如何用判别式法求函数值域
用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。

一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。

本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。

一、判别式法求值域的理论依据
例1、 求函数1
22+--=x x x x y 的值域 象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。

解：由1
22+--=x x x x y 得： （y-1）x 2+(1-y)x+y=0 ①
上式中显然y ≠1,故①式是关于x 的一元二次方程
⎪⎭
⎫⎢⎣⎡-+--=∴≠≤≤-≥∆---=∆13111,13
10)
1(4)1(222，x x x x y y y ，y y y 的值域为又解得令 为什么可以这样做？即为什么△≥0，解得y 的范围就是原函数的值域？
我们可以设计以下问题让学生回答：
1、 当x=1时，y=? (0) 反过来当y=0时，x=?（1）
当x=2时，y=? (32) 当y=3
2时，x=?（2） 以上y 的取值，对应x 的值都可以取到，为什么？
（因为将y=0和y=3
2代入方程①，方程的△≥0） 2、 当y=-1时，x=? 当y=2时，x=?
以上两个y 的值x 都求不到，为什么求不到？（因为将y 的值代入方程①式中△<0,所以无解）
3、 当y 在什么范围内，可以求出对应的x 值？
4、 函数1
22+--=x x x x y 的值域怎样求？ 若将以上问题弄清楚了，也就理解了判别式求值域的理论依据。

二、判别式法求值域的适用范围
前面已经谈到分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。

是不是所有这种类函数都可以用判别式法求值域？
例2：求1
12322---=x x x y 的值域 从表面上看，此题可以用判别式法求值域。

由原函数得：（y-3）x 2+2x+(1-y)=0
△ =4-4（y-3）(1-y)≥0
即（y-2）2≥0 ∴y ∈R
但事实上，当y=3时，可解得x=1, 而x=1时，原函数没意义。

问题出在哪里呢？
我们仔细观察一下就会发现，此函数的分子分母均含有因式（x-1）,因此原函数可以化简为)1(1
13≠++=x x x y ，用反函数法可求得3≠y ，又x ≠1代入可得y ≠2，故可求得原函数的值域为{}3,2,≠≠∈y y R y y 且。

:因此，当函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，但分子分母有公因式可约分时，此时不能用用判别式法做，应先约分，再用反函数法求其值域。

特别值得注意的是约分后的函数的定义域，如上例中化简后的函数x ≠1，故y ≠2。

例2、 求函数[])5,3(1
2352∈++-=x x x x y 的值域 此函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，且分子分母无公因式，可不可以用判别式法来求值域呢？ 由1
2352++-=x x x y 得：3yx 2+(2y-1)x+y+5=0 1）当3y=0，即y=0时，可解得x=5，故y 可以取到0
2）当3y ≠0时，令△=(2y-1)2－4×3y (y+5)≥0 解得：4
258142581+-≤≤--y 由1）、2）可得原函数的值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+---42581,42581 上面求得的值域对不对呢？显然y=173-在所求得的值域范围内，但当y=17
3-时，可求得x=2[]5,3∉，故了限定了自变量x 的取值范围的函数不能用判别式法求值域。

此题可用导数法求得原函数在区间[3，5]内单调递增，故函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
0,171。

综上所述，函数必须同时满足以下几个条件才可以用判别式法求其值域：
1） 分子分母的最高次为二次的分式函数；（2）分子分母无公约数；（3）未限定自变量的取值范围。

最后需要说明的是用判别式求值域时，第一步将函数变为整式的形式，第二步一定要看变形后的二次项（x 2项）系数是否含有y ，若含有y ，则要分二次项系数为零和不为零两种情况进行讨论。