一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.已知,点M为二次函数y=﹣(x﹣b)2+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x轴正半轴,y轴于点A,B.(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由.(2)如图1,若二次函数图象也经过点A,B,且mx+5>﹣(x﹣b)2+4b+1,根据图象,写出x的取值范围.(3)如图2,点A坐标为(5,0),点M在△AOB内,若点C(14,y1),D(34,y2)都在二次函数图象上,试比较y1与y2的大小.【答案】(1)点M在直线y=4x+1上;理由见解析;(2)x的取值范围是x<0或x>5;(3)①当0<b<12时,y1>y2,②当b=12时,y1=y2,③当12<b<45时,y1<y2.【解析】【分析】(1)根据顶点式解析式,可得顶点坐标,根据点的坐标代入函数解析式检验,可得答案;(2)根据待定系数法,可得二次函数的解析式,根据函数图象与不等式的关系:图象在下方的函数值小,可得答案;(3)根据解方程组,可得顶点M的纵坐标的范围,根据二次函数的性质,可得答案.【详解】(1)点M为二次函数y=﹣(x﹣b)2+4b+1图象的顶点,∴M的坐标是(b,4b+1),把x=b代入y=4x+1,得y=4b+1,∴点M在直线y=4x+1上;(2)如图1,直线y=mx+5交y轴于点B,∴B点坐标为(0,5)又B在抛物线上,∴5=﹣(0﹣b)2+4b+1=5,解得b=2,二次函数的解析是为y=﹣(x﹣2)2+9,当y=0时,﹣(x﹣2)2+9=0,解得x1=5,x2=﹣1,∴A(5,0).由图象,得当mx+5>﹣(x﹣b)2+4b+1时,x的取值范围是x<0或x>5;(3)如图2,∵直线y=4x+1与直线AB交于点E,与y轴交于F,A(5,0),B(0,5)得直线AB的解析式为y=﹣x+5,联立EF,AB得方程组415 y xy x=+⎧⎨=-+⎩,解得45215 xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴点E(45,215),F(0,1).点M在△AOB内,1<4b+1<215,∴0<b<45.当点C,D关于抛物线的对称轴对称时,b﹣14=34﹣b,∴b=12,且二次函数图象开口向下,顶点M在直线y=4x+1上,综上:①当0<b<12时,y1>y2,②当b=12时,y1=y2,③当12<b<45时,y1<y2.【点睛】本题考查了二次函数综合题,解(1)的关键是把点的坐标代入函数解析式检验;解(2)的关键是利用函数图不等式的关系:图象在上方的函数值大;解(3)的关键是解方程组得出顶点M 的纵坐标的范围,又利用了二次函数的性质:a <0时,点与对称轴的距离越小函数值越大.2.已知,m ,n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根,且|m |<|n |,抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A (m ,0),B (0,n ),如图所示.(1)求这个抛物线的解析式;(2)设(1)中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ,求出点C ,D 的坐标,并判断△BCD 的形状;(3)点P 是直线BC 上的一个动点(点P 不与点B 和点C 重合),过点P 作x 轴的垂线,交抛物线于点M ,点Q 在直线BC 上,距离点P为2个单位长度,设点P 的横坐标为t ,△PMQ 的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式.【答案】(1)223y x x =--;(2)C (3,0),D (1,﹣4),△BCD 是直角三角形;(3)2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩<<<或> 【解析】试题分析:(1)先解一元二次方程,然后用待定系数法求出抛物线解析式;(2)先解方程求出抛物线与x 轴的交点,再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形,从而得到结论;(3)先求出QF=1,再分两种情况,当点P 在点M 上方和下方,分别计算即可. 