一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.抛物线y =ax 2+bx ﹣3(a≠0)与直线y =kx+c (k≠0)相交于A (﹣1,0)、B (2,﹣3)两点,且抛物线与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式;(2)求出C 、D 两点的坐标(3)在第四象限抛物线上有一点P ,若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形,求出点P 的坐标.【答案】(1)y =x 2﹣2x ﹣3;(2)C (0,﹣3),D (0,﹣1);(3)P (2,﹣2).【解析】【分析】(1)把A (﹣1,0)、B (2,﹣3)两点坐标代入y =ax 2+bx ﹣3可得抛物线解析式. (2)当x =0时可求C 点坐标,求出直线AB 解析式,当x =0可求D 点坐标. (3)由题意可知P 点纵坐标为﹣2,代入抛物线解析式可求P 点横坐标.【详解】解:(1)把A (﹣1,0)、B (2,﹣3)两点坐标代入y =ax 2+bx ﹣3可得 304233a b a b --=⎧⎨+-=-⎩ 解得12a b =⎧⎨=-⎩∴y =x 2﹣2x ﹣3(2)把x =0代入y =x 2﹣2x ﹣3中可得y =﹣3∴C (0,﹣3)设y =kx+b ,把A (﹣1,0)、B (2,﹣3)两点坐标代入023k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=-⎩∴y =﹣x ﹣1∴D (0,﹣1)(3)由C (0,﹣3),D (0,﹣1)可知CD 的垂直平分线经过(0,﹣2)∴P 点纵坐标为﹣2,∴x 2﹣2x ﹣3=﹣2解得:x =2∵x >0∴x =2.∴P (,﹣2)【点睛】本题是二次函数综合题,用待定系数法求二次函数的解析式,把x =0代入二次函数解析式和一次函数解析式可求图象与y 轴交点坐标,知道点P 纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标.2.已知,抛物线y=x 2+2mx(m 为常数且m≠0).(1)判断该抛物线与x 轴的交点个数,并说明理由.(2)若点A (-n+5,0),B(n-1,0)在该抛物线上,点M 为抛物线的顶点,求△ABM 的面积.(3)若点(2,p),(3,g ),(4,r)均在该抛物线上,且p<g<r ,求m 的取值范围.【答案】(1)抛物线与x 轴有2个交点,理由见解析;(2)△ABM 的面积为8;(3)m 的取值范围m>-2.5【解析】【分析】(1)首先算出根的判别式b 2-4ac 的值,根据偶数次幂的非负性,判断该值一定大于0,从而根据抛物线与x 轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论;(2)根据抛物线的对称性及A,B 两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程,求解算出m 的值,进而求出抛物线的解析式,得出A,B,M 三点的坐标,根据三角形的面积计算方法,即可算出答案;(3)方法一(图象法):根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时,显然不符合题目条件;当对称轴在直线x=2的左边时,显然符合题目条件(如图2),从而列出不等式得出m 的取值范围;当对称轴在直线x=2和x=3之间时,满足3-(-m)>-m-2即可(如图3),再列出不等式得出m 的取值范围,综上所述,求出m 的取值范围;方法二(代数法):将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式,用含m 的式子表示出p,g,r ,再代入 p<g<r 即可列出关于m 的不等式组,求解即可。
【详解】(1)解:抛物线与x 轴有2个交点。
理由如下:∵m≠0,∴b 2-4ac =(2m )2-4×1×0=4m 2>0.∴抛物线与x 轴有2个交点(2)解:∵点A (-n+5,0),B(n-1,0)在抛物线上∴抛物线的对称轴x=5122n n -++-= ∴ 221m ⨯=2,即m=-2. ∴抛物线的表达式为y=x 2-4x .∴点A (0,0),点B (4,0)或点A (4,0),点B (0,0),点M (2,-4) ∴△ABM 的面积为12×4×4=8(3)解:方法一(图象法):∵抛物线y=x 2+2mx 的对称轴为x=-m ,开口向上。
∴当对称轴在直线x=3的右边时,显然不符合题目条件(如图1).当对称轴在直线x=2的左边时,显然符合题目条件(如图2).此时,-m<2,即m>-2.当对称轴在直线x=2和x=3之间时,满足3-(-m)>-m-2即可(如图3).即m>-2.5.综上所述,m 的取值范围m>-2.5方法二(代数法):由已知得,p=4+4m ,g=9+6m ,r=16+8m .∵p<q<r, ∴4+4m<9+6m<16+8m,解得m >-2.5.【点睛】二次函数的综合应用题。
与X 轴交点的情况当△=b2-4ac>0时,函数图像与x 轴有两个交点。
当△=b2-4ac=0时,函数图像与x 轴只有一个交点。
Δ=b2-4ac<0时,抛物线与x 轴没有交点。
