重庆市第一中学2020-2021学年高一数学下学期5月月考试题数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合{}2|230A x x x =--≥，则A C R =（ ）[]3,1.-A()3,1.-B[]1,3.-C ()1,3.-D2.下列四个命题：①||0,a =若则→→=0a ;②若||a =||b ，则a b = 或a b =- ; ③若→a 与→b 方向相反,则→a 与→b 是相反向量;④若→→→→⋅=⋅c a b a ,则→→=c b . 其中正确的命题个数是（ ）0.A 1.B 2.C 3.D3.先后抛掷质地均匀的骰子两次,分别得到两个点数,则下列事件中,发生的概率最大的是( ).A 两个点数都是奇数 .B 点数的和是奇数 .C 点数的和小于13.D 点数的和大于7 4.设R c b a ∈,,,且c b a >>,1,则( )22.c b A >c b B a a log log .>c b a a C >.)0(.≠<bc cab a D5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若6831=++a a a ,则=7S ( )7.A 10.B 14.C 21.D6.若平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是o180，且53||=b ，则=b ( )()6,3.-A ()6,3.-B ()3,6.C ()3,6.--D7.在ABC ∆中，内角、、的对边分别为、、，若c C a b 21cos -=，则角为( ) A . 45B . 135C . 60D . 1208.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．99.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被x y 6sin3π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A .91B .121C .181D .36110.边长为6的正三角形ABC 中,E 为BC 中点,F 在线段AC 上且FC AF 21=,若AE 与BF 交于M ,则=⋅→→MB MA ( )12.-A 9.-B 215.-C 427.-D11.正项数列{}n a 满足:2121++++=++n n n n n n a a a a a a ,631=+a a ,若前三项构成等比数列且满足321a a a <<,n S 为数列{}n a 的前n 项和,则[]2020S 的值为( )([]x 表示不超过x 的最大整数).4040.A 4041.B 5384.C 5385.D12.已知O 为ABC ∆的外心,31cos =A ,若→→→+=AC y AB x AO ,则y x +的最大值为( )32.A 43.B 54.C 65.D 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上） 13.若4,,1m 成等比数列，则=m .14.从3名男生和2名女生中随机选出2名志愿者，其中至少有1名男生的概率为． 15.在地面距离塔基分别为m m m 300,200,100的C B A ,,处测得塔顶的仰角分别为γβα,,，且90=++γβα，则塔高为m .16.ABC ∆中，AC AB 2=，AD 是角A 的平分线，且kAC AD =，则k 的取值范围为. 三、解答题.（共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.（本小题满分10分）已知||1||2,，→→==a b 322-=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→→→b a b a .(1)求a →与b →的夹角θ； （2）求|2+|→→a b .18.（本小题满分12分）不等式：1212≤+-x x 的解集为A . （1）求集合A ；（2）若不等式01)1(2≤--+x a ax 的解集为,B 且B B A =⋂,求a 的取值范围.19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos 1A B a b c+=. （1）证明：,,a c b 成等比数列；（2）若3=c ，且4sin()cos 16C C π-=，求ABC ∆的周长.20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足51=a ,2132n a a n n -+=+. （1）求证:数列{}n n a n 22--为等比数列；（2）若数列{}n b 满足nn n a b 2-=，求nn b b b T 11121+++=.21. （本小题满分12分）已知)cos ,(cos ),cos ,(sin x x n x x m -==→→,设→→⋅=n m x f )(. (1) 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时,求)(x f 的值域; (2) 若锐角ABC ∆满足0)(=C f ,且不等式01tan tan tan tan 22≥+++B A m B A 恒成立,求m 的取值范围.22. （本小题满分12分）数列{}n a 中,21=a ,且对于任意的*∈N q p ,,有q p q p a a a +=+.(1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 若数列{}n b 满足12)1(1212121214433221+-+++-+++-+=-n n n n b bb b b a )(*∈N n ,是否存在实数λ使得对于任意*∈N n m ,)(n m >，都有)(33n m nm b b ->-λ（λ为常数）成立?若存在,求实数λ的取值范围;若不存在,请说明理由.重庆一中高2022级高一（下）学期5月月考数学参考答案12.b y xc c bc y xc c AC AB y AB x AB AB AO 32321212222+=⇒+=⇒⋅+==⋅→→→→→→yb c x b y b bc x b AC y AC AB x AC AC AO +=⇒+=⇒+⋅==⋅→→→→→→32321212222联立可得:b c y c b x ⋅-=⋅-=163169,163169 438389)(16389=-≤+-=+∴b c c b y x二. 