勾股定理综合测试（北师版）
试卷简介:本套试卷主要围绕勾股定理的内容以及在实际生活的应用展开，考查学生对于勾股定理以及勾股定理逆定理的理解，包括最短路径问题、等面积法等。

一、单选题(共14道，每道7分)
1.如图,在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E在同一条直线上,连接BD,BE.以下四个结论:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;④BE2=2(AD2+AB2),其中正确的结论有( )个.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
解题思路：
①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，结论①正确；
②∵△BAD≌△CAE，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠AEC+∠ADE=90°，
∴∠ADB+∠ADE=90°，
即BD⊥CE，结论②正确；
③∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°，结论③正确；
④∵BD⊥CE，
∴在Rt△BDE中，由勾股定理得：，
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴，即，
∴，
而，结论④错误，
综上，正确的个数为3个．
故选C
试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质与判定
2.如图,有两颗树,一颗高10米,另一颗高4米,两树相距8米.一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢,则小鸟至少飞行( )
A.8米
B.10米
C.12米
D.14米
答案：B
解题思路：
如图，AB=10，CD=4，BD=8.
过C点作CE⊥AB于E，连接AC.
∴EB=4，EC=8，AE=AB-EB=10-4=6，
在Rt△AEC中，
故选B
试题难度：三颗星知识点：勾股定理
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
根据题意画出相应的图形，如图所示
在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，
根据勾股定理得：，
过点C作CD⊥AB于点D，
∵，
∴
则点C到AB的距离是．
故选A
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之等面积法
4.如图,在长方形纸片ABCD中,AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
答案：D
解题思路：
∵四边形ABCD是长方形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，∠EFA=90°
∴CE=8-3=5，
在Rt△CEF中，由勾股定理，得
，
设AB=x，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
，
即
解得x=6，
AB=6
故选D
试题难度：三颗星知识点：勾股定理折叠问题
5.如图,在正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.下列结论:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S△FGC=3.其中正确的结论有( )个.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
解题思路：
①正确．
∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；
②正确．
，
设BG=FG=x，则CG=6-x．
在Rt△ECG中，由勾股定理，得
，
解得x=3．
∴BG=GC=3；
③正确．
∵CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF；
④错误．
∵
∵GF=3，EF=2，△GFC和△FCE等高，
∴，
∴，
∴④错误，正确的结论有3个
故选C
试题难度：三颗星知识点：勾股定理折叠问题
6.如图,圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径,高BC=6cm,点P是母线BC上一点, 且PC=BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是( )
A. B.5cm
C. D.7cm
答案：B
解题思路：
将圆柱沿过点A的母线展开，如图所示.
AC=3cm，BC=6cm，.
在Rt△ACP中，由勾股定理，得
故选B
试题难度：三颗星知识点：平面展开最短路径问题
7.如图所示,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2米,则树高为( )
A.米
B.米
C. D.3米
答案：C
解题思路：
如图，在Rt△ABC中，AC=1米，AB=2米；
由勾股定理，得：；
∴树的高度为：；
故选C
试题难度：三颗星知识点：勾股定理
8.如图是一个圆柱形饮料罐,底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是( )
A.12≦a≦13
B.12≦a≦15
C.5≦a≦12
D.5≦a≦13
答案：A
解题思路：
a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：，即a的取值范围是12≦a≦13
故选A
试题难度：三颗星知识点：勾股定理实际应用
9.如图,在直线上依次摆放着七个正方形.已知斜放置的三个正方形面积分别为1,2,3,正放置的四个正方形面积分别为S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=( )
A.3
B.4
C.5
D.6
答案：B
解题思路：
如图，
∵图中的四边形为正方形
∴∠ABD=90°，AB=DB
∴∠ABC+∠DBE=90°
∵∠ABC+∠CAB=90°
∴∠CAB=∠DBE
∵在△ABC和△BDE中
∴△ABC≌△BDE（AAS）
∴AC=BE
∵
∴
∵
∴
同理可得
∴
故选B
试题难度：三颗星知识点：勾股定理弦图应用
10.一个等腰三角形腰长为13cm,底边长为10cm,在底边上有任意一点,它到两腰长的距离分别为a,b,已知a,b的和为定值,则这个定值是( )
A.12cm
B.
C. D.
答案：C
如图，
在等腰△ABC中，D为底边上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=a，DF=b，连接AD
设梯形腰上的高为h
底边上的高=
腰上的高
∴
故选C
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之等面积法
11.如图,在直角三角形中,∠C=90°,AC=3,将其绕B点顺时针旋转一周,则分别以BA,BC为半径的圆形成一环,该圆环的面积为( )
A. B.3π
C.9π
D.6π
答案：C
∵∠C＝90°，AC=3
故选C
试题难度：三颗星知识点：勾股定理面积问题
12.图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.若
,,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是( )
A.52
B.48
C.72
D.76
答案：D
解题思路：
依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
∴x=13
所以“数学风车”的周长是：(13+6)×4=76
故选D
试题难度：三颗星知识点：勾股数
13.如图,在△ABC中,∠C=90°,两直角边AC=6,BC=8,在三角形内有一点P,它到各边的距离相等,则这个距离是( )
A.1
B.2
C.3
D.无法确定
答案：B
解题思路：
如图，
连接AP，BP，CP
由勾股定理得：
∵在△ABC内有一点P，点P到各边的距离都相等，设这个距离为h
∴由三角形面积公式得：
∴6×8=6h+8h+10h
∴h=2
故选B
试题难度：三颗星知识点：勾股定理之等面积法
14.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边
长分别为,那么的值是( )
A.13
B.19
C.25
D.169
答案：C
解题思路：
=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和
=13+(13-1)=25
故选C
试题难度：三颗星知识点：勾股定理弦图应用。