rˆ x
i 1 n
n
i1 i 3 2 i1
rˆ
i 1
ˆi1 是 x1 对 x2 回归所得到的 OLS 残差， X 表示自变量样本的集合。 其中 r
3.13
g x ，比如 g x x 2 或 g x log 1 x ，定义 zi g xi 。定义一个斜率估计量为：
ˆ 的条件方差。 性两个方面，讨论 1 的偏误（bias）和比较 1 与真正模型 OLS 估计量 1
2． 对线性回归模型 yi 0 1 x1i 2 x2i
3
k xki ui （ i 1,2,
, n ）进行 OLS 估
计，证明以下等式均成立：

明上述性质是否仍成立。
ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 , ˆ2 , ˆ0 。 1 2 0
2） 模型 A 与模型 B 的残差相等吗？为什么？ 3） 请问模型 A 和模型 B 的 R 可以比较吗？为什么？ 5. 某研究者认为员工的对数工资水平（ Li ）依赖于技术水平（ Si ）和性别（ Fi ） ，建立以 下多元回归模型：
return 36.30 0.327dkr 0.069eps 4.74 log netinc 7.24 log salary
39.37
0.203
0.080
3.39
6.31
n 142, R 2 0.0330
第(i)部分的结论有什么变化？ (iii) 在(ii)中，我们为什么不用 dkr 和 eps 的对数？ (iv) 总的看来，股票回报的可预测性证据是强还是弱？
return 为持有一个企业的股票在从 1990 年末到 1994 年末的四年时间内得到的总回报。有 效市场假设认为：这些回报不应该与 1990 年知道的信息存在系统相关性。如果起初知道的 企业特征有助于预测股票回报，那我们在选择股票时就能用到这个信息。对于 1990 年，令 dkr 表示企业债务-资本比率， eps 表示每股收益， netinc 表示净收入，. salary .表示 CEO 总报酬。 (i) 使用 RETURN 的数据，估计了如下方程：
ˆ 为 的 OLS 估计 ˆ。 即最后一步得到的斜率系数估计 1 1 1
4. 考虑如下回归模型： 模型 A： yi 0 1 xi1 2 xi 2 ui1 模型 B： yi xi1 0 1 xi1 2 xi 2 ui 2 1） 请给出模型 A 与模型 B 的 OLS 估计系数的关系，并证明
n 1 n 1 n 2 1 2 z z x x z z i i i n n n xi x i 1 i 1 i 1 2
第四章
4.3 变量 rd int ens 是研发支出（R&D）占销售额的百分比，销售额以百万美元度量，变量


2 zi z
i 1 n
n
2
zi z xi i 1
2
(iii) 在高斯-马尔可夫假定下，证明在给定自变量样本的条件下，
ˆ X Var 估计量。 其中 1
提示：附录 B 中的柯西-施瓦兹不等式意味着：
(i) 在前 4 个高斯-马尔可夫假定之下，考虑简单回归模型 y 0 1 x u 。对某个函数
1
证明 1 是线性无偏的。
z
i 1 n i 1
n
i
z yi z xi
z
i
(ii) 增加同方差假定 MLR.5，证明，在给定自变量样本的条件下，
1
Var 1 X
2
Li 1 2 Si 3Fi ui （1） 假定该模型满足 MLR.1-MLR.3， Fi 与扰动项 ui 不相关，但是技术水平 Si 与扰动项 ui 相关。
尽管零条件均值假定 E ui Fi , Si 0 不成立，但该研究者认为条件均值独立性假定成立， 即 E ui Fi , Si E ui Si ， 进一步假定 E ui Si 关于 Si 是线性的， 即 E ui Si = 0 + 1Si 。 定义 i 为 ui 和给定 Fi , Si 时 ui 条件均值的差，即 i ui E ui Fi , Si 。请证明： 1) 2)
(i) 解释 log sales 的系数。特别地，如果 sales 增加 10%，估计 rd int ens 会变化多少 个百分点？这在经济上是一个很大的影响吗？ (ii) 检验假设 R&D 的强度不随 sales 而变化， 备择假设是： R&D 的强度随着销售额的增 加而提高。在 5%和 10%的显著性水平上进行这个检验。 (iii) 解释 profm arg 的系数，它在经济上显著吗？ (iv) profm arg 对 rd int ens 是否有统计显著影响？
4.6 采用数据的水平值考虑住房价格的模型，检验住房定价是否理性。
(i) 对于简单回归模型
price 0 1assess u
n 88, SSR 165644.51, R 2 0.820
如果 0 0 和 1 1 ，则住房定价是理性的。估计的方程为：
price 14.47 0.976assess,
3.5 3.6 考虑含有三个自变量的多元回归模型，并满足假定 MLR.1~MLR.4，
y 0 1 x1 2 x2 3 x3 u 对 x1 和的系数之和感兴趣，记 1 2 。 ˆ ˆ ˆ .是 的一个无偏估计量。 (i) 证明.
1 2
ˆ 、 Var ˆ 和 Cov ˆ , ˆ 表示Var ˆ 。 (ii) 在给定自变量样本的条件下，用 Var 1 2 1 2
return 14.37 0.321dkr 0.043eps 0.0051netinc 0.0035salary
6.89
0.201
0.078
0.0047
0.0022
n 142, R 2 0.0395
检验这些解释变量在 5%的显著性水平上是否联合显著。存在个别显著的解释变量吗？ (ii) 现在使用 netinc 和 salary 的对数重新估计这个模型：
2
(iv) 如果 price 的方差随着 assess ， sqrft ， lotsize 或 bdrms 而变化，你对(iii)的检验 有什么看法？
4.8
在经典线性模型假定 MLR.1~MLR.6 下，考虑含有三个自变量的多元回归模型：
y 0 1 x1 2 x2 3 x3 u 想检验假设： H 0 : 1 3 2 1 。 ˆ ， ˆ ， ˆ 和 ˆ 分别表示 OLS 估计量。在给定自变量样本的条件下，用 ˆ和 (i) 令 0 2 1 3 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 的方差及协方差表示出 Var 3 X ； 3 的标准误是什么？
3.11





