解：①计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1 9.55Pn1 9.55 530000
15.9(kN m)
A
n
B
C
D
m 2 m 3 9 .5P n 2 5 9.1 3 55 0 5 4 .7 0 0(8 k m N) m 4 9 .5P n 5 4 9.3 2 50 0 5 6 .0 0 3(7 km N)
13
5 薄壁圆筒切应力
因为筒壁很薄，假定： 1）沿筒壁厚度切应力不变，为常数； 2）力臂采用圆筒的平均半径：
A rdA T
r0 AdA r0 2 r0 t T
T
2 r02
t
得到薄壁圆筒的应力与扭矩之间的关系！
14
平衡吗？
15
二 切应力互等（双生）定理
Mz 0
tdy dx tdx dy
②施加一对外力偶 m。
11
2 实验后：
①圆周线不变；
②纵向线变成斜直线。
3 结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改
变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
12
4 抽象假设 ① 圆周线沿轴向无平移，无轴向变形，假设无轴向正应力 ② 圆周线不变，假设无径向正应力 ③ 纵向线倾斜角度相同，假设各截面都有切应力，环向均布 ④ 壁很薄，切应力径向也是均匀分布的
8
②求扭矩
m 1 1 .9 ,5 m 2 m 3 4 .7 ,m 8 4 6 .3
m2 1 m3 2 m1 3 m4
T 1 m 2 4 .7k 8N m
x
n
A 1B 2C 3 D
T 2 m 2 m 3 9 .5k 6 N m
T 3m 46.3k 7N m
9
③扭矩图
T 9.56kN m max
10MPa
10MPa
20MPa
50MPa
30MPa
50MPa
20MPa
30MPa
30MPa
17
1 与 的关系
l R
Rl
T与 成正比， 与 成正比；
实验表明：T与 成正比；
由此可知：与 成正比
2 剪切胡克定律 当τ ≤τp ，切应力与切应变成正比关系
G
剪切弹性模量 Pa
l
T
18
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个 常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系
´ a b
dy
´
c
z
dx d t
3 剪切胡克定律 当τ ≤τp ，切应力与切应变成正比关系
G
剪切弹性模量
23
以上讲述了薄壁圆筒应力、变形情况； 并总结了纯剪切状态的一般性公式； 那么，对于圆轴杆件情况是怎么样的呢？
24
§3–4 等直圆杆扭转时的应力和变形
一 等直圆杆横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面 ③静力学方面
故
a
dy ´
c
z
dx
´
b
dt
在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且 数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向 或共同背离该交线。
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应 力状态称为纯剪切应力状态。
16
试根据切应力互等定理，判断图中所示的各单元体上的
切应力是否正确。
BC段为危险截面。
m2
m3
m1
m4
n
A
B
C
D
T
–
4.78
–
6.37
x
9.56
10
§3–3 纯剪切—薄壁圆筒的扭转
在讨论圆轴扭转的应力和变形之前，为了研究切应力和切应 变的规律以及两者之间的关系，先考察薄壁筒扭转。
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
r0
（r0：为平均半径）
一 实验：
1 实验前：
①绘纵向线，圆周线；
Me
右手螺旋规则：与外法线方向一致为正
m Me
x
Me
T
5
I
I
T
T
扭
矩 符
I
T
I
号 规
I
I
定
T
T
T
I
I
6
三 扭矩图
扭矩图表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。
意 1 直观表示扭矩变化规律；
义 2 |T|max值及其截面位置
强度计算（危险截面）。
T
–
x
7
[例1] 已知一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试画扭矩图。
25
无数薄壁圆筒套在一起
表
里
26
等直圆杆扭转实验观察： 1. 横截面平面假设； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍平行。 即：横截面就像刚性平面一样绕轴线转了一个角度。 以上结果与薄壁圆筒相似。
第三章 扭 转
§3–1 扭转的概念和实例 §3–2 外力偶矩 扭矩及扭矩图 §3–3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切 §3–4 等直圆杆扭转时的应力和变形 §3–5 等直圆杆扭转时的强度和刚度计算 §3–7* 非圆截面杆扭转的概念
1
§3–1 扭转的概念和实例
一 工程实例
A: 攻丝手柄 B : 联轴器
P P
二 受力特点 在垂直于轴线的两个平面内受到 两力偶作用，两力偶大小相等， 转向相反。
2
四轴 工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。
传动轴
3
§3–2 外力偶矩 扭矩及扭矩图
一 传动轴的外力偶矩 工程中一般给出：传送功率P (kW)和轴的转速n (r/min)
1kW=1000Nm/s， 则一秒钟内的功能转化表示为：
2 符号规定：
Me
右手螺旋规则：与外法线方向一致为正
3 扭矩计算
Me
截面法
x
m Me
x T
简便算法：扭矩等于截面一侧所有外力偶矩的代数和。
21
三 薄壁圆筒的扭转 1 实验结论 ① 无轴向正应力 ② 无径向正应力 ③ 切应力环向均布 ④ 切应力径向均布
T 2 r02 t
纯剪切应力状态
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2 切应力互等（双生）定理 在单元体相互垂直的两个平面 上，剪应力必成对出现，且数 值相等，其方向则共同指向或 共同背离该交线。
G E
2 (1 )
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一 受力特点 构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的力偶作用，两力 偶大小相等，转向相反。
二 变形特点 各横截面绕轴线发生相对转动
扭转角（AB）：B截面绕轴线相对A截面转动的角位移。
切应变（）：直角的改变量。
AB
A
OBMM源自20三 扭转时的内力
m
1 扭矩：横截面上的内力偶矩，“T”。
P100026n0Me
其中：Me—轴的扭矩 （Nm） P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（r/min）
进一步整理得到外力偶矩计算公式：
Me
9549P n
单位是：Nm
4
二 扭转内力——扭矩
1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2 截面法求扭矩
m
Mx 0 TM
3 扭矩的符号规定