第五章随机变量的数字特征问题、目的、意义:所谓随机变量的数字特征,是指连系于它的分布函数的某些数,如平均值,方差等.它们反映随机变量的某些方的特征.在第二章我们举出常见的随机变量分布函数的各种例子,很多分布函数含有两个或多于一个参数(如泊松分布含有一个参数λ,正态分布含有两个参数μ和σ),这些参数往往是由某些数字特征或其它数值所决定的,因此找到这些特征,分布函数(或分布律,概率密度)跟着就确定了.但对一般随机变量,要完全确定它的分布函数就不那么容易了,不过在许多实践问题中,我们并不需要完全知道分布函数,我们只需要知道随机变量某些特征也就够了.例如,在测量某物体的长度时,测量的结果是一个随机变量.在实际工作中,往往用测量长度的平均数来代表这一物体的长度.又如对一射手的技术评定,除了要了解命中环数的平均值,同时还必须考虑稳定情况,命中点分散还是比较集中？由此而可见, 随机变量的数字特征的研究有理论上和实际上的重要意义.第一节 数学期望一、数学期望的概念设某射手进行了100次射击,其中命中7环10次，命中8环20次，命中9环40次，命中10环30次，求此人平均命中环数. 解平均环数为)3010409208107(1001⨯+⨯+⨯+⨯⨯1003010100409100208100107⨯+⨯+⨯+⨯=∑∑==⋅=⋅=107107k kkk p k n n k9.8= ,其中 100=n ,107=n ,208=n ,409=n ,3010=n .nnp kk=,是环数k 出现的频率.由于频率趋向于概率值,因此我们用概率来代替频率而引出数学期望的概念. 数学期望是平均值的推广.如果随机变量X 的分布律为{},1,2,,k k P X x p k n ===L ；称1nk k k x p =∑为X 的数学期望， 记为 1()nk k k E X EX x p ===∑ .“期望”在我们日常生活中常指有根据的希望。

1. 离散型随机变量X 的数学期望：定义1 设随机变量X 的分布律为： {Λ,2,1,}===k p x X P kk,若级数∑∞=1k kkp x 绝对收敛(即∑∞=1||k kkp x 收敛)，则称级数∑∞=1k k k p x 为X 的数学期望， 记为 ∑∞===1)(k kkp x EX X E .2． 离散型随机变量X 的函数的数学期望：设()X g Y =，()x g 是连续函数； 定理 设X 是离散型随机变量， 且{Λ,2,1,}===k p x X P kk，若级数()kk kp x g ∑∞=1绝对收敛，则有：()==X Eg EY ()kk kp x g ∑∞=1.(计算()X g Y =的数学期望,按定义要先求出()X g Y =的分布律,再求}{1∑+∞===i i i y Y P y EY ,但这样麻烦,有了此定理计算起来就比较直接,不必求出Y 的分布律.(其实是先合并取相同值的概率,与后合并取相同值的概率之分,两个算法一致))例1 设随机变量X 的分布律如下:求,EX 2EX , )53(2+X E 解 2.03.023.004.02-=⨯+⨯+⨯-=EX ,,8.23.00)3.04.0(43.023.004.0)2(2222=⨯++=⨯+⨯+⨯-=EX 3.0]523[3.0]503[4.0]5)2(3[)53(2222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-=+X E 4.133.05)3.04.0(17=⨯++⨯= .例2 设随机变量X 的分布律为1{}k P X k qp -==， ,0,1p q q p >=-，1,2,k =L ,求EX 和2EX .解 111{}k k k EX k P X k k qp +∞+∞-===⋅==⋅∑∑11k k q k p +∞-==⋅∑211(1)1q p p =⋅=--.这里,利用了幂级数求和公式)1()(111'-='=∑∑∞+=∞+=-xx x kx k kk k 2)1(1x -= xx x x x k k k -=+++++=∑+∞=11120ΛΛ,(1||<x ). 同理222111{}k k k EX k P X k k qp +∞+∞-===⋅==⋅∑∑211k k q k p +∞-==⋅∑3211(1)(1)p pq p p ++=⋅=--, 利用了))1(()()(2111112'-='='=∑∑∑+∞=-+∞=+∞=-x xkx x kx xk k k k kk k 3)1(1x x-+= , (1||<x )3． 连续型随机变量X 的数学期望：定义3 设X 的概率密度为()x f ，若积分()dx x xf ⎰+∞∞-绝对收敛(即()dx x f x ⎰+∞∞-||收敛)，则称积分()dx x xf ⎰+∞∞-为X 的数学期望，记为EX X E =)(. 