3.3__垂径定理__
第1课时 垂径定理
1．[2016·黄石]如图3－3－1，⊙的半径为13，弦AB 的长度是24，ON ⊥AB 垂足为N ，则
ON ＝( A )
图3－3－1
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
2．如图3－3－2，已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ，则下列结论不一定正确的是( B )
图3－3－2
A ．CE ＝DE
B ．AE ＝OE C.B
C ︵＝B
D ︵
D ．△OC
E ≌△ODE
【解析】 ∵AB ⊥CD ， ∴CE ＝DE ，BC ︵＝BD ︵
， ∵CO ＝DO ，∠CEO ＝∠DEO ， ∴△OCE ≌△ODE .
由已知条件不能确定AE 和OE 的关系．故选B.
3．[2017·泸州]如图3－3－3，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E .若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的长是( B ) A.7 B ．27 C ．6
D ．8
图3－3－3 第3题答图
【解析】 如答图，连结OC ，
则OC ＝OB ＝4，OE ＝OB －AE ＝4－1＝3，
CE ＝DE ＝OC 2－OE 2＝7， CD ＝2CE ＝27.
4．[2017·长沙]如图3－3－4，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝6，EB ＝1，则⊙O 的半径为__5__．
图3－3－4 第4题答图
【解析】 如答图，连结OC ， ∵AB 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ， ∴CE ＝DE ＝12CD ＝1
2×6＝3，
设⊙O 的半径为x ，则OC ＝x ，
OE ＝OB －BE ＝x －1，
在Rt △OCE 中，OC 2
＝OE 2
＋CE 2
，
∴x 2
＝32
＋(x －1)2，解得x ＝5，∴⊙O 的半径为5.
5．[2017·眉山]如图3－3－5，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB ＝8 cm ，DC ＝2 cm ，则OC ＝__5__cm.
图3－3－5 第5题答图
【解析】 如答图，连结OA ，
∵OC ⊥AB ，∴AD ＝1
2
AB ＝4 cm ，
设⊙O 的半径为R ，由勾股定理，得OA 2
＝AD 2
＋OD 2
， ∴R 2
＝42
＋(R －2)2
，解得R ＝5，∴OC ＝5 cm.
6．[2016·绍兴]如图3－3－6①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A ，B ，AB ＝40 cm ，脸盆的最低点C 到AB 的距离为10 cm ，则该脸盆的半径为 __25____cm.
① ②
图3－3－6
【解析】 如答图，设圆的圆心为O ，连结OA ，OC ，OC 与AB 交于点D ，设⊙O 半径为R ，
第6题答图
∵OC ⊥AB ，
∴AD ＝DB ＝1
2AB ＝20(cm)，∠ADO ＝90°，
∵在Rt △AOD 中，OA 2
＝OD 2
＋AD 2
，
R 2＝202＋(R －10)2，解得R ＝25.
7．[2016·宿迁]如图3－3－7，在△ABC 中，已知∠ACB ＝130°，∠BAC ＝20°，BC ＝2，以
C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点
D ，则BD 的长为．
图3－3－7 第7题答图
【解析】 如答图，过点C 作CE ⊥AB 于点E .∠B ＝180°－∠BAC －∠ACB ＝180°－20°－
130°＝30°，
∵在Rt △BCE 中，∠CEB ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝2， ∴CE ＝12BC ＝1，BE ＝BC 2－CE 2＝22－12
＝3，
∵CE ⊥BD ，∴DE ＝EB ， ∴BD ＝2EB ＝2 3.
8．如图3－3－8，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于点E . (1)若AB ＝8，OE ＝3，求⊙O 的半径； (2)若CD ＝10，DE ＝2，求AB 的长； (3)若⊙O 的半径为6，AB ＝8，求DE 的长．
图3－3－8 第8题答图
解：如答图，连结OA .
(1)∵CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴AE ＝1
2
AB ＝4.
∵在Rt △AOE 中，OE ＝3， ∴OA ＝OE 2
＋AE 2
＝32
＋42
＝5， ∴⊙O 的半径是5；
(2)∵CD 是⊙O 的直径，CD ＝10， ∴OA ＝1
2
CD ＝5，
∵DE ＝2，∴OE ＝5－2＝3.
在Rt △AOE 中，AE ＝OA 2
－OE 2
＝52
－33
＝4， ∵CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴AB ＝2AE ＝2×4＝8；
(3)∵CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴AE ＝1
2
AB ＝4.
∵在Rt △AOE 中，OA ＝6， ∴OE ＝OA 2
－AE 2
＝62
－42
＝25， ∴DE ＝OA －OE ＝6－2 5.
9．如图3－3－9，⊙O 的直径为10 cm ，弦AB ＝8 cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．
图3－3－9 第9题答图
解：如答图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，连结OB . ∵AB ＝8 cm ，
∴AE ＝BE ＝12AB ＝1
2
×8＝4(cm)．
∵⊙O 的直径为10 cm ，∴OB ＝1
2×10＝5(cm)，
∴OE ＝OB 2
－BE 2
＝52
－42
＝3(cm)． ∵垂线段最短，半径最长， ∴3 cm ≤OP ≤5 cm.
10．如图3－3－10，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ，则四边形OACB 是( C )
图3－3－10
A ．正方形
B ．矩形
C ．菱形
D ．非菱形的平行四边形
【解析】 ∵AB 垂直平分半径OC ，根据垂径定理可知AB 与OC 互相垂直平分，∴四边形OACB 是菱形．故选C.
11．如图3－3－11，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴交于O ，A 两点，点A 的坐标为(6，0)，⊙P 的半径为13，则点P 的坐标为__(3，2)__．
图3－3－11 第11题答图
【解析】 如答图，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连结OP .∵A (6，0)，PD ⊥OA ，∴OD ＝1
2OA ＝3.
∵OP ＝13，OD ＝3，
∴PD ＝OP 2
－OD 2
＝（13）2
－32
＝2， ∴点P 的坐标为(3，2)．
12．如图3－3－12，AB 为⊙O 的弦，C ，D 是直线AB 上的两点，且AC ＝BD .求证：△OCD 是等腰三角形．
图3－3－12 第12题答图
证明：如答图，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ， 则AH ＝BH .又∵AC ＝BD ，
∴CH ＝DH .又∵OH ⊥AB ，即OH ⊥CD ， ∴OC ＝OD ，即△OCD 是等腰三角形．
13．已知在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D (如图3－3－13所示)． (1)求证：AC ＝BD ；
(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．
图3－3－13 第13题答图
解：(1)证明：如答图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则CE ＝DE ，AE ＝BE . ∴AE －CE ＝BE －DE ，即AC ＝BD ；
(2)如答图，连结OC，OA.
由(1)，得OE⊥AB且OE⊥CD，
∴CE＝OC2－OE2＝82－62＝27，
AE＝OA2－OE2＝102－62＝8，
∴AC＝AE－CE＝8－27.
14．如图3－3－14，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB ＝CD＝8，则OP的长为( C )
图3－3－14
A．3 B．4
C．3 2 D．4 2
【解析】如答图，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，连结OB，OD.
第14题答图
由垂径定理、勾股定理，得OM＝ON＝52－42＝3.
∵弦AB，CD互相垂直，∴∠DPB＝90°.
∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
∴四边形MONP是矩形，∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP＝2OM＝3 2.故选C.。