知识点060 平方差公式的几何背景（选择）1、（2010•达州）如图所示，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a 、b 的恒等式为（ ）A ．（a-b ）2=a2-2ab+b2B ．（a+b ）2=a2+2ab+b2C ．a2-b2=（a+b ）（a-b ）D ．a2+ab=a （a+b ）考点：平方差公式的几何背景．分析：可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a 、b 的恒等式．解答：解：正方形中，S 阴影=a2-b2；梯形中，S 阴影=21（2a+2b ）（a-b ）=（a+b ）（a-b ）； 故所得恒等式为：a2-b2=（a+b ）（a-b ）．故选C ．点评：此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．2. （2009•内江）在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A ．（a+b ）2=a2+2ab+b2B ．（a-b ）2=a2-2ab+b2C ．a2-b2=（a+b ）（a-b ）D ．（a+2b ）（a-b ）=a2+ab-2b2考点：平方差公式的几何背景．分析：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积=a2-b2=（a+b ）（a-b ）．解答：解：阴影部分的面积=a2-b2=（a+b ）（a-b ）．故选C ．点评：此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．3. （2006•襄阳）如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把余下的部分剪拼成一矩形如图，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A ．（a-b ）（a+2b ）=a2-2b2+abB ．（a+b ）2=a2+2ab+b2C ．（a-b ）2=a2-2ab+b2D ．（a-b ）（a+b ）=a2-b2考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：左图中阴影部分的面积=a2-b2，右图中矩形面积=（a+b）（a-b），根据二者相等，即可解答．解答：解：由题可得：（a-b）（a+b）=a2-b2．故选D．点评：此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．4. （2006•天门）如图所示，从边长为a的大正方形中挖去一个边长是b的小正方形，小明将图甲中的阴影部分拼成了一个如图乙所示的矩形，这一过程可以验证（）A．a2+b2-2ab=（a-b）2 B．a2+b2+2ab=（a+b）2C．2a2-3ab+b2=（2a-b）（a-b）D．a2-b2=（a+b）（a-b）考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：利用正方形的面积公式可知阴影部分面积为=a2-b2，根据矩形面积公式可知阴影部分面积=（a+b）（a-b），二者相等，即可解答．解答：解：由题可知a2-b2=（a+b）（a-b）．故选D．点评：此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．5. （2006•荆门）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），再沿虚线剪开，如图（1），然后拼成一个梯形，如图（2），根据这两个图形的面积关系，表明下列式子成立的是（）A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．a2-b2=（a-b）2考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：（1）中的面积=a2-b2，（2）中梯形的面积=（2a+2b）（a-b）÷2=（a+b）（a-b），两图形阴影面积相等，据此即可解答．解答：解：由题可得：a2-b2=（a+b）（a-b）．故选A．点评：本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．6. 如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个矩形，通过计算两处图形的面积，验证了一个等式，此等式是（）A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．（a+2b）（a-b）=a2+ab+b2考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：利用正方形的面积公式可知剩下的面积=a2-b2，而新形成的矩形是长为a+b，宽为a-b，根据两者相等，即可验证平方差公式．解答：解：由题意得：a2-b2=（a+b）（a-b）．故选A．点评：此题主要考查平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．7. 如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（）A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．a2-ab=a（a-b）考点：平方差公式的几何背景．分析：根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）．解答：解：阴影部分的面积=a2-b2=（a+b）（a-b）．故选A．点评：此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．8. 如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形（阴影部分的面积），验证了一个等式是（）A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2考点：平方差公式的几何背景．专题：几何图形问题．分析：利用正方形的面积公式可知剩下的面积=a2-b2，而新形成的矩形面积为（a+b）（a-b），根据两者相等，即可验证平方差公式．解答：解：由题意得：a2-b2=（a+b）（a-b）．故选A．点评：本题主要考查平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．9. 从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，如图，然后将剩余部分剪后拼成一个矩形，上述操作所能验证的等式是（）A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a-b）2=a2-2ab+b2C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．a2+ab=a（a+b）考点：平方差公式的几何背景．分析：由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式．解答：解：大正方形的面积-小正方形的面积=a2-b2，矩形的面积=（a+b）（a-b），故a2-b2=（a+b）（a-b）．故选A．点评：本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．