X
解（续）
电流源： Ps U Is cos(129.1 0 )
17.15 10 2 103 cos(129.1 ) 152.96mW Qs U Is sin(129.1 0 ) 17.15 10 2 103 sin(129.1 ) 188.22mVar
X
解（续）
13.72 166 mA 受控电流源的电流： 103 U C 电流源两端的电压：
1 1 3 3 3 U 3 10 j I 3 10 j 3.43 10 76 C 6 C 100 2.5 10 (3 j4) 3.43 76 17.15 129.1 V
WLav
结论：电感的无功功率等于其平均储能的2倍。 储能越多，能量交换的规模越大。
U L LI L , QL U L I L LI L 2 2WLav
1 T

T
0
1 wL (t )dt T

T
0
1 2 1 2 2 LI Lm cos ( t i )dt LI L 2 2
k
P
PR PC P控 Ps
35.29 0 (188.16) 152.96 0.09 0
Q
k
QR QC Q控 Qs 0 (47.06) (141.28) 188.22 0.12 0
120 100 80 60 40 20
u,i,p
p( t )
u( t )
i(t )
UI cos
-20 -40 -60
o
0


2
3
t
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
X
2.单口网络的平均功率
在u、i为关联参考方向下，单口网络的平均功率为：
UI cos 平均功率是瞬时功率中的恒定分量。 平均功率表示单口网络实际消耗或产生的功率，所以 又称为有功功率(active power)。 cos ——功率因数 ——功率因数角 功率因数反映了发电设备容量的利用率。 0 cos 1 一般情况下：
返回
X
1 P T

T
0
1 p( t )dt T

T
0
[UI cos UI cos(2 t u i )]dt
3.单口网络的无功功率
将瞬时功率改写为如下形式：
p( t ) UI cos UI cos(2 t 2 u ) UI cos UI cos cos(2 t 2 u ) UI sin sin(2ωt 2 u ) UI cos {1 cos[2( t u )]} UI sin sin[(2( t u )]
视在功率(apparent power):单口网络端口电压和电流 有效值的乘积。用S表示. S UI 单位:伏安（VA），千伏安（kVA） 视在功率表示了设备的容量，即可能发出的最大有 功功率。 S S、P、Q之间满足直角三角关系。 Q 2 2
S P Q
P
功率三角形 返回
X
5.特殊性质电路中的功率和能量
结论：电容的无功功率等于其平均储能的2倍。 储能越多，能量交换的规模越大。 功率因数不能体现电路的性质，所以，通常加上 “感性”、“容性”或“超前”、“滞后”等文字 进行说明。
返回
X
6.单口网络功率的其他计算方法
无源单口网络的有功功率为网络中所有电阻元件消耗 的功率之和，也等于端口所接电源提供的有功功率。
X
5.特殊性质电路中的功率和能量
1 2 wC ( t ) CuC ( t ) 任意时刻电容元件的能量： 2
在一个周期内的平均储能：
WCav
IC CUC , QC U C I C CU C 2 2WCav
1 T 1 T1 1 2 2 2 wC (t )dt CUCm cos ( t u )dt CU C T 0 T 0 2 2
5.1 纯电阻电路
u i 0, cos 1, P UI , Q 0, S UI P
表明电源发出的功率全部被负载消耗，电源和负载 之间没有能量交换。
5.2 纯电感电路
u i 90 , cos 0, P 0, Q UI , S UI Q
1 P T

T
0
1 p( t )dt T

T
0
u(t ) i (t )dt
返回
X
2.单口网络的平均功率
u(t ) 2U cos( t u ),
i(t ) 2I cos( t i )
在u、i为关联参考方向下： p(t ) ui 2UI cos( t u )cos( t i ) UI cos u i UI cos 2 t u i UI cos UI cos(2 t u i ) ( u i )
表明电源发出的功率全部用于电源和负载之间进 行能量交换，而没有能量的消耗。
5.3 纯电容电路
u i 90 , cos 0, P 0, Q UI , S UI Q
表明电源发出的功率全部用于电源和负载之间进 行能量交换，而没有能量的消耗。
X
5.特殊性质电路中的功率和能量
1
I 2
Z2
14.4 j6.97 (8 j6) 6.4 j0.97
6.33 8.62 A
X
解（续）
I1 6.33A cos1 cos(8.62 ) 0.99 P1 UI1 cos 1 P1 500 U 79.79V I1 cos 1 6.33 0.99
各元件的功率分别为： 2 电阻： PR 3 103 IC 3 103 (3.43 103 )2 35.29mW
QR 0 PC 0 电容： QC UC IC 13.72 3.43 103 47.06mVar P控 U 103 UC cos[(129.1 ) (166 )] 188.16mW 受控源： Q控 U 103 UC sin[(129.1 ) (166 )] 141.28mVar
§7-7 正弦稳态电路的功率
北京邮电大学电子工程学院
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内容提要
瞬时功率和平均功率 单口网络的平均功率 单口网络的无功功率 单口网络的视在功率 特殊性质电路中的功率和能量 单口网络功率的其他计算方法
X
1 瞬时功率和平均功率
在电压、电流为关联参考方向下，元件或单口网络 的瞬时功率定义为：
p( t ) dw( t ) u( t ) i ( t ) dt
p( t ) 0，元件或单口网络吸收功率。 p( t ) 0，元件或单口网络产生功率。
在 [t1 , t2 ] 时间段内，元件或单口网络的能量为：
w(t1 , t2 ) 0 ，元件或单口网络吸收能量。 w(t1 , t2 ) 0 ，元件或单口网络释放能量。
w( t1 , t 2 ) u( t ) i ( t )dt w (t 2 ) w (t1 )
3k
103 U C
根据电容元件的VCR： jCU I C C
j25 105U j100 2.5 106U C C
U C

2.5μF
N0
以上两式联立求解得：
13.72 166 V U C 3.43 76 mA I C
1
功率因数 cos 1 和总电压U。 I + U 0 V I 解： 令U U 1 Z cos 0.9 25.84 u i 16 25.84 A I 10 36.9 A 2 cos1 0.8 36.9 2u 2i I 2 根据KCL: I I 16 25.84 10 36.9 I 1 2
纯电感电路和纯电容电路的有功功率均为零，说明电 感元件和电容元件不消耗能量，只进行能量的储存和 释放。电阻、电感和电容元件的瞬时功率分别为： u,i,p pR (t ) UI {1 cos[2( t u )]} p( t ) pL (t ) UI sin[2( t u )] pC (t ) UI sin[2( t u )] o
I s 5 110 A LC支路阻抗

6mH 20 2.5μF
j60 20 j40
I s
+
U
-
X
解（续） I Z 5 110 10 245 50 2 65 V U s 有功功率 P UIs cos(45 ) 250 W 视在功率 S UIs 250 2 353.55 VA 功率因数 cos(45 ) 0.71
t1
t2
X
1 瞬时功率和平均功率
平均功率(average power)是瞬时功率在一个时间段 内的平均值。用P表示。
1 P t 2 t1

t2
t1
1 p( t )dt t 2 t1

t2
t1
u(t ) i (t )dt
对于周期信号作用下的电路，通常以一个周期内的平 均功率进行衡量。
U 2 502 2 P 250 W R 20
X
例题3
如图所示电路，已知 100rad / s，
10 20 mA ，试验证功率平衡。 I s
I s
U

I C
解： 根据KCL：