即()dx x xf EX ⎰+∞∞-=.4.连续型随机变量X的函数)(X g Y =的数学期望:定理 设随机变量X 的概率密度为()x f ，若积分()()dx x f x g ⎰+∞∞-绝对收敛，则随机变量)(X g Y =的数学期望()==X Eg EY ()()dx x f x g ⎰+∞∞-.(计算()X g Y =的数学期望,按定义要先求出()X g Y =概率密度)(y f Y ,再求()dy y f y EY Y⎰+∞∞-=,但这样麻烦,有时又难于求出)(y f Y ,有了此定理计算起来就比较直接,不必求出Y 的概率密度)例3 已知随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=其它,021,210,)(x x x x x f ,求EX 及2EX .解 ()dx x xf EX⎰+∞∞-=()()()()01212xf x dx xf x dx xf x dx xf x dx +∞-∞=+++⎰⎰⎰⎰1201(2)x xdx x x dx =⋅+-⎰⎰122201(2)1x dx x x dx =+-=⎰⎰,()dx x f x EX⎰+∞∞-=22()()()()0122222012x f x dx x f x dx x f x dx x f x dx+∞-∞=+++⎰⎰⎰⎰12221(2)x xdx x x dx =⋅+-⎰⎰12323017(2)6x dx x x dx =+-=⎰⎰例4 随机变量X 服从柯西分布, 其概率密度为2111)(xx f +⋅=π ,+∞<<∞-x . 问X 的数学期望是否存在.解⎰+∞∞-dx x g )( 收敛是指⎰∞-0)(dx x g 和⎰+∞)(dxx g 都收敛.dx xx A20111||+⋅⎰π dx x x A⎰+=211π221121dx x A⎰+=π )(,)1ln(21|)1ln(21202+∞→+∞→+=+=A A x Aππ,积分dx xx 2111||+⋅⎰+∞π不收敛, 于是,积分dx xx 2111||+⋅⎰∞+∞-π不收敛, 发散,所以 X 的数学期望不存在.5.随机向量的函数的数学期望定理 设()Y X ,为随机变量，()y x g ,为连续函数，那么()Y X g Z ,=是一个随机变量.(1) 若()Y X ,为离散型随机变量，其分布律为{},,2,1,,,Λ====j i p y Y x X P ijji则有:()()==Y X Eg Z E ,()iji j jip y x g ∑∑∞=∞=11, ,其中要求()iji j jip y x g ∑∑∞=∞=11,绝对收敛.(2) 若()Y X ,为连续型随机变量,其概率密度为()y x f ,,则有: ()()Y X Eg Z E ,=()()dxdy y x f y x g ,,⎰⎰∞∞-∞∞-=,其中要求()()dxdy y x f y x g ,,⎰⎰∞∞-∞∞-绝对收敛.定理 设),,,(21n X X X ⋅⋅⋅为连续型随机变量, 其概率密度为()n x x x f ,,,21⋅⋅⋅,函数()nx x x g ,,,21⋅⋅⋅连续,则随机变量 ),,,(21nX X X g Z ⋅⋅⋅=的数学期望)],,,([21n X X X g E EZ ⋅⋅⋅=nn n R dx dx dx x x x f x x x g n⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎰212121),,,(),,,(例5 设随机变量()Y X ,的分布律为求 ,及 解 ij iji p x EX ∑∑=∑∑=ijij i p x}{i ii x X P x ==∑47)4121(2)041(1=+⨯++⨯=,ij ijj p y EY ∑∑=∑∑=jiij j p y}{j jj y Y P y ==∑21)410(1)2141()1(-=+⨯++⨯-=,ij ijj i p y x XY E ∑∑=)(01141)1(1⋅⨯+⋅-⨯=43411221)1(2-=⋅⨯+⋅-⨯+ 。

例6 设随机变量()Y X ,在矩形区域 20,10:≤≤≤≤y x G 内服从均匀分布,求]cos [sin 2Y X E ⋅. 解 ()Y X ,的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其它,020,10,21),(y x y x f ,]cos [sin 2Y X E ⋅dxdy y x f y x ),(cos sin 2⋅⋅=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x 21cos sin 10202⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⋅=20102cos sin 21ydy xdx dx x⎰-=1022cos 12sin 21 )2sin 211(212sin 21-⋅= . 