2018年徐汇区初三数学二模卷（满分150分，考试时间100分钟） 2018.4考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列算式的运算结果正确的是 A . 326m m m ⋅=； B . 532m m m ÷=（0m ≠）；C . 235()m m --=；D . 422m m m -=．2．直线31y x =+不经过的象限是A ．第一象限；B ．第二象限；C ．第三象限；D ．第四象限．3 ．如果关于x 的方程210x +=有实数根，那么k 的取值范围是A ．0k >；B ．0k ≥；C ．4k >；D ．4k ≥． 4．某射击选手10次射击的成绩统计结果如下表，这10次成绩的众数、中位数分别是A ．45°；B ．60°；C ．120°；D ．135°． 6．下列说法中，正确的个数共有（1）一个三角形只有一个外接圆； （2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； （3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等； （4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等．A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） [请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．函数12y x =-的定义域是 ▲ . 8．在实数范围内分解因式：22x y y - = ▲ .92=的解是 ▲ ．10．不等式组2672x x -≥⎧⎨+>-⎩的解集是 ▲ .11．已知点1(,)A a y 、2(,)B b y 在反比例函数3y x=的图像上.如果0a b <<，那么1y 与2y 的大小关系是：1y ▲ 2y .12．抛物线2242y x x =+-的顶点坐标是 ▲ . 13．四张背面完全相同的卡片上分别写有0.3、9、2、227四个实数，如果将卡片字面朝下随意放在桌子上，任意取一张，那么抽到有理数的概率为 ▲ ．14．在△ABC 中，点D 在边BC 上，且BD:DC=1:2.如果设a AB =，AC b =，那么BD 等 于 ▲ （结果用a 、b 的线性组合表示）. 15．如图，为了解全校300名男生的身高情况，随机 抽取若干男生进行身高测量，将所得数据（精确到1cm ） 整理画出频数分布直方图（每组数据含最低值，不含 最高值），估计该校男生的身高在170cm ﹣175cm 之间 的人数约有 ▲ 人．16．已知两圆相切，它们的圆心距为3，一个圆的半径是4，那么另一个圆的半径是 ▲ . 17．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形.如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在△ ABC 中，DB =1，BC =2，CD 是△ ABC 的完美分割线，且△ ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，则CD 的长为 ▲ .18．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3．点P 、Q 分别在边BC 、AC 上，PQ ∥AB ．把△PCQ 绕点P 旋转得到△PDE （点C 、Q 分别与点D 、E 对应），点D 落在线段PQ 上，若AD 平分∠BAC ，则CP 的长为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）1612106180175170165160155人数身高（cm ）第15题图图2CABD第17题图BQ第18题图19．（本题满分10分）计算：()011112() 3.14234231π--+--+-- ． 20．（本题满分10分） 解分式方程：2216124x x x -+=+-．21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，3AC =，4BC =，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ． （1）求tan ∠DAB ；（2）若⊙O 过A 、D 两点，且点O 在边AB 上，用尺规作图的方法确定点O 的位置并求出 ⊙O 的半径（保留作图痕迹，不写作法）．22．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）“五一”期间小明和小丽相约到苏州乐园游玩，小丽乘私家车从上海出发30分钟后，小明乘坐火车从上海出发，先到苏州北站，然后再乘出租车去游乐园（换乘时间忽略不计），两人恰好同时到达苏州乐园，他们离上海的距离y （千米）与乘车时间t （小时）的关系如图所示．请结合图像信息解决下面问题：（1）本次火车的平均速度是 ▲ 千米/小时？ （2）当小明到达苏州北站时，小丽离苏州乐园 的距离还有多少千米？