2017-2018学年度高一上学期期末考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1. 设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===，则()U AC B = （ ）A.{}2B. {}2,3C.{}3D.{}1,32．函数1()1f x x =+- ） A ．[2,)-+∞ B. [)()2,11,-+∞ C.R D. (],2-∞-3．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．2x y x y ==与 B ．2lg lg 2x y x y ==与C ．x y x y ==与33D ．1112+-=-=x x y x y 与4．已知点(,3)P x 是角θ终边上一点，且4cos 5θ=-，则x 的值为（ ） A ．5B ．5-C ．4D ．4-5．已知8.028.01.1,8.0log ,7.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a c b <<6．设函数y ＝x 3与21()2x y -=的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4) 7．已知3tan =α，则αααα22cos 9cos sin 4sin 2-+的值为（ ） .A 301 .B 31 .C 1021.D 38．若两个非零向量b a ,==+b a +与b a -的夹角是（ ）.A 6π .B 3π .C 32π .D 65π9．已知函数)(x f y =是)1,1(-上的偶函数，且在区间)0,1(-是单调递增的，C B A ,,是锐角ABC ∆的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（ ）.A )(cos )(sin A f A f > .B )(cos )(sin B f A f > .C )(sin )(cos B f C f > .D )(cos )(sin B f C f >10．已知函数()[],f x x x x R =-∈，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如322⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，5[3]3,22⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦，则()f x的值域是（ ）A ．（0，1）B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1] 11. 函数22xy x =-的图像大致是 （ ）A B C D12.定义在R 上的函数)(x f 满足()()();2)(,13,62+-=-<≤-=+x x f x x f x f 时当当=++++=<≤-)2012()3()2()1(,)(31f f f f x x f x 则时，（ ）A.335B.338C.1678D.2012第II 卷（非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 13．已知tan 2α=，则cos2α= ．14.已知函数3,1(),,1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，若()2f x =，则x = 15．把函数y ＝3sin2x 的图象向左平移6π个单位得到图像的函数解析是 ． 16.有下列五个命题： ① 函数3)(1+=-x ax f (0,1)a a >≠的图像一定过定点(1,4)P ；② 函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)； ③ 已知)(x f =538x ax bx ++-,且(2)8f -=，则(2)8f =-； ④ 函数212log (23)y x x =--+的单调递增区间为(1,)-+∞.其中正确命题的序号是__________．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）已知集合A ={}71<≤x x ，{}{}210,B x x C x x a =<<=<，全集U R =. (1)求B A ⋃；B AC U ⋂)(.(2)如果A C φ⋂≠，求a 的取值范围.已知C B A ,,的坐标分别为)0,3(A ，)3,0(B ，)sin ,(cos ααC ，)23,2(ππα∈ （1）若|,|||=求角α的值；（2）若αααtan 12sin sin 2,12++-=⋅求BC AC 的值.19.（本小题满分12分）已知二次函数2()163f x x x q =-++： (1) 若函数的最小值是-60，求实数q 的值；(2) 若函数在区间[]1,1-上存在零点，求实数q 的取值范围.20.（本小题满分13分）辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y (单位:元)与上市时间x (单位:天)的数据如下:(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价y 与上市时间x的变化关系并说明理由:①y ax b =+；②2y ax bx c =++；③log b y a x =．(2)利用你选取的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．已知：)sin ,cos 2(x x =，)cos 2,cos 3(x x =，设函数)(3)(R x x f ∈-⋅= 求：（1）)(x f 的最小正周期； （2）)(x f 的单调递增区间； （3）若6)122()62(=+--παπαf f ，且),2(ππα∈，求α的值.22.（本小题满分14） 设函数()()2221()log log 1log .1x f x x p x x +=+-+-- （1）求函数的定义域；（2）当3p >时，问()f x 是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由.2017-2018学年度高一上学期期末考试数学试卷答案一、选择题：1-5 DBCCD 6-10 BCCCC 11-12 AB 二、填空题：13. 35-14．3log 2 15．y ＝3sin(2x + ) 16．① 三、解答题： 17. ①{}110A B B x x ==≤<，{}17R C A x x x =<≥或--3分 所以{}710R C AB x x =≤<； (2)()1,+∞18. （1）)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=αααααααcos 610sin )3(cos 22-=+-=， αααsin 610)3(sin cos22-=-+==得ααcos sin =，又45),23,2(παππα=∴∈ （2）由1-=⋅得1)3(sin sin cos )3(cos -=-+-αααα32cos sin =+∴αα① ααααααααααcos sin 2cos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222=++=++又由①式两分平方得94cos sin 21=+αα 95cos sin 2-=∴αα，95tan 12sin sin 22-=++ααα19．（Ⅰ）()()min 861601;f x f q q ==-+=-∴=（Ⅱ）∵二次函数2()163f x x x q =-++的对称轴是8x =∴函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减 ∴要函数()f x 在区间[]1,1-上存在零点须满足(1)(1)0f f -⋅≤ 即 (1163)(1163)0q q +++⋅-++≤ 解得 2012q -≤≤20． (1)∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而所给的三个函数中y ax b =+和log b y a x =显然都是单调函数，不满足题意，∴2y ax bx c =++． (2)把点(4，90)，(10，51)，(36，90)代入2y ax bx c =++中，得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++90361296511010090416c b a c b a c b a 解得41=a ，10-=b ，126=c ∴221110126(20)2644y x x x =-+=-+，∴当20x =时，y 有最小值min 26y =．21.解3cos sin 2cos 323)(2-+=-⋅=x x x b a x f)32sin(22cos 32sin )1cos 2(32sin 2π+=+=-+=x x x x x（1）函数f(x)的最小正周期为ππ==22T （2）由Z k k x k ∈+≤+≤-,223222πππππ得Z k k x k ∈+≤≤-,12125ππππ ∴函数)(x f 的单调增区间为Z k k k ∈+-],12,125[ππππ （3）612262=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-παπαf f ，6cos 2sin 2=-∴αα 64sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-∴πα，⎪⎭⎫⎝⎛∈-∴⎪⎭⎫⎝⎛∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴43,44,,2,234sin πππαππαπα 12111273234ππαπππα或，或=∴=-… 22．解：（1）由101100x x x p x +⎧>⎪-⎪->⎨⎪->⎪⎩解得1x x p >⎧⎨<⎩①当1p ≤时，①不等式解集为∅；当1p >时，①不等式解集为{}()1,x x p f x <<∴的定义域为()()1,1.p p >（2）原函数即()()()()222211log 1log 24p p f x x p x x ⎡⎤+-⎛⎫=+-=--+⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 即3p >时，函数()f x 有最大值()22log 12p +-，但无最小值。