模糊性与随机性的区别
事物 事物分确定性现象与非确定性现象
- 确定性现象：指在一定条件下一定会发生的现象
- 非确定性现象分随机现象与模糊现象
* 随机性是对事件的发生而言，其事件本身有着明确的含义， 只是由于发生的条件不充分，事件的发生与否有多种可能性 * 模糊性是研究处理模糊现象的，它所要处理的事件本身是模 糊的
A : U {0,1} u A ( u),
其中
1, u A A ( u) 0, u A
函数 A 称为集合A的特征函数。
Ⅱ、模糊集合及其运算
美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的 “非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数 概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以 中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。

ab ab a b ,a b 1 ab 1 (1 a )(1 b)

模糊集的并、交、余运算性质 幂等律：A∪A = A， A∩A = A； 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A； 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)， (A∩B)∩C = A∩(B∩C) ； 吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩( A∪B)= A； 分配律：(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)； (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)； 0-1律： A∪U = U，A∩U = A； A∪ = A，A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ；
模糊集合及其运算
u0 是固定的，而 A* 在随机变动。 特点：在各次试验中，
模糊统计试验过程：
（1）做n次试验，计算出
x 140 A( x) 190 140
也可用Zadeh表示法：
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A x1 x2 x3 x4 x5 x6
还可用向量表示法： A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1).
另外，还可以在U上建立一个“矮个子”、 “中等个子”、“年轻人”、“中年人”等模糊 子集. 从上例可看出： (1) 一个有限论域可以有无限个模糊子集, 而经典子集是有限的； (2) 一个模糊子集的隶属函数的确定方法是 主观的. 隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一， 模糊数学方法是在客观的基础上，特别强调主观 的方法.
A( xi ) 这里 表示 xi 对模糊集A的隶属度是 A( xi ) 。 xi
如“将一1,2,3,4组成一个模糊集合”可表示为
1 0.8 0.2 0 A 1 2 3 4
可省略
（2）序偶表示法
A {( x1 , A( x1 )), ( x2 , A( x2 )),, ( xn , A( xn ))}
ˆ b a b ab, a b ab a
模糊集合及其运算
（4）有界和、取小算子 ( , )
a b 1 (a b), a b min{ a , b}
（5）有界和、乘积算子 ( ,)
a b 1 (a b), a b ab
（6）Einstain算子 ( , )
模糊数学
一
模糊集合概述 模糊聚类分析 模糊模式识别 模糊综合评判
二
三 四
一、概述：什么是模糊数学
•模糊概念

秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然
若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
（3）向量表示法
A ( A( x1 ), A( x2 ),, A( xn ))
若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：
A
xU
A( x ) x
例 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高， 那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数 A(x)可定义为
1 B（u）
0 25
50
U
2、模糊集的运算 定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义
相等： A B A( x ) B( x ), x U
包含： A B A( x ) B( x ), x U
并： ( A B )( x ) A( x ) B( x ), x U 交： ( A B )( x ) A( x ) B( x ), x U 余： Ac ( x ) 1 A( x ), x U
A0.5
A0.8
模糊集合及其运算
三、隶属函数的确定 1、模糊统计法
模糊统计试验的四个要素：
（1）论域U； （2）U中的一个固定元素 u0 ;
* A （3）U中的一个随机运动集合 ;
（4）U中的一个以 A* 作为弹性边界的模糊子集A，
* A 制约着 A 的运动。 可以覆盖 u0 , 也可以不覆盖 u0 , 致使 u0对A的隶属关系是不确定的。 *
共同特点：模糊概念的外延不清楚。 模糊概念导致模糊现象 模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。 • 术语来源 Fuzzy: 毛绒绒的，边界不清楚的
模糊，不分明，弗齐，弗晰，勿晰
模糊性与精确性： 对立统一，相互依存，可互相转化
- 精确的概念可表达模糊的意思： 如“望庐山瀑布” “飞流直下三千尺，凝是银河落九天” - Fuzzy的概念也能表达精确的意思： 模糊数学不是让数学变成模模糊糊的东西， 而是让数学进入模糊现象这个禁区，即用 精确的数学方法去研究处理模糊现象
模糊集合及其运算
并： A B (aij bij )mn 交： A B (aij bij )mn 余： Ac (1 aij )mn
1 0.1 0.4 0 , B , 则 例：设A 0.2 0.3 0.3 0.2 1 0.1 0.4 0 A B A B 0.3 0.3 0.2 0.2 0 0.9 A 0.8 0.7
表示取大； 表示取小。
概述：模糊集合及其运算
几个常用的算子： （1）Zadeh算子 ( , )
a b max{ a , b}, a b min{ a , b}
（2）取大、乘积算子 ( ,)
a b max{ a , b}, a b ab
ˆ ,) （3）环和、乘积算子 (
c
0.6 1 B 0.7 0.8
c
模糊集合及其运算
（2）模糊矩阵的合成 定义：设 A (aij )ms , B (bij )sn , 称模糊矩阵
A B (cij )mn
为A与B的合成，其中 cij max{(aik bkj ) 1 k s}。 0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 , B 0.3 0.4 , 则 例：设A 0.1 0.2 0.3 0.5 0.6 0.1 0.2 0.2 0.5 0.6 A B B A 0.3 0.3 0.3 0.3 0.3 0.4 0.5 0.5
概述：模糊集合及其运算
Ⅰ经典集合与特征函数 集合：具有某种特定属性的对象集体。 通常用大写字母A、B、C等表示。 论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。 通常用大写字母U、V、X、Y等表示。
论域U中的每个对象u称为U的元素。
在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个 经典集合A，则必有 u A 或者u A ，用函数表示为：
模糊集合及其运算
3、模糊矩阵 定义：设 R (rij )mn ,0 rij 1, 称R为模糊矩阵。 当 rij 只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。
当模糊方阵 R (rij )nn的对角线上的元素 rij 都为1时，
称R为模糊自反矩阵。 （1）模糊矩阵间的关系及运算 定义：设 A (aij )mn , B (bij )mn 都是模糊矩阵，定义 相等：A B aij bij 包含： A B aij bij
基于此，1965年， Zadeh教授在《Information and
Control》杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets”, 标志着模糊数学的诞生。
1、模糊子集 定义：设U是论域，称映射
A : U [0,1],
~
x A ( x ) [0,1]
A 称为 A 隶属函 确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 ~ ~ ~
如：考虑年龄集U=[0,100]，A=“年老”，A 也是一个年龄集，u = 20 ∉ A，40 呢？„扎 德给出了 “年老” 集函数刻画:
1
0 50
U 100
再如，B= “年轻”也是U的一个子集，只是不同 的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，查德 给出它的隶属函数：
1 0 u 25 u 25 2 1 B(u ) (1 ( ) ) 25 u 100 5
模糊集合及其运算
（3）模糊矩阵的转置
定义：设 A (aij )mn , 称 AT (aij )mn 为A的
T
转置矩阵，其中 aij a ji 。
（4）模糊矩阵的 截矩阵 定义：设 A (aij )mn , 对任意的 [0,1], 称
T
A (aij
( )
对偶律：(A∪B)c = Ac∩Bc， (A∩B)c = Ac∪Bc；
对偶律的证明：对于任意的 xU (论域)， (A∪B)c(x) = 1 - (A∪B)(x) = 1 - (A(x)∨B(x)) = (1 - A(x))∧(1 - B(x)) = Ac(x)∧Bc(x) = Ac∩Bc (x)