一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据诱导公式，化简即可得到余弦值。

详解：因为，所以所以选A点睛：本题考查了利用三角函数诱导公式对三角函数式进行简单的化简求值。

在应用公式时，“奇变偶不变，符号看象限”是化简求值的基本原则。

2. 下列各数中，最大的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先把不同的进制都转化为十进制，再统一比较大小。

详解：A、B、C、D、29所以比较大小，可知最大所以选C点睛：解决本题的关键是掌握把不同的进制转化为十进制的方法，属于简单题目。

3. 某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将50个同学按01，02，03，…，50进行编号，然后从随机数表第9行第11列开始向右读，则选出的第7个个体是（）（注：表为随机数表的第8行和第9行）A. 02B. 13C. 42D. 44 【答案】A【解析】依题意，选取数据依次为，故为.4. 在棱长为2的正方体中任取一点，则满足的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】以为直径作球，球在正方体内部的区域体积为，正方体的体积为，所以由几何概型得，，故选A ．5. 设函数，下列四个结论正确的是（ ） ①是奇函数；②的图象关于直线对称；③当时，；④当时，单调递增.A. ①③B. ②④C. ③④D. ②③ 【答案】D 【解析】分析：根据的定义域不同，分成四个区间，在各区间内画出函数的图像，即可判定是否正确。

详解：因为，所以画出函数图像如下由图可知，的图像关于y轴对称，是偶函数，所以①错；的图象关于直线对称，所以②正确；在上的值域为，所以③正确；在时，没有单调性，所以④错。

综上，所以选D点睛：本题考查了三角函数、分段函数图像的画法，利用函数图像分析解决问题的能力。

把三角函数利用辅助角公式，化成一个角的三角函数，根据定义域画出图像，综合性强，属于中档题。

6. 若数列满足，则这个数列的通项公式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据递推数列的性质，可以得到，两式相减，即可得到的表达式；此时要注意首项是否符合通项公式。

详解：因为所以两式相减，得，且当n=1时，在原式中，首项二者不相等，所以所以选D点睛：本题主要考查了利用递推公式求数列通项公式的方法。

在两式相减过程中，注意利用递推式求出的首项与通项公式的首项是否相等。

若相等，则通项公式即可；若不相等，则需写成分段函数的形式。

7. 在中，若，，为边的三等分点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴∴∵,为的三等分点∴故选B.8. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设等差数列为，，则，且，解得：，选D.9. 为了研究椭圆面积公式，某学习小组制定了下列的几何概型模型，如图，已知矩形的长、宽分别为，以矩形的中心为中心制作的内切椭圆如图中阴影部分所示，为保证试验的准确性，经过了10次试验，若10次试验在矩形中共随机撒入了5000颗豆子，落在阴影部分的豆子是3925颗，那么估计椭圆的面积的公式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：落在阴影部分的概率为，所以椭圆面积为考点：几何概型10. 在中，，则是（）A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】分析：利用同角三角函数关系式，把正切函数化成正余弦函数。

然后用倍角公式化简，得到角A和角B的关系。

详解：，因为所以，所以所以，所以或所以选D11. 已知函数均为正的常数)的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：根据最小正周期π和时函数取得最小值两个条件，分别求出和的值，根据单调性判断大小。

详解：因为，所以因为当时，函数取得最小值，所以，所以所以所以且，且在上单调递减，所以综上，所以选A点睛：本题综合考查了三角函数解析式、三角函数最值、三角函数的单调性，利用三角函数的对称性和单调性判断函数值的大小关系，属于中档题。

12. 在中，分别是角的对边，且满足.若，则的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】分析：利用正弦定理，把中的边化成角，即，求出的值，根据向量的数量积运算，即可求出ac的值。

详解：因为所以，化简得所以因为，所以即所以所以选D点睛：本题综合考查了利用正弦定理、向量的数量积运算求值。

正弦定理实现边角转化中是三角函数变形的重点，是求边、求角的重要方法，属于简单题。

二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，的模是方程的正根，，且，则与的夹角为_______.【答案】.【解析】分析：根据一元二次方程，求得正根为，即，根据向量的运算可化为，代入即可求得与的夹角。

