牛顿与微积分的发展牛顿（1642~1727），英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。

牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分。

传记作家理查德·威斯法说，伊萨克·牛顿是“塑造了人类才智诸领域的寥寥无几的超级天才之一，一个无法归结为我们用以理解同类的标准的人”，因为微积分仅仅是他对我们理解周围世界作出重大贡献的许多领域中的一个。

在17世纪60年代的短短几年里牛顿成功地将他17世纪的前辈们发展出的关于切线和面积的所有材料统一并推广成为我们今天的微积分教科书中展示的神奇的解决问题的工具。

牛顿于1661年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。

牛顿在通过自学掌握了17世纪的全部成就后，从1664年后期到1666年后期花费了两年时间理出了他关于微积分的基本思想。

就数学思想的形成而言，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。

他对微积分的研究大致可分三个阶段: 第一阶段是静态的无穷小量方法，象费尔马那样把变量看作是无穷小元素的集合; 第二阶段是变量流动生成法，认为变量是由点、线或面的连续运动产生的，因此他把变量称为“流”，变量的变化率称为“流数”; 第三阶段是牛顿称之为最初比和最后比的方法，这种方法又是牛顿对第一阶段无穷小量方法的彻底否定．第一阶段：1667年牛顿完成了他的第一篇微积分论文: 《运用无穷多次方程的分析学》，正式发表于1711年．这篇论文是牛顿第一阶段工作的具体体现．在这篇文章中他总结了前人各种求积方法．给出了求一个变量对另一个变量的瞬时变化率的普遍方法，而且证明了: 求积运算是求变化率的逆过程．这就揭示了微积分的基本性质，即得到现在成为微积分学基本定理的牛顿——莱布尼茨公式．这篇文章是牛顿创立微积分的标志．但其中还有不少含混的地方．第二阶段：牛顿第二阶段的工作，主要体现在1671年的《流数法和无穷级数》中，在这篇论文中牛顿主要解决了两个问题:(1) 已知变量的关系y = f(x)，求它们流数比(牛顿用表示y的流数);(2) 已知一个含流数的方程，求变量之间的关系，这是问题(1)的逆问题，相当于求积分或解微分方程．当时牛顿把微积分叫做流数法，并明确指出流数法的普遍意义: 流数法“不仅可以用来做出任何曲线的切线，而且还可以用来处理其他关于曲度(即曲率)、面积、曲线的长度、重心等深奥的问题”．这个认识远远超过了费尔马等所有的前期微积分学者．牛顿的《流数法》写于1671年，直到1736年才发表。

在这部著作中，牛顿把一条曲线看作是由一个点的连续运动生成的。

依照这个概念，生成点的横坐标和纵坐标，一般是变动的量。

变动的量被称为流，流的变化度称为它的流数。

文中提出了微积分的基本问题：ⅰ设有两个或更多个物体A ，B ，C ，……在同一时刻内描画线段,,,z y x ……。

已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度,,,r q p ……的关系。

ⅱ已知表示线段x 和运动速度p 、q 之比q p的关系方程式，求另一线段y 。

对于这两个问题，牛顿都给出了解答，而对于问题ⅱ的解法实际上是问题ⅰ的解的逆运算。

特别重要的是，《流数简论》中讨论了如何借助于这种逆运算来求面积，从而建立了所谓“微积分基本定理”。

当然，《流数简论》中对微积分基本定理的论述还不能算了现代意义下的严格证明。

牛顿在后来的著作中对微积分基本定理又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明。

在牛顿以前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积。

虽然面积计算与求切线问题的互逆关系以往也曾被少数人在特殊场合模糊地指出，但牛顿却能以足够的敏锐与能力将这种互逆关系明确地作为一般规律提示出来，并将其作为建立微积分普遍算法的基础。

在《流数简论》的其余部分，牛顿将他建立的统一算法应用于求曲线切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等16类问题，展示了他的算法的极大的普遍性与系统性。

《流数简论》标志着微积分的诞生，但它在许多方面是不成熟的。

从1667年到1693年大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说，先后写成了三篇微积分论文，分别是：《运用无限多项方程的分析》，简称《分析学》，完成于1669年；《流数法与无穷级数》，简称《流数法》，完成于1671年；《曲线求积术》，简称《求积术》，完成于1691年。