试题解析:解(1)∵2+430x x +=,∴11x =-,23x =-,∵m ,n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根,且|m|<|n|,∴m=﹣1,n=﹣3,∵抛物线223y x x =--的图象经过点A (m ,0),B (0,n ),∴10{3b c c -+==-,∴2{3b c =-=-,∴抛物线解析式为223y x x =--;(2)令y=0,则2230x x --=,∴11x =-,23x =,∴C (3,0),∵223y x x =--=2(1)4x --,∴顶点坐标D (1,﹣4),过点D 作DE ⊥y 轴,∵OB=OC=3,∴BE=DE=1,∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形,∴∠OBC=∠DBE=45°,∴∠CBD=90°,∴△BCD 是直角三角形;(3)如图,∵B (0,﹣3),C (3,0),∴直线BC 解析式为y=x ﹣3,∵点P 的横坐标为t ,PM ⊥x 轴,∴点M 的横坐标为t ,∵点P 在直线BC 上,点M 在抛物线上,∴P (t ,t ﹣3),M (t ,223t t --),过点Q 作QF ⊥PM ,∴△PQF 是等腰直角三角形,∵PQ=2,∴QF=1. ①当点P 在点M 上方时,即0<t <3时,PM=t ﹣3﹣(223t t --)=23t t -+,∴S=12PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+,②如图3,当点P 在点M 下方时,即t <0或t >3时,PM=223t t --﹣(t ﹣3)=23t t -,∴S=12PM×QF=12(23t t -)=21322t t -. 综上所述,S=2213 (03)22{13 (03)22t t t t t t t 或-+<<-.考点:二次函数综合题;分类讨论.3.如图,在平面直角坐标系中有抛物线y =a (x ﹣2)2﹣2和y =a (x ﹣h )2,抛物线y =a (x ﹣2)2﹣2经过原点,与x 轴正半轴交于点A ,与其对称轴交于点B ;点P 是抛物线y =a (x ﹣2)2﹣2上一动点,且点P 在x 轴下方,过点P 作x 轴的垂线交抛物线y =a (x ﹣h )2于点D ,过点D 作PD 的垂线交抛物线y =a (x ﹣h )2于点D ′(不与点D 重合),连接PD ′,设点P 的横坐标为m :(1)①直接写出a 的值;②直接写出抛物线y =a (x ﹣2)2﹣2的函数表达式的一般式;(2)当抛物线y =a (x ﹣h )2经过原点时,设△PDD ′与△OAB 重叠部分图形周长为L : ①求PD DD '的值; ②直接写出L 与m 之间的函数关系式;(3)当h 为何值时,存在点P ,使以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形?直接写出h 的值.【答案】(1)①12;②y =212x ﹣2x ; (2)①1; ②L =2(22)(02)21(221)4(24)2m m m m π⎧+<⎪⎨-++<<⎪⎩; (3)h =±3【解析】【分析】(1)①将x =0,y =0代入y =a (x ﹣2)2﹣2中计算即可;②y =212x ﹣2x ; (2)将(0,0)代入y =a (x ﹣h )2中,可求得a =12,y =12x 2,待定系数法求OB 、AB 的解析式,由点P 的横坐标为m ,即可表示出相应线段求解;(3)以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形,DD ′=OA ,可知点D 的纵坐标为2,再由AD =OA =4即可求出h 的值.【详解】解:(1)①将x =0,y =0代入y =a (x ﹣2)2﹣2中,得:0=a (0﹣2)2﹣2,解得:a =12; ②y =212x ﹣2x ;. (2)∵抛物线y =a (x ﹣h )2经过原点,a =12; ∴y =12x 2, ∴A (4,0),B (2,﹣2),易得:直线OB 解析式为:y =﹣x ,直线AB 解析式为:y =x ﹣4如图1,222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫=--== ⎪⎝⎭PD 2m 1DD 2m'∴== ②如图1,当0<m ≤2时,L =OE +EF +OF =2(22)m m m m ++=+,当2<m <4时,如图2,设PD ′交x 轴于G ,交AB 于H ,PD 交x 轴于E ,交AB 于F ,则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭, 2222322m 22,PG m 22m 2422FH PH PF ===-+-=-+ ∵DD ′∥EG EG PE DD PD '∴=,即:EG •PD =PE •DD ′,得:EG •(2m )=(2m ﹣12m 2)•2m ∴EG =2m ﹣12m 2,EF =4﹣m ∴L =EG +EF +FH +GH =EG +EF +PG2212242222m m m m ⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭221m (221)m 42+=-+++ 2(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)2L ⎧+<⎪∴=⎨+-+++<<⎪⎩; (3)如图3,∵OADD ′为菱形∴AD =AO =DD ′=4,∴PD =2,23PA =23h ∴=±【点睛】本题是二次函数综合题,考查了待定系数法求函数解析式,菱形的性质,抛物线的平移等,解题时要注意考虑分段函数表示方法.4.