23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）AC BD第21题图火 车出租车私家车（小时）y （千米）苏州北站苏州乐园1560.590120第22题图在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，BD =BC ．点E 在对角线BD 上，且∠DCE =∠DBC ． （1）求证：AD=BE ；（2）延长CE 交AB 于点F ，如果CF ⊥AB ，求证：4EF ⋅FC=DE ⋅BD ．24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分）如图，已知直线122y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，抛物线212y x bx c =-++过点B 、C ，且与x 轴交于另一点A ． （1）求该抛物线的表达式；（2）点M 是线段BC 上一点，过点M 作直线l ∥y 轴交该抛物 线于点N ，当四边形OMNC 是平行四边形时，求它的面积；（3）联结AC ，设点D 是该抛物线上的一点，且满足∠DBA =∠CAO ， 求点D 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题①满分4分，第（2）小题②满分6分）已知四边形ABCD 是边长为10的菱形，对角线AC 、BD 相交于点E ，过点C 作CF //DB 交AB 延长线于点F ，联结EF 交BC 于点H ． （1）如图1，当EF ⊥BC 时，求AE 的长；（2）如图2，以EF 为直径作⊙O ，⊙O 经过点C 交边CD 于点G （点C 、G 不重合），设AE 的长为x ，EH 的长为y ．①求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；②联结EG ，当△DEG 是以DG 为腰的等腰三角形时，求AE 的长．第23题图 A BDC EOyxAC B第24题图HDCABEF图2GD OHCA BFE第25题图图12018年第二学期徐汇区学习能力诊断卷参考答案2018.4一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.B；2.D；3.D；4.B ；5.A；6．C．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．2x≠的一切实数；8．(y x x；9．7x=；10．93x-<≤-；11．>；12．(1,4)--；13．34；14．1133a b-+；15．72；16．1或7；17．32；18．2．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式214=+-+-………………………………………（8分）32+=……………………………………………………………（2分）20．解：方程两边同时乘以(2)(2)x x+-得：2280x x--=…………………………………………………………（3分）解得：12x=-，24x=………………………………………………（3分）经检验，2x=-是原方程的增根，4x=是原方程的根………………（2分）所以，原方程的解是4x=21．解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，AD=∴()ACD AED A A S∆≅⋅⋅∴DC=DE，AC=AE=3，∴BE=2Rt△ABC中，3tan4ACBBC==在Rt△BDE中，3tan4DEBBE==，∴DE =32…………………………………（1分）∴1tan2DEDABAE∠==………………………………………………………（1分）（2）作图正确……………………………………………………………………………（2分）联结OD，设⊙O的半径为r，∵AO=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AC…………………………………………………（2分）∴OB ODAB AC=，即553r r-=，解得15.8r=……………………………………（1分）22．解：（1）180千米/小时……………………………………………………………（3分）（2）设2l的解析式为(0)y kt b k=+≠，当0.5t=时，y=0；当t=1时，y=90，得：0.5090k bk b+=⎧⎨+=⎩解得：18090kb=⎧⎨=-⎩，18090y t=-．…………………………（3分）故把56t=代入18090y t=-，得y=60，……………………………………（1分）设1l的解析式(0)y at a=≠，当56t=时，y=60，得：5606a=∴a=72，∴y=72t，………………………………………………………………（1分）当t=1，y=72，∴120-72=48（千米）…………………………………………（2分）答：当小明到达苏州北站时，小丽离苏州乐园的距离还有48千米……………（2分）23.证明：(1)∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠ABC=∠DCB，………………………………………………………………（1分）∵∠DCE=∠DBC，∴∠ABD=∠ECB．