假设决定 y 的总体模型是
y 0 1 x1 2 x2 3 x3 u
模型满足假定 MLR.1~MLR.4。但是实际估计的是遗漏 x3 的模型。令， 1 和 2 为 y 对 x1 和
x2 回归的 OLS 估计量。证明 1 的条件期望是：
E 1 | X 1 3
n
i 1 n i 1 n
ˆiu ˆi 0 y ˆi2 i 1 u ˆi 2 yi2 i 1 y
n n
i 1
ˆi y )2 i 1 u ˆi 2 ( yi y )2 i 1 ( y
n n
ˆi yi y ˆi 为残差，y 为 { yi , i 1,2, ˆ i 为被解释变量 yi 的拟合值，u 其中 y
ˆ ˆ x ，得残差为 r ； ˆ1 第 1 步： x1 对 x2 OLS 回归， x x12 0 1 2
ˆ ˆ0 ˆ1 x2 ，得残差为 ryx 2 ； 第 2 步： y 对 x2 OLS 回归， y
ˆ ˆr ， ˆyx 2 第 3 步： ryx 2 对 rx12 OLS 回归， r 0 1 x12
ˆ ˆ x ，得残差为 r ； ˆ1 第一步： x1 对 x2 OLS 回归， x x12 0 1 2
ˆ0 ˆ1rx12 ， ˆ 第二步： y 对 rx12 OLS 回归， y
ˆ。 ˆ 即斜率系数估计..为 1 的 OLS 估计 1 证明 1 的 OLS 估计 1 也可以经由如下三步骤获得：
profm arg 是利润占销售额的百分比。利用 RDCHEM 中 32 家化工企业的数据，估计如下
方程：
rd int ens 0.472 0.321log sales 0.050 profm arg
1.369
n 32, R 2 0.099
0.216
0.046
i 1 i i
n
2
，即为约束模型的残差平方和，得到 SSR 209448.99 。对这
个联合假设进行检验。 (iii) 现在检验模型
price 0 1assess 2lotsize 3aqrft 4bdrms u
2
利用同样 88 个数据估计这个模型的 R 0.829 。检验假设 H 0 : 2 3 4 0 。
如果改为对不含截距项的回归模型 yi 1 x1i 2 x2i
, n} 的样本均值。
k xki ui 进行 OLS 估计，试说
3. 考虑如下二元线性回归模型 y 0 1 x1 2 x2 u, 其中 x1 系数 1 的 OLS 估计可以通 过如下两步骤获得：
Part2：补充习题 1． 假设 y 与其解释变量间的真正关系模型是