第九章 正弦稳态电路的分析本章重点：1.阻抗，导纳及的概念2.正弦电路的分析方法3.正弦电路功率的计算4.谐振的概念及谐振的特点 本章难点：如何求电路的参数 主要内容§9-1阻抗和导纳1．阻抗(1)复阻抗：u i Z UU Z Z R jX II ψψϕ==-=∠=+&&式中22U Z R X I==+为阻抗的模； Z u iX arctg R ϕψψ=-=为阻抗角(辐角)； R=Re[Z]cos z Z ϕ=称为电阻； X=Im[Z]=sin z Z ϕ称电抗。
(2)RLC 串联电路的阻抗：1U Z R j L I j cωω==++=&& 1()()L C ZR j L cR j X X R jX Z ωωϕ+-=++=+=∠ 式中L X L ω=称为感抗；1C X c ω=-称为容抗；1L C X X X L c ωω=+=- 可见，当X.>0，即1L c ωω>时，Z 是感性； 当X<0，即1L cωω<时，Z 呈容性。
(3)阻抗三角形： 2．导纳ZϕZＲＸZ&U&+—I&U&+—CL(1)复导纳：1i u Y II Y Y G jB Z UU ψψϕ===∠-=∠=+&&式中I Y U ==称为导纳的模；arctan Y BGψ=称为导纳角； Re[]cos Y G Y Y ψ==称为电导； Im[]sin Y B Y Y ψ==称为电纳。
(2)RLC 并联电路的导纳：1111()I Y j c j c U R j L R Lωωωω==++=+-=&& ()C L Y G j B B G jB Y ψ++=+=∠式中1L B L ω=-称为感纳；C B C ω=称为容纳；1C L B B B c L ωω=+=-；1G R=。
可见，当0,B >即1c L ωω>时，Y 呈容性；当0,B <即1,c Lωω<Y 呈感性。
(3)导纳三角形：3．阻抗和导纳的等效互换(1)RLC 串联电路的等效导纳： 2222R XY jR X R X =-++ (2) RLC 并联电路的等效阻抗：2222G BZ j G B G B=-++§9-2 阻抗(导纳)的串联和并联1．阻抗串联：(1)等效阻抗：12eq n Z Z Z Z =+++L(2)分压作用：,1,2,,k KeqZ U U k n Z ==&&L 2．导纳并联(1)等效导纳：12eq n Y Y Y Y =++L(2)分流作用：,1,2,,k keqY I I k n Y ==&&L3．两个阻抗并联：YψYGB(1)等效阻抗：1212Z Z Z Z Z =+(2)分流作用：21121212,Z Z I I I I Z Z Z Z ==++&&&&§9-3 电路的相量图相量图可直观地表示相量之间的关系，并可辅助电路的分析和计算，相量图的做法： (1)按比例化出各相量的模(有效值)，并确定各相量的相位，相对地确定相量在复平面图上的位置。
(2)若没有给定参考相量时，并联电路以电压相量为参考相量，根据支路的VCR 确定各并联支路的电流相量与电压相量之间的夹角；然后根据结点上的 KCL 方程，用相量平移求和法则，画出结点各支路电流相量组成的多变形。
串联电路以电流相量为参考相量，根据VCR 确定有关电压相量与电流相量的夹角，再根据回路上的KVL 方程，用相量平移求和的法则，画出回路上个电压相量所组成的多边形。
(3)串并联电路往往先设并联电压为参考相量，即先并后串。
§9-4 正弦稳态电路的分析用相量法分析正弦稳态电路时，线性电阻电路的各种分析方法和电路定律可推广用于线性电路的正弦稳态分析，差别仅在于所设电路方程为以相量形式表示的代数方程以及用相量形式描述的电路定律，而计算则为复数运算。
§9-5 正弦稳态电路的功率(1)瞬时功率：设cos()cos()u i u t i t ωψωψ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，u i ϕψψ=-cos cos(22)u P ui UI UI t ϕωψϕ==++- (2)平均功率(有功功率)：1cos P pdt UI T ϕ==⎰(W) (3)无功功率：sin defQ UI ϕ= (var)ϕQPS(4)视在功率：defS UI = (VA) (5)P ，Q ，S之间的关系：cos ,sin ,arctanQ P S Q S S Pϕϕϕ==== (6)R ，L ，C 单个元件的功率(7)RLC 串联电路的功率2222cos cos 1sin sin ()L CP UI Z I RI Q UI Z I L I Q Q cϕϕϕϕωω======-=+§9-6复功率(1) 复功率22cos sin defu i SUI UI UI jUI P jQ I Z U Y ψψϕϕ**==∠-=+=+==%&& (2)复功率守恒：电路中有功、无功复功率守恒，但视在功率不守恒，即 cos 0P UI ϕ==∑∑ sin 0Q UI ϕ==∑∑ 0S =∑ 0S ≠∑ (3)感性负载并电容提高功率因数：12()PC tg tg U ϕϕω=-§9-7最大功率传输(1)负载获得最大功率条件：e R eq q eqeqZ Z jX Y Y**====(2) 负载获得最大功率：2maxe 4R ocqU P =§9-8串联电路的谐振1．