………………………………………（1分）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠EBC，……………………………………………（1分）∵BD=BC，∴ABD∆≌()ECB A S A⋅⋅…………………………………（2分）∴AD BE=．(2)联结AC，∵AD∥BC，AB=CD，∴AC=BD，∵BD=BC，∴AC=BC．………………………………………（1分）∵CF⊥AB，∴AF=BF=1122AB CD=，……………………………………（1分）又∵∠BFE =∠CFB=90°，由（1）∠ABD=∠ECB，∴BFE∽CFB，∴2BF EF FC=⋅．…………………………………（2分）同理可证：2DC DE BD=⋅……………………………………………………（2分）∴4EF FC DE BD⋅=⋅．…………………………………………………………（1分）24．解：（1）∵122y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B （4，0）、C （0，2）……（1分） 由题意可得1164022b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线表达式为213222y x x =-++．………………………………………（2分）（2）设M 1(,2)2t t -+，N 213(,2)22t t t -++，MN =2122t t -+当OMNC 是平行四边形时，MN =21222t t OC -+==,122t t ==……（2分）∴平行四边形OMNC 的面积22 4.S =⨯=．……………………………（1分）（3）由2132022y x x =-++=，解得121,4x x =-=，∴A （-1，0）．……………………（1分）当点D 在x 轴上方时，过C 作CD ∥AB 交抛物线于点D ，∵A 、B 关于对称轴对称，C 、D 关于对称轴对称，∴四边形ABDC 为等腰梯形， ∴∠CAO =∠DBA ，即点D 满足条件，∴D （3，2）；……………………………（2分） 当点D 在x 轴下方时，∵∠DBA =∠CAO ，∴tan ∠DBA =tan ∠CAO =2，……（1分）∵设点D 213(,2)22d d d -++，过点D 作DE ⊥直线AB 于点E ， ∴由题意可得BE =4d -，DE =213222d d --，21322224d d d--=-，125,4d d =-=（舍），∴D （﹣5，﹣18） ……………（2分） 综上可知满足条件的点D 的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18） 25．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形∴DC ∥AB ，AB =BC ，DB 和AC 互相垂直平分．………………………………（1分） ∵CF //DB ，∴四边形DBFC 是平行四边形，∴BF =DC =AB=10，∴∠CAB =∠BCA ………………………………………………（1分） 当EF ⊥BC 时，∠CAB =∠BCA =∠CFE ，∴Rt △AFC ∽Rt FEC ，∴2FC CE AC =⋅，即222FC AE =…………………（1分） Rt △ACF 中，222CF AC AF +=，2224400AE AE +=，AE =…………（1分）（2）①联结OB ，AB=BF ，OE=OF ，∴OB //AC ，且111222OB AE EC x ===……（1分） ∴12OH OB EH EC ==，∴23EH EO =…………………………………………………（1分）在Rt △EBO 中，2222212EO BE OB x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∴23y EO ==10x <)．……………………………………（2分）（说明：当C 、G 两点重合时有EF ⊥BD ，x =②当GD =GE 时，有∠GDE =∠GED ，又∵AC ⊥DB ，∠DEC=90°，∴∠GCE =∠GEC ， ∴GE =GC ，∴GD =GC ，即G 为DC 的中点， 又∵EO =FO ，∴GO 是梯形EFCD 的中位线，∴GO 322DE CF DE +==，…………………………………………………………（1分）∴32y ==………………………………（1分）解得x =1分）法一：当DE =DG 时，联结OD 、OC 、GO ．∵GO=EO ，DO=DO ，∴△OED ≌△OGD (SSS)，…………………………………（1分） ∴∠DEO=∠DGO ，∴∠CGO=∠BEO=∠OFC ，∴∠CGO=∠OCG=∠OFC=∠OCF ，∴GC=CF …………………………………（1分）∴DC=DG +GC=DE+2DE=10，即10=，解得x =1分）法二：当DE =DG 时，过点D 作DM ⊥GE 于点M ，延长交EC 于点N ，联结GN ． ∴∠EDN =∠GDN ，又∵DN=DN ，∴△NDE ≌△NDG (SAS)，∴∠DGN=∠DEN=90°，14NE NG x ==，34NC x =……………………………（1分）即sinDE GNDCADC NC∠==1434xx=，……………………………………（1分）解得x=1分）综上，当△DEG是以DG为腰的等腰三角形时，AE．。