熟练运用顶点坐标(-2b a ,244ac b a)3.某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是3元,经市场预测,销售单价为40元时,可售出600个;销售单价每涨1元,销售量将减少10个设每个销售单价为x元.(1)写出销售量y(件)和获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系;(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元,且商场要完成不少于540件的销售任务,求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少?【答案】(1)y=﹣10x+1000;w=﹣10x2+1300x﹣30000(2)商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元.【解析】【分析】(1)利用销售单价每涨1元,销售量将减少10个即可表示出y=600﹣10(x﹣40),再利用w= y•(x﹣30)即可表示出w与x之间的关系式;(2)先将w=﹣10x2+1300x﹣30000变成顶点式,找到对称轴,利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x=46时有最大值,代入求值即可解题.【详解】解:(1)依题意,易得销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系:y=600﹣10(x﹣40)=﹣10x+1000获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系为:w=y•(x﹣30)=(1000﹣10x)(x﹣30)=﹣10x2+1300x﹣30000(2)根据题意得,x≥14时且1000﹣10x≥540,解得:44≤x≤46w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10(x﹣65)2+12250∵a=﹣10<0,对称轴x=65∴当44≤x≤46时,y随x的增大而增大∴当x=46时,w最大值=8640元即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,难度较大,求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价,熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.4.如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°,对角线AC,BD相交于点O,动点P 从点A出发,以4cm/s的速度,沿A→B的路线向点B运动;过点P作PQ∥BD,与AC相交于点Q,设运动时间为t秒,0<t<5.(1)设四边形PQCB的面积为S,求S与t的关系式;(2)若点Q关于O的对称点为M,过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD (或CD)于点N,当t为何值时,点P、M、N在一直线上?(3)直线PN与AC相交于H点,连接PM,NM,是否存在某一时刻t,使得直线PN平分四边形APMN的面积?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1) S=﹣2+0<t<5); (2) 307;(3)见解析.【解析】【分析】(1)如图1,根据S=S△ABC-S△APQ,代入可得S与t的关系式;(2)设PM=x,则AM=2x,可得,计算x的值,根据直角三角形30度角的性质可得AM=AO+OM,列方程可得t的值;(3)存在,通过画图可知:N在CD上时,直线PN平分四边形APMN的面积,根据面积相等可得MG=AP,由AM=AO+OM,列式可得t的值.【详解】解:(1)如图1,∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=60°,AC⊥BD,∴∠OAB=30°,∵AB=20,∴OB=10,由题意得:AP=4t,∴PQ=2t,,∴S=S△ABC﹣S△APQ,=11··22AC OB PQ AQ-,=1110222t⨯⨯⨯⨯,=﹣2(0<t<5);(2)如图2,在Rt△APM中,AP=4t,∵点Q关于O的对称点为M,∴OM=OQ,设PM=x,则AM=2x,∴,∴∴∵AM=AO+OM , ∴83t =103+103﹣23t , t=307; 答:当t 为307秒时,点P 、M 、N 在一直线上; (3)存在,如图3,∵直线PN 平分四边形APMN 的面积,∴S △APN =S △PMN ,过M 作MG ⊥PN 于G , ∴11··22PN AP PN MG = , ∴MG=AP ,易得△APH ≌△MGH , ∴AH=HM=3t , ∵AM=AO+OM ,同理可知:OM=OQ=103﹣23t ,3t=103=103﹣23t , t=3011. 答:当t 为3011秒时,使得直线PN 平分四边形APMN 的面积.【点睛】考查了全等三角形的判定与性质,对称的性质,三角形和四边形的面积,二次根式的化简等知识点,计算量大,解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.5.如图1,二次函数234y ax ax a =--的图像与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点()0,3C -.(1)求二次函数的表达式及点A 、点B 的坐标;(2)若点D 在二次函数图像上,且45DBC ABC S S =△△,求点D 的横坐标; (3)将直线BC 向下平移,与二次函数图像交于,M N 两点(M 在N 左侧),如图2,过M 作ME y ∥轴,与直线BC 交于点E ,过N 作NF y ∥轴,与直线BC 交于点F ,当MN ME +的值最大时,求点M 的坐标.