p(t) UmIm cos( t ) cos t UI cos UI cos(2 t )
UI cos
p，i，u p(t) u(t)
o
t
i(t)
从图上看出，u(t)或i(t)为0时，p(t)为0，当二者同号时， p(t)为正，电路吸收功率；二者异号时，p(t)为负，电路释放 功率。
阴影面积说明，一个周期内电路吸收的能量比释放的能 量多，说明电路有能量的消耗。
平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。 表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压电流有效值有关，
而且与 cos 有关，这是交流和直流的很大区别，主要由
于电压、电流存在相位差。
如果一端口仅有R、L、C元件组成，则可以证明，有 功功率等于各电阻消耗的平均功率的和。即：
P ＝端口处所接电源提供的平均功率 ＝网络内部各电阻消耗的平均功率的总和
P
Rk
I
2 k
UI
cos
求图中电源对电路提供的有功功率，其中uS (t) 10 2 cos 2t V
3
4
I 3 I1 4
＋ uS(t－)
2H
1 8
F
U＋－S 100o V j4
－j4
作电路的相量模型
解1：Z 3 j 4(4 j 4) 7 j 4 8.06 / 29.7o j4 (4 j4)
LI 2 2WL
（3）电容元件 i C
Q UI sin S sin
S
Q
S P2 Q2 UI
arctan Q
P
P
功率三角形
有功功率守恒： P Pk P1 P2
无功功率守恒： Q Qk Q1 Q2
视在功率不守恒：S P 2 Q2 Sk
六、动态元件的储能
1、电感元件
w(t)
1 2
Li 2 (t )
Z eq
(R
j
L) //
1
j C
(3 j 4) //( j 5)
＋ I
I1 IC
R
1
U
jC
jL
－
7.5 j 2.5 7.906 / 18.43o
cos(18.43o ) 0.9487
则：P U 2 1002 0.9487 1200 W
Zeq
7.906
三、无功功率 电感和电容虽然并不消耗能量，但却会在二端
I1
1.24
/
29.7o
(4
j4 j 4)
j4
1.24
/
60.3o
A
P 1.242 3 1.242 4 10.8 W
如图所示电路，已知R=3， jL=j4，－j/C =－j5 。
U 100 / 0o V I 12.65 / 18.5o A
求单口网络的功率P以及功率因素 。＋ I
I1 IC
二、有功功率（也叫平均功率）和功率因素
P 1
T p(t)dt 1
T
[UI cos UI cos(2 t )] dt
T0
T0
UI cos UI UI cosZ 单位：W
总电压
总电流
( cos ) —— 单口网络的功率因素，用来衡量对电源的
利用程度。
称为功率因数角，电压与电流的相位差 u i 当N内无独立源时为端口等效阻抗的阻抗角 Z
第9章 集总电路中电压、电流的约束关系
§9.1 基本概念 §9.2 电阻的平均功率 §9.3 电感、电容的平均储能 §9.4 单口网络的平均功率 §9.5 单口网络的无功功率 §9.6 复功率 复功率守恒 §9.7 正弦稳态最大功率传递定理 §9.8 三相电路
本章重点
正弦稳态电路的功率分析 三相电路的基本概念 对称三相电路的分析 不对称三相电路的概念 三相电路的功率
§9.1 基本概念
一、瞬时功率
i(t)
设端口电流i(t)及电压u(t) 分别为：
＋
u(t)
N
i(t) Im cos t u(t) Um cos( t ) －
则网络N吸收的瞬时功率为：
p(t) u(t)i(t) Um cos( t ) Im cos t UmIm cos( t ) cos t UI cos UI cos(2 t )
R
1
U
jC
jL
－
u i 0o 18.5o 18.5o
cos cos(18.5o ) 0.948
则：
P UI 100 12.65 0.948 1199 W
如图所示电路，已知R=3， jL=j4，－j/C =－j5 。 U 100 / 0o V，求单口网络的功率P以及功率因素 。
1 2
LIm2
sin2
t
1 4
LIm2 (1
cos 2t)
1 LI 2 1 LI 2 cos 2t
2
2
平均储能：wL
1 2
LI
2
2、电容元件
wC
1 4
CU
2 m
1 2
CU 2
七、R、L、C元件的有功功率和无功功率
（1）电阻元件 i R
＋u－
u(t) Um cos( t ) i(t) Im cos t 0o
网络与外电路之间造成能量的往返交换现象。
无源二端网络的无功功率Q为：
Q UI sin 吸收无功功率。 若电路呈容性时：sin 0 网络发出无功功率。
四、视在功率
通常将单口网络的电压和电流有效值的乘积称为视在 功率，用S表示，即
S＝UI 单位：伏安（VA）
I
US Z
10 / 0o 8.06 / 29.7o
1.24 / 29.7o
A
P USI cos 10 1.24 cos 29.7o 10.8 W
求图中电源对电路提供的有功功率，其中uS (t) 10 2 cos 2t V
I 3 I1 4
解2：
U＋－S 100o V j4
－j4
I 1.24 / 29.7o A
视在功率反映了设备的容量。电机和变压器的容量是 由它们的额定电压和额定电流来决定的，因此往往可以用 视在功率来表示。至于它们能提供多大的平均功率，主要
取决于 。
有功功率 P 与视在功率 S 之比称为电路的功率因数。
P cos
S
五、 P、Q、S 之间存在如下关系
P UI cos S cos
PR
UI
cos
UI
cos 0o
UI
I 2R
U2 R
QR UI sin UI sin0o 0
（2）电感元件 i L
＋
u－
u(t) Um cos( t ) i(t) Im cos t
90o
PL UI cos UI cos 90o 0 QL UI sin UI sin 90o UI