串联电路的谐振条件：(1) 谐振条件：Im[()]0,Z j ω=即0010L Cωω-= (2)谐振频率：00f ω==2．串联电路谐振的特征：(1)呈电阻性，阻抗最小[(),0];Z j R ωϕ==(2)电流最大(U I R=&&) (3)电压谐振，即L C U U QU ==(001LQ RCR ωω===(4)电路的无功功率为零，即0,cos 0Q ϕ==§9-9并联谐振电路1．并联谐振条件(1) 谐振条件：0Im[()]0,Y j ω=即0010L Cωω-= (2)谐振频率：00f ω==2．并联谐振的特征(1)导纳最小(阻抗最大)，呈电阻性00[(),(),0]Y j G Z j R ωωϕ===(2)端电压最大00[()()]S S U Z j I RI ωω==；(3)电流谐振，即L C S I I QI ==(0011C C Q LG G G Lωω===) (4)电路的无功功率为零，即0L C Q Q Q =+=。
典型习题:习题9-11 已知附图电路中，2202(25020)u cos t V =+︒，110R =Ω，120,C F μ=280,C F μ=1L H =。
求电路中各电流表的读数和电路的输入阻抗，画出电路的相量图。
解：解：首先计算L X 和C X 。
161112002502010C X C ω-===Ω⨯⨯ 26211502508010C X C ω-===Ω⨯⨯ 2501250L X L ω==⨯=Ω则LC 串联支路的总阻抗Z 为12()(25020050)0L C C Z j X X X j =--=--= 这条支路相当于短路，所以可得电流表的读数为u+—LA 1A 2C 1C 22C U &LU &1C U &1I &RU U =&&题9-11图题解9-11图RR2102202110A U A A R ==== 各相量为1111212122020220220(200)40070220(50)40070220(250)400110C C C C L LUV IA U I jX j V UI jX j V U I jX j V =∠︒=∠︒=-⨯=∠︒⨯-=∠-︒=-⨯=∠︒⨯-=∠-︒=-⨯=∠︒⨯=∠︒&&&&&&&& 相量图如题解9-11图所示。
注意：LC 串联支路的总电压为零，即发生了串联谐振，但各元件上的电压不为零，甚至可大于输入电压。
习题9-15 已知附图电路中，10S I A =，5000/rad s ω=，1210R R ==Ω，10C F μ=，0.5μ=。
求各支路电流并作出电路的相量图。
解法一：设支路电流如图所示。
另100SI A =∠︒&为参考相量，容抗为 6112050001010C X C ω-===Ω⨯⨯ 根据KCL ，有12100S I I I A =+=∠︒&&& 有KVL 得，有11220C R I R I U μ--=&&&即 1210100.5100(20)0I I j --⨯∠︒⨯-=&& 联立以上求解方程，得1255-4555+45I j A I j A =-=︒=+=︒&&相量图如题解9-15所示。
题解9-15图题9-15图&2R 2I &I&解法二：应用结点法计算，对结点①列方程1121111()()C S C S S U U I jX I I R R R R μμ+=-+=--+&&&&&解得：11120.05201010505050245110.2C S SjX I I R j U j V V R R μ+⨯⨯+===+=∠︒+&&&所以电流为： 11150500.510(20)5510C U U j j I j A R μ+++⨯⨯-===-&&& 12155U I j A R ==+&&习题9-24求图示一端口的戴维宁(或诺顿)等效电路。
解(a)：先求开路电压OCU &。
由于开路，0I =&，故受控电流源0I α=&，所以有 SOC12U U Z R R Z=++&&其中 3333111R R j C Z j CR R j Cωωω⨯==+++R 2 R 31j cωI&60V∠︒SU &—R 1ababb10j Ω6Ω6Ω++——15j I &OCU &aIα&题9-24图200V∠︒+—b10j -c10j Ω1I &+-所以3S3S 3OC 3123312123U 1U U ()1R j CR R R R R R j CR R R R R j CR ωωω⨯+==+++++++&&&求短路电流。