北师大版初三中考动点问题专题训练1、如图，已知ABC△中，10AB AC==厘米，8BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使（22点P（1（2式；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t 秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．5在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．αA CB PQ E D 图16 O E C D A l O C7如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．8交CD （1（2MN 出△A D EB FC 图4（备用）A D EB FC 图5（备用） 图1 图2 M 图3 C M （第8题）9如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90∠=，且EF交正方形外角DCGAEF∠的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AME ECF△≌△，所以AE EF=．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC 上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；参考答案1.解：（1）①∵1t=秒，∴313BP CQ==⨯=厘米，∵10AB=厘米，点D为AB的中点，∴BD又∵∴PC∴PC又∵∴B∠∴△分）②∵v又∵∴点∴Qv分）（2解得x∴点∵8022824=⨯+，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．·········（12分）2.解（1）A（8，0）B（0，6）··1分（2）86OA OB==，10AB∴=点Q 由O 到A 的时间是881=（秒） ∴点P 的速度是61028+=（单位/秒）1分 当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，2S t = ····························· 1分 当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865t PD -=， ······ 1分 21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+ ··················· 1分 （自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ························· 1分 12382412241224555555I M M 2⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， ·············· 3分 3.解：（1）⊙P 与x 轴相切.∵直线y =－2x －8与x 轴交于A （4，0），与y 轴交于B （0，－8），∴OA =4，OB =8.由题意，OP =－k ，∴PB =PA =8+k .在Rt △AOP 中，k 2+42=(8+k )2，∴k =－3，∴OP 等于⊙P 的半径，∴⊙P 与x 轴相切.（2）设⊙P 与直线l 交于C ，D 两点，连结PC ，PD 当圆心P 在线段OB 上时,作PE ⊥CD 于E .∵△PCD 为正三角形，∴DE =12CD =32，PD =3，∴PE =33. ∵∠AOB =∠PEB =90°， ∠ABO =∠PBE ，∴△AOB ∽△PEB ，∴332,45AO PE AB PB PB=即， ∴315PB =∴31582PO BO PB =-=-， ∴315(0,8)2P -， ∴31582k =-. 当圆心P 在线段OB 延长线上时,同理可得P (0,－3152－8)， ∴k =－3152－8， ∴当k =3152－8或k =－3152－8时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形.4.5.解：（1）1，8；5（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴3=-．AP t 由△AQF∽△ABC，22BC=-，534得45QF t =．∴45QF t =．∴14(3)25S t t =-⋅，即22655S t t =-+．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP =90°． 由△即3t 由△即5t （4①点连接PC =由PC ②点(6)t - 6.分∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED .∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分 在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2,∴∠A =300.∴AB =4,AC P∴AO =12AC. ……………………8分在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2. ∴BD =2. ∴BD =BC .又∵四边形EDBC 是平行四边形，边形分sin 45︒=2cos 454242AB ︒== ················分 CDH 中，由勾股定理得，HC 43310BK KH HC ++=++=分 边形∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-= ····················· 4分 由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠∴MNC GDC △∽△A D C∴CN CMCD CG=······················5分即102 57 t t-=解得，5017t=······················6分（3）分三种情况讨论：①当NC MC=时，如图③，即102t t=-∴103t=························7分即5 53 t t-=∴258t=························8分③当MN MC=时，如图⑤，过M作MF CN⊥于F点.1122 FC NC t ==解法一：（方法同②中解法一）C132cos 1025t FC C MC t ===-解得6017t =解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△ ∴FC MC HC DC =8.则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ········· 6分（图⑤） A D C B H N MF C 图2②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==． ······················ 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ········ 8分F 重合，△tan301PM ︒=．6EP GM ==综上所述，当2x =或 9，0） ······················ 运动速度每秒钟1个单位长度．················ BF ⊥y 轴于点 ∴所求C 点的坐标为（14，12）． 4分 （3） 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ，B则△APM ∽△ABF ．∴AP AM MP AB AF BF ==． 1068t AM MP∴==． ∴3455AM t PM t ==，． ∴3410,55PN OM t ON PM t ==-==． 设△OPQ 的面积为S （平方单位） ∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10） ··········· 5分 说明:未注明自变量的取值范围不扣分． ∵a 此时 （4）10.BM ∴CF ∴∠∴∠∴∠∠∴∠∴△ AE ∴（2）正确．·············· （7分） 证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ． ········ （8分） BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥．A D FC GE BN∴∠=∠．DAE BEA∴∠=∠．NAE CEF∴△≌△（ASA）．··················（10分）ANE ECF∴=．（11分）AE EF。