填空题. 12.2± 14.109 15.100 16.⎪⎭⎫ ⎝⎛34,016.不妨令θ2,1=∠=A AC ,则θ=∠=∠==CAD BAD k AD AB ,,2,θθθsin 121sin 2212sin 2121⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=⨯⨯⨯=∆∆∆k k S S S ACD ABD ABC ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=⇒34,0sin 34θk 三. 解答题.17. (10分)由已知有:38322322222-=-⋅+=-⋅+=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→→→→→→→→→b a b b a a b a b a1=⋅∴→→b a(1)321cos πθθ=∴=⋅=→→→→ba b a (2)32212444442222=+∴=++=+⋅+=+→→→→→→→→b a b b a a b a18.(12分)(1)(]3,2-=A(2)A B B B A ⊆∴=⋂当0=a 时,[)+∞-=,1B ,不符合题意,舍去; 当0>a 时,不等式可化为:()011≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x ,注意到a 101<<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∴a B 1,1 3131≥∴≤∴a a 当0<a 时,不等式可化为:()0)1(1≥-+ax x ,注意到无论a1与1-大小关系,均包含趋于∞±部分,一定不符合,舍去.综上可知:31≥a19.(12分)(1)由已知有:ab b c a a c b ab B ac A bc =-++-+∴=+22cos cos 222222 ab c =∴2b c a ,,∴成等比数列.(2)已知得:1cos )21cos 23(sin 4=⋅⋅-⋅C C C 1cos 2cos sin 322=-⇒C C C 2)62sin(222cos 2sin 3=-⇒=-⇒πC C C 1)62sin(=-⇒πC3262πππ=∴=-∴C C27)(3)(cos 2922222-+=-+=-+===∴b a ab b a C ab b a ab c 636)(2=+∴=+∴b a b a ∴周长9=++c b a20.(12分)(1)由已知有:)1(2)1(32)1(2)1(2221+-+--+=+-+-+n n n a n n a n n =)2(242222n n a n n a n n --=--212121=⨯--a {}n n a n 22--∴为等比数列(2)由(1)可得:n n n n n a 222212=⨯=---n n a n n 222++=∴)2(222+=+=-=∴n n n n a b n n n)2(1531421311+++⨯+⨯+⨯=∴n n T n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=2114121)311(21n n =)2111(2143)2111211(21+++-=+-+-+n n n n 21. (12分)(1)21)42sin(2222cos 12sin 21cos cos sin )(2--=+-=-=πx x x x x x x f 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-43,442πππx ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-1,22)42sin(πx⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈∴212,1)(x f(2)由0)(=C f 可得 4π=CBA BA B A tan tan 1tan tan 1)tan(-+=-=+∴B A B A B A tan tan 21tan tan tan tan ≥-=+∴ 注意到1tan tan >B A 223tan tan +≥∴B A 设223,tan tan +≥=t B A t不等式()01tan tan tan tan 2tan tan 2≥++-+⇔B A m B A B A()01tan tan tan tan 21tan tan 2≥++--⇔B A m B A B A0242≥++-⇔mt t t 42-+≤-⇔tt m 恒成立 注意到223+≥t ∴当223+=t 时，22542min-=⎪⎭⎫⎝⎛-+t t 522-≥∴m22. (12分)(1)21,11+=+=⇒==+n n n a a a a q n p{}n a ∴为等差数列,n a n 2=∴(2)当1=n 时,632111=⇒==b b a ; 当2≥n 时,()22)1(12)1(21111+-=⇒+-==-+---n n n nn n n n b b a a 条件n n m m b b λλ->-⇔33对n m >恒成立,设n nn b c λ-=3,则{}n c 为递增数列.)22()1(3)22()1(311211+-+-+--=-∴+-+++n n n n n n n n c c λλ[]0423)1(321>+⨯--⨯=+n nnλ 恒成立223342332)1(1+⨯=+⨯⨯<-⇒+n n n nnλ当n 为奇数时,nnnn⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=+⨯<-31232312233λ当1=n 时,min 右=83,8383->⇒<-∴λλ当n 为偶数时,nnn n⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=+⨯<31232312233λ当2=n 时,149min =右,149<∴λ 综上可知:⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈149,83λ。