【答案】(1)y =239344x x --,A (﹣1,0),B (4,0);(2)D 点的横坐标为22﹣2,2;(3)M (13,﹣113) 【解析】【分析】(1)求出a ,即可求解;(2)求出直线BC 的解析式,过点D 作DH ∥y 轴,与直线BC 交于点H ,根据三角形面积的关系求解;(3)过点M 作MG ∥x 轴,交FN 的延长线于点G ,设M (m ,34m 2﹣94m ﹣3),N (n ,34n 2﹣94n ﹣3),判断四边形MNFE 是平行四边形,根据ME =NF ,求出m +n =4,再确定ME +MN =﹣34m 2+3m +5﹣52m =﹣34(m ﹣13)2+6112,即可求M ; 【详解】(1)y =ax 2﹣3ax ﹣4a 与y 轴交于点C (0,﹣3),∴a =34, ∴y =34x 2﹣94x ﹣3, 与x 轴交点A (﹣1,0),B (4,0);(2)设直线BC 的解析式为y =kx +b ,∴403k bb+=⎧⎨=-⎩,∴343 kb⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,∴y=34x﹣3;过点D作DH∥y轴,与直线BC交于点H,设H(x,34x﹣3),D(x,34x2﹣94x﹣3),∴DH=|34x2﹣3x|,∵S△ABC=1155323⨯⨯=,∴S△DBC=41552⨯=6,∴S△DBC=2×|34x2﹣3x|=6,∴x=2+22,x=2﹣22,x=2;∴D点的横坐标为2+22,2﹣22,2;(3)过点M作MG∥x轴,交FN的延长线于点G,设M(m,34m2﹣94m﹣3),N(n,34n2﹣94n﹣3),则E(m,34m﹣3),F(n,34n﹣3),∴ME=﹣34m2+3m,NF=﹣34n2+3n,∵EF∥MN,ME∥NF,∴四边形MNFE是平行四边形,∴ME=NF,∴﹣34m2+3m=﹣34n2+3n,∴m+n=4,∴MG=n﹣m=4﹣2m,∴∠NMG=∠OBC,∴cos∠NMG=cos∠OBC=MG OBMN BC,∵B(4,0),C(0,﹣3),∴OB=4,OC=3,在Rt△BOC中,BC=5,∴MN=54(n﹣m)=54(4﹣2m)=5﹣52m,∴ME+MN=﹣34m2+3m+5﹣52m=﹣34(m﹣13)2+6112,∵﹣34<0,∴当m=13时,ME+MN有最大值,∴M(13,﹣113)【点睛】本题考查二次函数图象及性质,一次函数图象及性质;熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法,结合三角形的性质解题.6.已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值?(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6;(2)当t=3时,△PAB的面积有最大值;(3)点P(4,6).【解析】【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可得;(2)作PM ⊥OB 与点M ,交AB 于点N ,作AG ⊥PM ,先求出直线AB 解析式为y=﹣x+6,设P (t ,﹣12t 2+2t+6),则N (t ,﹣t+6),由S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB 列出关于t 的函数表达式,利用二次函数的性质求解可得; (3)由PH ⊥OB 知DH ∥AO ,据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°,结合∠DPE=90°知若△PDE 为等腰直角三角形,则∠EDP=45°,从而得出点E 与点A 重合,求出y=6时x 的值即可得出答案.【详解】(1)∵抛物线过点B (6,0)、C (﹣2,0),∴设抛物线解析式为y=a (x ﹣6)(x+2),将点A (0,6)代入,得:﹣12a=6, 解得:a=﹣12, 所以抛物线解析式为y=﹣12(x ﹣6)(x+2)=﹣12x 2+2x+6; (2)如图1,过点P 作PM ⊥OB 与点M ,交AB 于点N ,作AG ⊥PM 于点G ,设直线AB 解析式为y=kx+b ,将点A (0,6)、B (6,0)代入,得:660b k b =⎧⎨+=⎩, 解得:16k b =-⎧⎨=⎩, 则直线AB 解析式为y=﹣x+6,设P (t ,﹣12t 2+2t+6)其中0<t <6, 则N (t ,﹣t+6), ∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣(﹣t+6)=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t , ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•(AG+BM)=12 PN•OB=12×(﹣12t2+3t)×6=﹣32t2+9t=﹣32(t﹣3)2+272,∴当t=3时,△PAB的面积有最大值;(3)如图2,∵PH⊥OB于H,∴∠DHB=∠AOB=90°,∴DH∥AO,∵OA=OB=6,∴∠BDH=∠BAO=45°,∵PE∥x轴、PD⊥x轴,∴∠DPE=90°,若△PDE为等腰直角三角形,则∠EDP=45°,∴∠EDP与∠BDH互为对顶角,即点E与点A重合,则当y=6时,﹣12x2+2x+6=6,解得:x=0(舍)或x=4,即点P(4,6).【点睛】本题考查了二次函数的综合问题,涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等,熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.7.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3)三点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,P为抛物线上在第二象限内的一点,若△PAC面积为3,求点P的坐标;(3)如图2,D 为抛物线的顶点,在线段AD 上是否存在点M ,使得以M ,A ,O 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,求点M 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y =﹣x 2﹣2x+3;(2)点P 的坐标为(﹣1,4)或(﹣2,3);(3)存在,(32-,32)或(34-,94),见解析. 