
将焊缝的长度为Z时的工作量转化为同等的材料体积，从而可以 将二者直接相加。
模型三： min M 1Y 2Z 1 r2h r c2h a d 2 2r
百事可乐 6.618 4.554 10.114 12.174 0.0466 0.0108 0.0326
七喜劲柠 6.614 4.548 10.112 12.172 0.0462 0.0102 0.0316
美年达
6.616 4.536 10.116 12.162 0.047 0.0108 0.032
醒目
s.t.r 0 h 0
二、模型建立
问题二：正圆柱形易拉罐尺寸的最优设计模型
模型一：
（1）易拉罐各点罐壁厚度相同的情形由图1可知：
V r2h
容积为 ：
表面积为 ：V r2h
模型一： M S 2rh r2 r2 2 r2 rh
min S 2 r 2 rh

a, c, d 0
F r2h r c2h a d r c2h a dV
F

r

2rh

2
r

ch

a

d
2r源自cha

d

0
F

h

2r 2
2 r
c2
2 r
V r c2 h a d
s.t.
1,2 0
（此模型即为求解 问题二的完善模型）
三、模型求解
1. 问题一的求解 表1 10种355ml易拉罐饮料的相关测量数据
数项 目
值 种类
可口可乐
罐体 直径 (cm)
圆台口 直径 (cm)
罐体 高度 (cm)
6.616 4.552 10.116
整罐 高度 (cm)
顶盖 厚度 (cm)
侧面 厚度 (cm)
圆台 厚度 (cm)
12.164 0.0471 0.0109 0.0318
雪碧
6.62 4.562 10.088 12.192 0.0448 0.011 0.0332
天府百柠 6.66 4.574 10.102 12.182 0.0462 0.0113 0.0322
罐体外径 D1
66.04
缩颈内径 D2 翻边宽度 B
57.40 2.22
±0.25 ±0.25
然后分别对
（2）易拉罐有不同罐， 壁厚度的情形，根据模
型二，
用拉格朗日乘数法求解新的函数：
，
V
r c2 h a d
min M Y r 2h r c2 h a d s.t.
对问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，
建立易拉罐用料模型
s(r)

2rd
(
v
r
2
2r),
由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在
假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，
得用料模型：
min s(r, h)
g(r, h) r 2h v 0
S 取最小值时，必定有
2 2r


V
r 2


2
r2
2r3

V
r 2


0r

3
V
2
h V 3 4 2V 3 3 8V 2r
r 2
2V 2
2
r 图7 体积一定时 S 随 变化的曲线
即易拉罐的高度为半径的二倍（等边圆柱形）时，所需材料最少。