这三篇论文反映了牛顿微积分学说的发展过程，并且可以看到牛顿对于微积分先后给出了不同的解释。

第一篇论文《分析学》是牛顿为了维护自己在无穷级数方面的优先权而作。

《分析学》利用无穷级数来计算流数、积分以及解方程等，因此《分析学》体现了牛顿的微积分与无穷级数紧密结合的特点。

关于微积分，《分析学》一开始就叙述了计算曲线)(x f y =下面积的法则。

设有n m ax y =表示的曲线，牛顿论证所求面积为n n m x nm na z )(++=。

牛顿在论证中取x 而不是时间t 的无限小增量“瞬”为ο，以ο+x 代x ，y z ο+代z ，则n n m x nm na y z )()(+++=+οο。

用二项式定理展示后以ο除两边，略去ο的项，即得n m axy =。

反过来就知曲线n m ax y =下的面积是n n m x n m na z ++=。

牛顿接着给出了另一条法则：若y 值是若干项之和，那么所求面积就是由其中每一项得到的面积之和，这相当于逐项积分定理。

由上述可知，牛顿《分析学》以无限小增量“瞬”为基本概念，但却回避了《流数简论》中的运动学背景而将“瞬”看成是静止的无限小量，有时直截了当令其为零。

第二篇论文《流数法》可以看作是1666年《流数简论》的直接发展。

《流数法》开始于他在给莱布尼茨第二封信中仅用密码作过暗示的问题，也是他认为是微积分两个基本方面的问题：“1.连续地给出距离的长度（就是说，在任何时间的），求任何指定时间的运动的速度。

2.连续地给出运动的速度，求在任何指定时间走过的距离。

”对牛顿说来，微积分的基本思想是同运动有关的。

一个方程中的所有变量都被看作是——至少是隐含地——依赖于时间的距离。

当然，这一思想不是牛顿首创造的，但他使得运动的思想成为主导思想：“我把量看成好像是当运动的物体绘出轨迹时由连续增加的距离产生的。

”牛顿实际上把时间的稳定增加本身看作是一条公理，因为他没有定义时间。

他作过定义的是流数的概念：依赖于时间的量x （称为流变）的流数•x 是x 在生成运动中增加的速度。

在这一早期著作中，牛顿没有试图给对速度作进一步的定义，牛顿相信连续变化着的运动的概念是完全直觉的。

《流数法》的第二个问题是给定速度求距离，牛顿在他的研究中很早就意识到该问题等价于根据曲线的方程求曲线下的面积。

为了用有限方程求曲线面积（即求曲线下的面积），人们需要一张积分表。

他的表中的第一项是那个简单的曲线1-=n ax y 下的面积是n x na ，但其余就复杂得多。

在这个牛顿的表的一小段摘录中，右边的函数z 表示左边的函数y 下的面积：.)3132(2,,))(51152(2,,)(32,,)/(,)(122/3122/3121n n nn n n n n n n n nnn n cx b x c b nc a z cx b ax y cx b x c b nc a z cx b ax y cx b nc a z cx b ax y cx b x nb a z cx b ax y ++-=+=++-=+=+=+=+=+=---- 同现代的积分表相比，人们注意到牛顿的表没有列出超越函数，没有正弦、余弦甚至没有对数。

尽管牛顿知道这些函数的幂级数，他从未将它们与代数函数同等看待。

他没有通过将正弦、余弦和对数同多项式和其它的代数表达式结合起来的方式处理过它们。

但是，牛顿确实将他的表扩展到了那些其积分在今天要用超越函数来表示的函数，他将这些积分表示为由某些圆锥曲线围成的面积，这些面积可以用幂级数的技巧来计算。

但是他的表对一些曲线是无法给出答案的，即那些用几何方法定义的曲线，例如旋轮线。

牛顿的《流数法》中还有许多其它内容，包括相当于现代的代换法则的技巧、分部积分法以及求弧长的方法。

因此，这一从未发表过的著作实际上包含了任何现代微积分教程最初几章里所有重要的思想，但缺少的一个思想是极限的思想。

第三阶段：牛顿微积分工作的第三阶段，主要体现在他的《曲线求积数》中，这篇论文是牛顿最成熟的微积分著述。

这篇文章写于1676年(却在1704年才发表)．之前提到的无限小量的“o” 既不是有限的，也不正巧是零。

它正如十八世纪时被人们所批评的那样，似乎是一个“逝去的量的鬼魂”，一会儿出现了，一会儿又消失。

这都给理解牛顿的方法带来很大的困难。

他自己也指出：“在数学中，最微小的误差也不能忽略。

……在这里，我认为数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的”。

在此基础上定义了流数概念之后，牛顿写道：“流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量比。

确切地说，它们构成增量的最初比”。

牛顿接着借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比。

当时导数的概念已被明确提出，而且把研究对象由两个变量构成的方程，转向关于一个变量的函数;引入了最初比(即函数的改变量对于自变量改变量之比)和最后比(即改变量消失之后的比)的概念．为了求“最后比”而让改变量消失(其实是取极限之意思，但牛顿当时还不明确)，由此得到一系列的求导公式和求导法则，奠定了微分学的基础．参考文献：【1】数学史通论，李文林，邹建成，胥鸣伟译,高等教育出版社,2004.【2】Carl Boyer, The History of the Calculus and its Conceptual Development (New York: Dover, 1959), Chapter V.【3】简明数学史，张荣芹，哈尔滨出版社,2000.。