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法,然后将A 、B 、C 的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式; (2))过P 点作PQ 垂直x 轴,交AC 于Q ,把△APC 分成两个△APQ 与△CPQ ,把PQ 作为两个三角形的底,通过点A ,C 的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积.(3)通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB ,使得以M ,A ,O 为顶点的三角形与△ABC 相似,则有两种情况,∠AOM=∠CAB=45°,即OM 为y=-x ,若∠AOM=∠CBA ,则OM 为y=-3x+3,然后由直线解析式可求OM 与AD 的交点M . 【详解】(1)把A (﹣3,0),B (1,0),C (0,3)代入抛物线解析式y =ax 2+bx+c 得93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩, 解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩,所以抛物线的函数表达式为y =﹣x 2﹣2x+3.(2)如解(2)图1,过P 点作PQ 平行y 轴,交AC 于Q 点,∵A (﹣3,0),C (0,3), ∴直线AC 解析式为y =x+3,设P 点坐标为(x ,﹣x 2﹣2x+3.),则Q 点坐标为(x ,x+3), ∴PQ =﹣x 2﹣2x+3﹣(x+3)=﹣x 2﹣3x . ∴S △PAC =1PQ A 2O ⋅, ∴()213332x x --⋅=, 解得:x 1=﹣1,x 2=﹣2.当x =﹣1时,P 点坐标为(﹣1,4), 当x =﹣2时,P 点坐标为(﹣2,3),综上所述:若△PAC 面积为3,点P 的坐标为(﹣1,4)或(﹣2,3),(3)如解(3)图1,过D 点作DF 垂直x 轴于F 点,过A 点作AE 垂直BC 于E 点,∵D 为抛物线y =﹣x 2﹣2x+3的顶点, ∴D 点坐标为(﹣1,4), 又∵A (﹣3,0),∴直线AC 为y =2x+4,AF =2,DF =4,tan ∠PAB =2,∵B (1,0),C (0,3)∴tan ∠ABC =3,BC =10,sin ∠ABC=310,直线BC 解析式为y =﹣3x+3. ∵AC =4,∴AE =AC•sin ∠ABC =310410⨯=6105,BE =2105, ∴CE =310, ∴tan ∠ACB =2AECE=, ∴tan ∠ACB =tan ∠PAB =2, ∴∠ACB =∠PAB ,∴使得以M ,A ,O 为顶点的三角形与△ABC 相似,则有两种情况,如解(3)图2Ⅰ.当∠AOM =∠CAB =45°时,△ABC ∽△OMA , 即OM 为y =﹣x ,设OM 与AD 的交点M (x ,y )依题意得:3y xy x =-⎧⎨=+⎩,解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即M 点为(32-,32). Ⅱ.若∠AOM =∠CBA ,即OM ∥BC , ∵直线BC 解析式为y =﹣3x+3.∴直线OM 为y =﹣3x ,设直线OM 与AD 的交点M (x ,y ).则依题意得:33 y xy x=-⎧⎨=+⎩,解得3494 xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即M点为(34-,94),综上所述:存在使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似的点M,其坐标为(32-,32)或(34-,94).【点睛】本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用,函数和几何图形的综合题目,要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系.8.(12分)如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12 m,宽是4 m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=16-x2+bx+c表示,且抛物线上的点C到OB的水平距离为3 m,到地面OA的距离为172m.(1)求抛物线的函数关系式,并计算出拱顶D到地面OA的距离;(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向车道,那么这辆货车能否安全通过?(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米?【答案】(1)抛物线的函数关系式为y=16-x2+2x+4,拱顶D到地面OA的距离为10 m;(2)两排灯的水平距离最小是3.【解析】【详解】试题分析:根据点B和点C在函数图象上,利用待定系数法求出b和c的值,从而得出函数解析式,根据解析式求出顶点坐标,得出最大值;根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为(2,0)(或(10,0)),然后求出当x=2或x=10时y的值,与6进行比较大小,比6大就可以通过,比6小就不能通过;将y=8代入函数,得出x的值,然后进行做差得出最小值.