二. 数学期望的性质(1)设C 为常数,则有C C E =)(; (2)设C 为常数,X 为随机变量,则有CEX CX E =)( ; (3) 设Y X ,为任意随机变量, 则有EY EX Y X E +=+)(;证明 只就离散型随机变量的情形给出证明. 若()Y X ,为离散型随机变量，其分布律为{},,2,1,,,Λ====j i p y Y x X P ijji则有:()=+Y X E ()ij i j j i p y x ∑∑∞=∞=+11∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+=1111i j ijj i ij j i p y p x)()(1111∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+=j i ij j i j ij i p y p x }{}{11jj jii iy Y P y x X P x =+==∑∑∞=∞=EY EX += .c bEY aEX c bY aX E ++=++)(, (c b a ,,为常数)性质(3)可以推广到任意有限个随机变量的和的情形:设),,,(21nX X X ⋅⋅⋅随机变量, 则有∑∑===ni ini iEX X E 11)(,∑∑===ni iin i iiEX k X k E 11)( ;(4)设Y X ,为相互独立的随机变量,且||,||,(||)E X E Y E XY 存在，则有EY EX XY E ⋅=)(,证明 只就离散型随机变量的情形给出证明. 若()Y X ,为离散型随机变量，其分布律为{},,2,1,,,Λ====j i p y Y x X P ijji且X 与Y 相互独立,即{},,2,1,},{}{,Λ==⋅====j i y Y P x X P y Y x X P jiji则有 ()=XY E()iji j jipy x ∑∑∞=∞=11()},{11jii j jiy Y x X P y x ===∑∑∞=∞=()}{}{11jii j jiy Y P x X P y x ===∑∑∞=∞=}){}({11jj jii iy Y P y x X P x ===∑∑∞=∞=EY x X P x ii i}{1==∑∞=EY EX ⋅= .性质(4)可以推广到任意有限个随机变量的积的情形:设nX X X ,,,21⋅⋅⋅为相互独立的随机变量, 则有)(21nX X X E ⋅⋅⋅ nEX EX EX ⋅⋅⋅⋅=21.利用性质计算数学期望举例例7 一批产品中有M 件正品,N 件次品,从中任意抽取n 件,以X 表示取到次品的件数,求随机变量X 的数学期望.解 }{k X ==恰取到k 件次品，nNM k n Mk N C C C k X P +-==}{， l k ,,1,0⋅⋅⋅=；),min(N n l =；∑∑==+-===lk lk n NM k Nk n M C C C k X P 00}{1，（比较NMNM x x x )1()1()1(++=++两边nx的系数，得到）方法一EX∑∑==+-===lk lk nN M k Nk n M C C C k k X kP 00}{∑=--+---+⋅⋅=lk n N M k N kn MC nN M Ck N C k 11111)(∑=--+-----+=l k n N M k N k n MC C C N M nN 11111)1(1NM nN += . (从M 件正品和1-N 件次品中,从中任意抽取1-n 件,取到次品件数的分布律之和为1)方法二 取 n 个产品可看作不放回地取n 次,每次取一个产品.令⎩⎨⎧=次取到正品第取到次品第i i X i,0,1 ,n i ,,2,1⋅⋅⋅=,则 nX X X X +⋅⋅⋅++=21,且有NM NX P i+==}1{, n i ,,2,1⋅⋅⋅=,NM NX P X P EX iii+==⋅+=⋅=}0{0}1{1,于是)(21nX X X E EX +⋅⋅⋅++=NM nNN M N EX ni ni i+=+==∑∑==11. 例8 设一袋中有n 个白球和m 个黑球,现在从中无放回接连抽取N 个球,求第i 次取时得黑球的概率(m n N i +≤≤≤1).解 设=i A “第i 次取时得黑球”,显然 mn mA P +=)(1,把n 个白球和m 个黑球看作是各不相同,样本空间考虑前N 次摸球.