(10分)(2015•佛山)如图,一小球从斜坡O 点处抛出,球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x 2+4x 刻画,斜坡可以用一次函数y=x 刻画.(1)请用配方法求二次函数图象的最高点P 的坐标;(2)小球的落点是A ,求点A 的坐标;(3)连接抛物线的最高点P 与点O 、A 得△POA ,求△POA 的面积;(4)在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合),△MOA的面积等于△POA的面积.请直接写出点M的坐标.【答案】(1)(2,4);(2)(,);(3);(4)(,).【解析】试题分析:(1)利用配方法抛物线的一般式化为顶点式,即可求出二次函数图象的最高点P的坐标;(2)联立两解析式,可求出交点A的坐标;(3)作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B.根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA,代入数值计算即可求解;(4)过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,由于两平行线之间的距离相等,根据同底等高的两个三角形面积相等,可得△MOA的面积等于△POA的面积.设直线PM的解析式为y=x+b,将P(2,4)代入,求出直线PM的解析式为y=x+3.再与抛物线的解析式联立,得到方程组,解方程组即可求出点M的坐标.试题解析:(1)由题意得,y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,故二次函数图象的最高点P的坐标为(2,4);(2)联立两解析式可得:,解得:,或.故可得点A的坐标为(,);(3)如图,作PQ⊥x轴于点Q,AB⊥x轴于点B.S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA=×2×4+×(+4)×(﹣2)﹣××=4+﹣=;(4)过P作OA的平行线,交抛物线于点M,连结OM、AM,则△MOA的面积等于△POA的面积.设直线PM的解析式为y=x+b,∵P的坐标为(2,4),∴4=×2+b,解得b=3,∴直线PM的解析式为y=x+3.由,解得,,∴点M的坐标为(,).考点:二次函数的综合题5.如图,关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1,0)和点B与y轴交于点C(0,3),抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式;(2)在y轴上是否存在一点P,使△PBC为等腰三角形?若存在.请求出点P的坐标;(3)有一个点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动,另一个点N 从点D与点M同时出发,以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点M到达点B时,点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时,△MNB面积最大,试求出最大面积.【答案】(1)二次函数的表达式为:y=x 2﹣4x+3;(2)点P 的坐标为:(0,(0,3﹣)或(0,-3)或(0,0);(3)当点M 出发1秒到达D 点时,△MNB 面积最大,最大面积是1.此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处.【解析】【分析】(1)把A (1,0)和C (0,3)代入y=x 2+bx+c 得方程组,解方程组即可得二次函数的表达式;(2)先求出点B 的坐标,再根据勾股定理求得BC 的长,当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论:①CP=CB ;②BP=BC ;③PB =PC ;分别根据这三种情况求出点P 的坐标; (3)设AM=t 则DN=2t ,由AB=2,得BM=2﹣t ,S △MNB=12×(2﹣t )×2t=﹣t 2+2t ,把解析式化为顶点式,根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积;此时点M 在D 点,点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处.