试题解析:(1)由题知点17 (0,4),3,2 B C⎛⎫⎪⎝⎭在抛物线上所以41719326cb c=⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩,解得24bc=⎧⎨=⎩,所以21246y x x=-++所以,当62bxa=-=时,10ty=≦答:21246y x x=-++,拱顶D到地面OA的距离为10米(2)由题知车最外侧与地面OA的交点为(2,0)(或(10,0))当x=2或x=10时,2263y=>,所以可以通过(3)令8y=,即212486x x-++=,可得212240x x-+=,解得12623,623x x=+=-1243x x-=答:两排灯的水平距离最小是43考点:二次函数的实际应用.9.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),其对称轴l为x=﹣1.(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标;(2)若动点P在第二象限内的抛物线上,动点N在对称轴l上.①当PA⊥NA,且PA=NA时,求此时点P的坐标;②当四边形PABC的面积最大时,求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标.【答案】(1)y=﹣(x+1)2+4,顶点坐标为(﹣1,4);(2)①点P﹣1,2);②P (﹣32,154) 【解析】试题分析:(1)将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式,由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式;(2)①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标,然后根据已知条件得到PD=OA ,从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标;②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形,表示出来得到二次函数,求得最值即可.试题解析:(1)∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B (1,0),与y 轴交于点C (0,3),其对称轴l 为1x =-,∴0{312a b c c ba++==-=-,解得:1{23a b c =-=-=,∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++,∴顶点坐标为(﹣1,4);(2)令2230y x x =--+=,解得3x =-或1x =,∴点A (﹣3,0),B (1,0),作PD ⊥x 轴于点D ,∵点P 在223y x x =--+上,∴设点P (x ,223x x --+), ①∵PA ⊥NA ,且PA=NA ,∴△PAD ≌△AND ,∴OA=PD ,即2232y x x =--+=,解得1(舍去)或x=1,∴点P(1,2);②设P(x ,y),则223y x x =--+,∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++, ∴当x=32-时,ABCP S 四边形最大值=758,当x=32-时,223y x x =--+=154,此时P(32-,154).考点:1.二次函数综合题;2.二次函数的最值;3.最值问题;4.压轴题.10.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线()与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),经过点A的直线l:与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.(1)直接写出点A的坐标,并求直线l的函数表达式(其中k,b用含a的式子表示);(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点,若△ACE的面积的最大值为,求a的值;(3)设P是抛物线的对称轴上的一点,点Q在抛物线上,以点A,D,P,Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能,求出点P的坐标;若不能,请说明理由.【答案】(1)A(-1,0),;(2);(3)P的坐标为(1,)或(1,-4).【解析】试题分析:(1)在中,令y=0,得到,,得到A(-1,0),B(3,0),由直线l经过点A,得到,故,令,即,由于CD=4AC,故点D的横坐标为4,即有,得到,从而得出直线l的函数表达式;(2)过点E作EF∥y轴,交直线l于点F,设E(,),则F(,),EF==,S△ACE=S△AFE-S△CFE==,故△ACE的面积的最大值为,而△ACE的面积的最大值为,所以,解得;(3)令,即,解得,,得到D (4,5a),因为抛物线的对称轴为,设P(1,m),然后分两种情况讨论:①若AD是矩形的一条边,②若AD是矩形的一条对角线.试题解析:(1)∵=,令y=0,得到,,∴A(-1,0),B(3,0),∵直线l经过点A,∴,,∴,令,即,∵CD=4AC,∴点D的横坐标为4,∴,∴,∴直线l的函数表达式为;(2)过点E作EF∥y轴,交直线l于点F,设E(,),则F(,),EF==,S△ACE=S△AFE-S△CFE===,∴△ACE的面积的最大值为,∵△ACE的面积的最大值为,∴,解得;(3)令,即,解得,,∴D(4,5a),∵,∴抛物线的对称轴为,设P(1,m),①若AD是矩形的一条边,则Q(-4,21a),m=21a+5a=26a,则P(1,26a),∵四边形ADPQ为矩形,∴∠ADP=90°,∴,∴,即,∵,∴,∴P1(1,);②若AD是矩形的一条对角线,则线段AD的中点坐标为(,),Q(2,),m =,则P(1,8a),∵四边形APDQ为矩形,∴∠APD=90°,∴,∴,即,∵,∴,∴P2(1,-4).综上所述,以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形,点P的坐标为(1,)或(1,-4).考点:二次函数综合题.。