那么,样本点总数就是从m n +个球中任取N 个球的排列数,即N mn A +,而其中第i 个位置上排黑球的排法是从m 个黑球中任取一个,排在第i 个位置上,再从余下的1-+m n 个球中任取1-N 个, 排在其余1-N 个位置上,这种排法一共有111--+N m n m A C ,于是m n m A A C A P N mn N m n m i +==+--+111)(, (m n N i +≤≤≤1).本题表明,摸得黑球的概率于摸球的先后次序无关.这个结论与我们日常的生活经验是一致的.例如体育比赛中进行抽签,对各队机会均等,与抽签的先后次序无关.书上133页 NM NX P i+==}1{就解决了.例9 将n 只球放入M 只盒子中去,每只球落入各个盒子是等可能的,(每盒容纳球的个数不限),求有球的盒子数X 的数学期望.解设 ==}1{i X 第i 只盒子中有球, ==}0{iX 第i 只盒子中无球, M i ,,2,1⋅⋅⋅= .则∑==Mi iX X 1.而 nniMM X P )1(}0{-==,nniiMM X P X P )1(1}0{1}1{--==-==,所以}0{0}1{1=⋅+=⋅=iiiX P X P EXnn MM )1(1--=,故∑∑====Mi iMi iEXX E EX 11)(])1(1[nn MM M --=.例10 书上158页 习题7将100只铅笔随机地分给80个孩子,如果每支铅笔分给哪个孩子是等可能的,问:平均有多少孩子得到铅笔？解 设有X 个孩子得到铅笔,==}1{iX 第i 个孩子得到铅笔, ==}0{iX 第i 个孩子没得到铅笔,80,,2,1⋅⋅⋅=i .则∑==801i iX X .25.18010080100100)8011(80)180(}0{-⋅≈-=-==eX P i,100)8011(1}0{1}1{--==-==iiX P X P ,}0{0}1{1=⋅+=⋅=iiiX P X P EX100)8011(1--=,故∑∑====801801)(i ii iEXX E EX ])8011(1[80100--=57]1[8025.1≈-≈-e .(查数学用表或用数学软件)第二节 方差 一. 方差的概念定义6 设随机变量X 的数学期望为EX ，若2)(EX X E -存在， 则称2)(EX X E -为X 的方差， 记作DX ，或)(X D ，或VaxX ， 即2)()(EX X E X D DX -==， DX 称为标准差或均方差.方差的计算公式:方差DX ,实际上是求随机变量X 的函数2)(EX X Y -=的数学期望,因而(1)若X 是离散型随机变量,分布律为iip x X P ==}{, ⋅⋅⋅=,2,1i 则ii ip EX x EX X E DX 212)()(-=-=∑∞=;(2)若X 是连续型随机变量,概率密度为)(x f ,则dx x f EX x EX X E DX )()()(22⎰+∞∞--=-=; (3)22)(EX EX DX -=,(简便计算公式,常用) 2)(EX X E DX -=])(2[22EX EX X X E +⋅-=22)(2EX EX EX EX +⋅-=22)(EX EX -= .方差计算举例例1 设随机变量X 的分布律为求DX .解 }{iiix X P x EX ==∑821824823832811=⨯+⨯+⨯+⨯=,}{22iiix X P x EX ==∑8638248238328112222=⨯+⨯+⨯+⨯=,22)(EX EX DX -=6463)821(8632=-=.例2 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤-+=其它,010,101,1)(x x x x x f ,求,EX DX 及}2|{|DX EX X P ≤-.解 易知)(x f 是偶函数, 所以⎰+∞∞-==0)(dx x xf EX , ⎰+∞∞-=dx x f x EX )(22()11211()x f x dx -+∞-∞-=+++⎰⎰⎰⎰1221(1)(1)x x dx x x dx -=++-⎰⎰12323101()()6x x dx x x dx -=++-=⎰⎰, 于是 61)(22=-=EX EX DX ,}2|{|DX EX X P ≤- ⎰-=≤=3131)(}31|{|dx x f X P95)1()1(310031=-++=⎰⎰-dx x dx x .二.方差的性质(1)设C 为常数,则有0)(=C D ; (2)设C 为常数,X 为随机变量,则有DX C CX D 2)(= ;(3)设Y X ,相互独立的随机变量,则有EY EX XY E ⋅=)(,DY DX Y X D +=+)(,DX a c aX D 2)(=+,DY b DX a c bY aX D 22)(+=++, DY DX Y X D +=-)(，22()()[()]D XY E XY E XY =-2222()()EX EY EX EY =⋅- 。