【详解】解:(1)把A (1,0)和C (0,3)代入y=x 2+bx+c ,103b c c ++=⎧⎨=⎩解得:b=﹣4,c=3,∴二次函数的表达式为:y=x 2﹣4x+3;(2)令y=0,则x 2﹣4x+3=0,解得:x=1或x=3,∴B (3,0),∴点P 在y 轴上,当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论:如图1,①当CP=CB 时,,∴或OP=PC ﹣﹣3∴P1(0,P 2(0,3﹣②当PB=PC 时,OP=OB=3,∴P 3(0,-3);③当BP=BC 时,∵OC=OB=3∴此时P 与O 重合,∴P 4(0,0);综上所述,点P 的坐标为:(0,0,3﹣3,0)或(0,0);(3)如图2,设AM=t,由AB=2,得BM=2﹣t,则DN=2t,∴S△MNB=12×(2﹣t)×2t=﹣t2+2t=﹣(t﹣1)2+1,当点M出发1秒到达D点时,△MNB面积最大,最大面积是1.此时点N在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处.6.如图,直线y=﹣x+4与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+bx+c经过B,C两点,与x轴另一交点为A.点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动(点P不与点B和点C重合),设运动时间为t秒,过点P作x轴垂线交x轴于点E,交抛物线于点M.(1)求抛物线的解析式;(2)如图①,过点P作y轴垂线交y轴于点N,连接MN交BC于点Q,当12 MQNQ时,求t 的值;(3)如图②,连接AM 交BC 于点D ,当△PDM 是等腰三角形时,直接写出t 的值. 【答案】(1)y =﹣x 2+3x +4;(2)t 的值为12;(3)当△PDM 是等腰三角形时,t =1或t ﹣1. 【解析】 【分析】(1)求直线y=-x+4与x 轴交点B ,与y 轴交点C ,用待定系数法即求得抛物线解析式. (2)根据点B 、C 坐标求得∠OBC=45°,又PE ⊥x 轴于点E ,得到△PEB 是等腰直角三角形,由PB =求得BE=PE=t ,即可用t 表示各线段,得到点M 的横坐标,进而用m 表示点M 纵坐标,求得MP 的长.根据MP ∥CN 可证MPQ NCQ ∽,故有12MP MQ NC NQ ==,把用t 表示的MP 、NC 代入即得到关于t 的方程,求解即得到t 的值. (3)因为不确定等腰△PDM 的底和腰,故需分3种情况讨论:①若MD=MP ,则∠MDP=∠MPD=45°,故有∠DMP=90°,不合题意;②若DM=DP ,则∠DMP=∠MPD=45°,进而得AE=ME ,把含t 的式子代入并解方程即可;③若MP=DP ,则∠PMD=∠PDM ,由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF 进而得CF=CD .用t 表示M 的坐标,求直线AM 解析式,求得AM 与y 轴交点F 的坐标,即能用t 表示CF 的长.把直线AM 与直线BC 解析式联立方程组,解得x 的值即为点D 横坐标.过D 作y 轴垂线段DG ,得等腰直角△CDG ,用DG 即点D 横坐标,进而可用t 表示CD 的长.把含t 的式子代入CF=CD ,解方程即得到t 的值. 【详解】(1)直线y =﹣x +4中,当x =0时,y =4 ∴C (0,4)当y =﹣x +4=0时,解得:x =4 ∴B (4,0)∵抛物线y =﹣x 2+bx +c 经过B ,C 两点∴1640004b c c -++=⎧⎨++=⎩ 解得:34b c =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为y =﹣x 2+3x +4(2)∵B (4,0),C (0,4),∠BOC =90° ∴OB =OC∴∠OBC =∠OCB =45° ∵ME ⊥x 轴于点E ,PBt ∴∠BEP =90°∴Rt △BEP 中,2PE sin PBE PB ∠==∴2BE PE PB t ===, ∴4M P P x x OE OBBE t y PE t ===﹣=﹣,== ∵点M 在抛物线上∴2243445M y t t t t +++=﹣(﹣)(﹣)=﹣, ∴24MP MP y y t t +=﹣=﹣ , ∵PN ⊥y 轴于点N∴∠PNO =∠NOE =∠PEO =90° ∴四边形ONPE 是矩形 ∴ON =PE =t ∴NC =OC ﹣ON =4﹣t ∵MP ∥CN ∴△MPQ ∽△NCQ ∴12MP MQ NC NQ == ∴24142t t t -+=-解得:12142t t =,=(点P 不与点C 重合,故舍去) ∴t 的值为12(3)∵∠PEB =90°,BE =PE ∴∠BPE =∠PBE =45° ∴∠MPD =∠BPE =45°①若MD =MP ,则∠MDP =∠MPD =45° ∴∠DMP =90°,即DM ∥x 轴,与题意矛盾 ②若DM =DP ,则∠DMP =∠MPD =45° ∵∠AEM =90° ∴AE =ME∵y =﹣x 2+3x +4=0时,解得:x 1=﹣1,x 2=4 ∴A (﹣1,0)∵由(2)得,x M =4﹣t ,ME =y M =﹣t 2+5t ∴AE =4﹣t ﹣(﹣1)=5﹣t ∴5﹣t =﹣t 2+5t解得:t 1=1,t 2=5(0<t <4,舍去)③若MP =DP ,则∠PMD =∠PDM如图,记AM 与y 轴交点为F ,过点D 作DG ⊥y 轴于点G ∴∠CFD =∠PMD =∠PDM =∠CDF ∴CF =CD∵A (﹣1,0),M (4﹣t ,﹣t 2+5t ),设直线AM 解析式为y =ax +m ∴()2045a m a t m t t -+=⎧⎨-+=-+⎩ 解得:a tm t =⎧⎨=⎩ , ∴直线AM :y tx t += ∴F (0,t ) ∴CF =OC ﹣OF =4﹣t ∵tx +t =﹣x +4,解得:41tx t -=+, ∴41D x tt DG -=+==, ∵∠CGD =90°,∠DCG =45° ∴)2421t CD DG t -+==,∴)2441t t t -+﹣ 解得:21t =﹣综上所述,当△PDM 是等腰三角形时,t =1或21t =﹣. 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质,解二元一次方程组和一元二次方程,等腰直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,涉及等腰三角形的分类讨论,要充分利用等腰的性质作为列方程的依据.7.如图,在平面直角坐标系中,已知点B 的坐标为()1,0-,且4OA OC OB ==,抛物线()20y ax bx c a =++≠图象经过,,A B C 三点.(1)求,A C 两点的坐标; (2)求抛物线的解析式;(3)若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点,作PD AC ⊥于点D ,当PD 的值最大时,求此时点P 的坐标及PD 的最大值.【答案】解:(1)点A 、C 的坐标分别为(4,0)、(0,﹣4);;(2)抛物线的表达式为:234y x x =﹣﹣ ; (3)PD 有最大值,当x =2时,其最大值为2,此时点P (2,﹣6). 【解析】 【分析】(1)OA =OC =4OB =4,即可求解;(2)抛物线的表达式为:234y x x =a (x+1)(x-4)=a(﹣﹣) ,即可求解; (3)224342--++=()PD x x x ,即可求解. 【详解】解:(1)OA =OC =4OB =4,故点A 、C 的坐标分别为(4,0)、(0,﹣4);(2)抛物线的表达式为:234y x x =a (x+1)(x-4)=a(﹣﹣), 即﹣4a =﹣4,解得:a =1,故抛物线的表达式为:234y x x --= ;(3)直线CA 过点C ,设其函数表达式为:4y kx -=, 将点A 坐标代入上式并解得:k =1, 故直线CA 的表达式为:y =x ﹣4, 过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H ,∵OA =OC =4,45OAC OCA ∴∠∠︒== ,∵//PH y 轴,45PHD OCA ∴∠∠︒==,设点234P x x x --(,),则点H (x ,x ﹣4), 2224342222--+++=()=-PD x x x x x∵2-<0,∴PD 有最大值,当x =2时,其最大值为22, 此时点P (2,﹣6). 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形、图象的面积计算等,其中(3),用函数关系表示PD ,是本题解题的关键8.如图,已知二次函数过(﹣2,4),(﹣4,4)两点.(1)求二次函数的解析式;(2)将沿x 轴翻折,再向右平移2个单位,得到抛物线,直线y=m (m >0)交于M 、N 两点,求线段MN 的长度(用含m 的代数式表示);(3)在(2)的条件下,、交于A、B两点,如果直线y=m与、的图象形成的封闭曲线交于C、D两点(C在左侧),直线y=﹣m与、的图象形成的封闭曲线交于E、F两点(E在左侧),求证:四边形CEFD是平行四边形.【答案】(1);(2);(3)证明见解析.【解析】试题分析:(1)根据待定系数法即可解决问题.(2)先求出抛物线y2的顶点坐标,再求出其解析式,利用方程组以及根与系数关系即可求出MN.(3)用类似(2)的方法,分别求出CD、EF即可解决问题.试题解析:(1)∵二次函数过(﹣2,4),(﹣4,4)两点,∴,解得:,∴二次函数的解析式.