10. 如图（一），在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成一个矩形（如图（二）），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2考点：平方差公式的几何背景．专题：应用题．分析：左图中阴影部分的面积=a2-b2，右图中矩形面积=（a+b）（a-b），根据二者相等，即可解答．解答：解：由题可得：a2-b2=（a-b）（a+b）．故选A．点评：本题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．11. 如图，在边长为a的正方形中裁掉一个边长为b的小正方形（如图Ⅰ），将剩余部分沿虚线剪开后拼接（如图Ⅱ），通过计算，用接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证等式（）A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2 D．（a-b）2=a2-2ab+b2考点：平方差公式的几何背景．分析：易求出图（1）阴影部分的面积=a2-b2，图（2）中阴影部分进行拼接后，长为a+b，宽为a-b，面积等于（a+b）（a-b），由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．解答：解：图（1）中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2-b2；图（2）中阴影部分为矩形，其长为a+b，宽为a-b，则其面积为（a+b）（a-b），∵前后两个图形中阴影部分的面积，∴a2-b2=（a+b）（a-b）．故选A．点评：本题考查了利用几何方法验证平方差公式：根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．12. 如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，可以验证下面一个等式是（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a-b）2=a2-2ab+b2C．a2-b2=（a+b）（a-b）D．a2+b2=1/2[(a+b)2+(a-b)2]考点：平方差公式的几何背景．分析：分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．解答：解：第一个图形的阴影部分的面积=a2-b2；第二个图形是梯形，则面积是：1/2（2a+2b）•（a-b）=（a+b）（a-b）．则a2-b2=（a+b）（a-b）．故选C．点评：本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．13. 如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），把余下的部分拼成一个梯形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．a2-b2=1/2(2a-2b)(a-b) B．（a-b）2=a2-2ab+b2C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2考点：平方差公式的几何背景．分析：根据正方形的面积公式与梯形的面积公式，列出两个图形中的阴影部分的面积，再根据两个阴影部分的面积相等解答即可．解答：解：图1中，阴影部分的面积=a2-b2，根据图1可得，图2中梯形的高为（a-b），因此图2中阴影部分的面积=1/2（2a+2b）（a-b），根据两个图形中阴影部分的面积相等可得a2-b2=1/2（2a+2b）（a-b）．故选A．点评：本题考查了平方差公式的几何解释，根据面积相等，列出两个图形的面积表达式是解题的关键．14. 关于以如图形面积从左到右的变化过程，能正确表示其中变化规律的等式是（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．a2-b2=（a+b）（a-b）C．a2-2ab+b2=（a-b）2 D．（a+b）（a-b）=a2-b2考点：平方差公式的几何背景．专题：几何图形问题．分析：利用正方形的面积公式可知剩下的面积=a2-b2，而新形成的矩形面积为（a+b）（a-b），根据两者相等，即可验证平方差公式．解答：解：由题意得：a2-b2=（a+b）（a-b）．故选B．点评：本题主要考查平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．15. 将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a-b）2=a2-2ab+b2C．a2-b2=（a+b）（a-b）D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2考点：平方差公式的几何背景．分析：首先求出甲的面积为a2-b2，然后求出乙图形的面积为（a+b）（a-b），根据两个图形的面积相等即可判定是哪个数学公式．解答：解：甲图形的面积为a2-b2，乙图形的面积为（a+b）（a-b），根据两个图形的面积相等知，a2-b2=（a+b）（a-b），故选C．点评：本题主要考查平方差的几何背景的知识点，求出两个图形的面积相等是解答本题的关键．16. 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a、b的恒等式为（）A．（a-b）2=a2-2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a+b）（a-b）=a2-b2 D．a（a-b）=a2-ab考点：平方差公式的几何背景．专题：证明题．分析：分别求出两个图形的面积，再根据两图形的面积相等即可得到恒等式．解答：解：图甲面积=（a-b）（a+b），图乙面积=a（a-b+b）-b×b=a2-b2，∵两图形的面积相等，∴关于a、b的恒等式为：（a+b）（a-b）=a2-b2．故选C．点评：本题考查了平方差公式的几何解释，根据面积相等分别求出图形的面积是解题的关键．17. 比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到因式分解公式（）A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．a2-ab=a（a-b）考点：平方差公式的几何背景；矩形的判定与性质．专题：证明题．分析：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，得出矩形AEFD，求出BE值，求出高AE，根据矩形和正方形的面积公式求出第一个和第二个图形阴影部分的面积，根据阴影部分的面积相等即可得出答案．解答：解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，∵AD∥BC，∴∠AEF=∠DAE=∠DFE=90°，则四边形ADFE是矩形，∴AD=EF，BE=CF=1/2（a-b），由图形可知：∠B=45°，∴AE=BE=1/2（a-b），∴第一个图形阴影部分的面积等于矩形QMNH的面积，是（a+b）×1/2（a-b）×2=（a+b）（a-b），第二个图形阴影部分的面积是a2-b2，∴a2-b2=（a+b）（a-b），故选A．点评：本题考查了对平方差公式的几何图形的运用，表示出阴影部分的面积是解此题的关键．。