详解：，所以，所以因为，所以，代入即可求得，所以夹角点睛：本题主要考查了一元二次方程解法、向量数量积的运算和化简求值，属于简单题。

14. 已知满足，若是递增数列，则实数的取值范围是_______. 【答案】.【解析】,是递增数列,所以>0,所以，所以<n+2,所以<3故答案为点睛：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，利用是递增数列，则恒成立，采用变量分离即得解.15. 执行如图所示的程序框图，输入，则输出______.【答案】.考点：程序框图．16. 在中，若，，则的最大值为______.【答案】.【解析】分析：利用余弦定理，求出，再利用正弦定理表示出。

将角都化成B，利用正弦的差角公式与辅助角公式化简即可求出最大值。

详解：由余弦定理，所以所以，所以，所以根据正弦定理可得，所以，所以最大值为点睛：本题综合考查了正余弦定理的应用，利用边角关系、辅助角公式化简三角函数式，注意化简过程中的计算，知识点综合性强，属于难题。

三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间.【答案】(1).(2).【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期.因为点在函数图像上，所以.又即.又点在函数图像上，所以，故函数f（x）的解析式为（Ⅱ）由得的单调递增区间是【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期从而求得.再利用特殊点在图像上求出，从而求出f（x）的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及的单调性求得18. 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外其余完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为. （1）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：（1）所有的可能结果共有种，而满足的共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足”的概率；（2）所有的可能结果共有种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．试题解析：（1）所有的可能结果共有种，而满足的有、、共计3个故“抽取的卡片上的数字满足”的概率为（2）所有的可能结果共有种满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的有、、共计三个故“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率为所以“抽取的卡片上的数字、、不完全相同”的概率为考点：独立事件的概率．【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．视频19. 某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：（1）试估计平均收益率；（2）根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加元，对应的销量（万份）与（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下与的对应数据：据此计算出的回归方程为.（i）求参数的估计值；（ii）若把回归方程当作与的线性关系，用（1）中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收益.【答案】(1).(2)（i）；（ii）当元时，保费收入最大为360万元，保险公司预计获利为万元. 【解析】试题分析：（1）先根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间概率求概率,再根据组中值与对应区间概率乘积的和为平均数可得平均收益率,（2）（i）根据回归方程过点,先根据数据求平均值,再代入回归方程求参数的估计值；（ii）先根据收入等于销量与每份保单的保费乘积得一个一元二次函数,根据二次函数对称轴确定函数最值.试题解析：（Ⅰ）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，平均收益率为.（Ⅱ）（i）所以（ii）设每份保单的保费为元，则销量为，则保费收入为万元，当元时，保费收入最大为360万元，保险公司预计获利为万元.20. 已知数列中，且.（1）证明：数列为等差数列；（2）若，求的取值的集合.【答案】(1)证明见解析.(2).【解析】分析：根据，构造数列，利用为常数证明为等差数列；利用是等差数列，可求出数列的通项公式，利用通项公式解不等式组。

详解∴，∴设，则，∴数列是首项为2，公差为1的等差数列.由（1）知，∴易知在上为单调递增函数，，∴的取值集合为.点睛：本题主要考查构造数列解决问题的方法。

通过构造数列证明等差等比数列是常见的证明方法；通过已构造的数列求原数列的通项公式或求和也是常见题目，要注意条件和结论结合应用。

21. 在平面直角坐标系中，，， (O是坐标原点)，其中。

（1）求B点坐标；（2）求四边形OABC在第一象限部分面积 .【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）利用向量的加法运算，表示出，再根据OABC为矩形的特征，表示出B 点坐标。

（2）讨论当t取不同值时（也就是B点坐标在第一象限或第二象限），四边形OABC落在第一象限内的面积。

当点B在第一象限时，落在第一象限内的部分为直角梯形，可用整个面积减去第二象限面积的方法求得；当B在第二象限时，落在第一象限内的部分为直角三角形，可以直接求得。