(2)∵=,∴顶点坐标(﹣3,),∵将沿x轴翻折,再向右平移2个单位,得到抛物线,∴抛物线的顶点坐标(﹣1,),∴抛物线为,由,消去y整理得到,设,是它的两个根,则MN===;(3)由,消去y整理得到,设两个根为,,则CD===,由,消去y得到,设两个根为,,则EF===,∴EF=CD,EF∥CD,∴四边形CEFD是平行四边形.考点:二次函数综合题.9.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线()与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l:与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.(1)直接写出点A的坐标,并求直线l的函数表达式(其中k,b用含a的式子表示);(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若△ACE的面积的最大值为,求a的值;(3)设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A,D,P,Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.【答案】(1)A(-1,0),;(2);(3)P的坐标为(1,)或(1,-4).【解析】试题分析:(1)在中,令y=0,得到,,得到A(-1,0),B(3,0),由直线l经过点A,得到,故,令,即,由于CD=4AC,故点D的横坐标为4,即有,得到,从而得出直线l的函数表达式;(2)过点E作EF∥y轴,交直线l于点F,设E(,),则F(,),EF==,S△ACE=S△AFE-S△CFE==,故△ACE的面积的最大值为,而△ACE的面积的最大值为,所以,解得;(3)令,即,解得,,得到D (4,5a),因为抛物线的对称轴为,设P(1,m),然后分两种情况讨论:①若AD是矩形的一条边,②若AD是矩形的一条对角线.试题解析:(1)∵=,令y=0,得到,,∴A(-1,0),B(3,0),∵直线l经过点A,∴,,∴,令,即,∵CD=4AC,∴点D的横坐标为4,∴,∴,∴直线l的函数表达式为;(2)过点E作EF∥y轴,交直线l于点F,设E(,),则F(,),EF==,S△ACE=S△AFE-S△CFE===,∴△ACE的面积的最大值为,∵△ACE的面积的最大值为,∴,解得;(3)令,即,解得,,∴D(4,5a),∵,∴抛物线的对称轴为,设P(1,m),①若AD是矩形的一条边,则Q(-4,21a),m=21a+5a=26a,则P(1,26a),∵四边形ADPQ为矩形,∴∠ADP=90°,∴,∴,即,∵,∴,∴P1(1,);②若AD是矩形的一条对角线,则线段AD的中点坐标为(,),Q(2,),m =,则P(1,8a),∵四边形APDQ为矩形,∴∠APD=90°,∴,∴,即,∵,∴,∴P2(1,-4).综上所述,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形,点P的坐标为(1,)或(1,-4).考点:二次函数综合题.10.如图,抛物线y =ax 2+bx 经过△OAB 的三个顶点,其中点A (1,3),点B (3,﹣3),O 为坐标原点.(1)求这条抛物线所对应的函数表达式;(2)若P (4,m ),Q (t ,n )为该抛物线上的两点,且n <m ,求t 的取值范围; (3)若C 为线段AB 上的一个动点,当点A ,点B 到直线OC 的距离之和最大时,求∠BOC 的大小及点C 的坐标.【答案】(1)22353y x x =;(2)t >4;(3)∠BOC =60°,C (323 【解析】 分析:(1)将已知点坐标代入y=ax 2+bx ,求出a 、b 的值即可;(2)利用抛物线增减性可解问题;(3)观察图形,点A ,点B 到直线OC 的距离之和小于等于AB ;同时用点A (13点B (33详解:(1)把点A (13B (33y=ax 2+bx 得3=393a b a b ⎧+⎪⎨-=+⎪⎩ ,解得233533a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y=﹣22353x x + (2)由(1)抛物线开口向下,对称轴为直线x=54, 当x >54时,y 随x 的增大而减小, ∴当t >4时,n <m . (3)如图,设抛物线交x 轴于点F ,分别过点A 、B 作AD ⊥OC 于点D ,BE ⊥OC 于点E∵AC≥AD ,BC≥BE ,∴AD+BE≤AC+BE=AB ,∴当OC ⊥AB 时,点A ,点B 到直线OC 的距离之和最大.∵A (13B (33∴∠AOF=60°,∠BOF=30°,∴∠AOB=90°,∴∠ABO=30°.当OC ⊥AB 时,∠BOC=60°,点C 坐标为(323 点睛:本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式,抛物线的增减性.解答问题时注意线段最值问题的转化方法.。