求函数值域的方法
求函数值域的方法有图象法，函数单调性法，配方法，平方法，换元法，反函数法（逆求法），判别式法，复合函数法，三角代换法，基本不等式法等。

这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

1、求13+--=x x y 的值域
解法一：（图象法）可化为 ⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤≤---<=3,431,221,4
x x x x y
观察得值域{}4
4≤≤-y y
解法三：（利用绝对值不等式）
4
14114)1(134
)1()3(13-=+--+≥+--+=+--=+--≤+--x x x x x x x x x x 所以同样可得值
域
2、求函数[]5,0,522∈+-=x x x y 的值域 解： 对称轴 []5,01∈=x
[]
20,420,54
,1max min 值域为时时∴====∴y x y x 3、求函数x x y -+=12 的值域
解：（换元法）设t x =-1，则)0(122≥++-=t t t y
[)(]
4,41,01max ∞-∴==∴+∞∈=值域为，时当且开口向下
，对称轴y t t
4、求函数[])1,0(239∈+-=x y x x 的值域 解：（换元法）设t x =3 ，则 31≤≤t 原函数可化为
[][]
8,28,3;2,13,12
1
,2max min
2值域为时时对称轴∴====∴∉=+-=y t y t t t t y
5、求函数x x y -+-=53 的值域 解：（平方法）函数定义域为：[]5,3∈x
[][][]
[]
2
,24,21,0158,5,315
82)5()3(2
222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y
6、求函数 )0(2≤=x y x 的值域 解：（图象法）如图，值域为(]1,0
7、求函数x
x y 2231+-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛= 的值域
解：（复合函数法）令1)1(22
2
+--=+-=x x x t
)1(3≤⎪⎭
⎝=t y 由指数函数的单调性知，原函数的值域为⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞,31
8、求函数2
1
+-=
x x y 的值域 解法一：（反函数法）{}1121,≠-+=
y y y
y
x x 原函数值域为观察得解出 解法二：（利用部分分式法）由12
3
1232≠+-=+-+=
x x x y ，可得值域{}1≠y y
小结：已知分式函数)0(≠++=
c d
cx b
ax y ，如果在其自然定义域（代数式自身对
变量的要求）内，值域为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
≠
c a y y ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为)(bc a
d d
cx c ad
b c a y ≠+-
+
=，用复合函数法来求值域。

9、求函数1
33+=x x
y 的值域
解法一：（反函数法）10013<<∴>-=
y y
y
x
()01原函数的值域为∴
解法二：（复合函数法）设t x
=+13 ， 则()11
11
31113113>-=+-=+-+=t t y x
x x 101
1
01<<∴<<∴>y t
t
()01原函数的值域为∴ 10、求函数21x x y -+=的值域 解：（三角代换法） 11≤≤-x
∴设[]πθθ,0cos ∈=x
[]
[]
2
,12,1)4sin(2sin cos sin cos -∴-∈+=+=+=原函数的值域为π
θθθθθy 小结：（1）若题目中含有1≤a ，则可设
)0,cos (2
2
,sin πθθπ
θπ
θ≤≤=≤
≤-
=a a 或设 （2）若题目中含有
122=+b a
则可设θθsin ,cos ==b a ，其中πθ20<≤
（3）若题目中含有21x -，则可设θcos =x ，其中πθ≤≤0 （4）若题目中含有21x +，则可设θtan =x ，其中2
2
π
θπ
<
<-
（5）若题目中含有)0,0,0(>>>=+r y x r y x ，则可设
θθ22sin ,cos r y r x ==
其中⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,0πθ
11、
求函数1
1
22+-=x x y 的值域
解法一：（逆求法）110112<≤-∴≥-+=
y y
y
x
[)11-∴原函数的值域为 解法二：（复合函数法）设t x =+12 ，
则 )1(211212≥-=+-=t t x y
(]
1,11
122
01-∴<≤-∴≤<∴≥原函数值域为y t
t 解法三：（判别式法）原函数可化为 010)1(2=++⋅+-y x x y 1） 1=y 时 不成立
2） 1≠y 时，110)1)(1(400≤≤-⇒≥+--⇒≥∆y y y
11<≤-∴y
综合1）、2）值域}11|{<≤-y y 解法四：（三角代换法）∴∈R
x 设⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈=2,2tan ππθθx ，则
()(]1,12cos ,22cos tan 1tan 12
2-∈∴-∈-=+--=θππθθθ
θ y ∴原函数的值域为}11|{<≤-y y 12、
求函数3
425
2
+-=
x x y 的值域 解法一：（判别式法）化为0)53(422=-+-y yx yx
1）0=y 时，不成立 2）0≠y 时，0≥∆得
500)53(8)4(≤≤⇒≥--y y y y 50≤<∴y
综合1）、2）值域}50|{≤<y y
解法二：（复合函数法）令t x x =+-3422，则t
y 5
=
11)1(22≥+-=x t
50≤<∴y
所以，值域}50|{≤<y y 13、
函数11
++
=x
x y 的值域 解法一：（判别式法）原式可化为 01)1(2=+-+x y x
(][)∞+-∞-∴-≤≥∴≥--∴≥∆,31,1
30
4)1(02 原函数值域为
或y y y
解法二：（基本不等式法）1）当0>x 时，321
≥∴≥+y x
x 2）0<x 时，12)(1)(1-≤∴-≤⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+--=+
y x x x x
综合1）2）知，原函数值域为(][)∞+-∞-,31, 14、
求函数)1(1
2
22->+++=
x x x x y 的值域 解法一：（判别式法）原式可化为 02)2(2=-+-+y x y x
[)∞+∴-≤∴->-≤≥⇒≥---∴≥∆,2212
20
)2(4)2(02原函数值域为
舍去或y x y y y y
解法二：（基本不等式法）原函数可化为
)1(21
1111)1(2->≥+++=+++=x x x x x y
当且仅当0=x 时取等号，故值域为[)∞+,2
15、求函数)22
1
(1222≤≤-+++=
x x x x y 的值域 解：令t x =+1 ，则原函数可化为)31(1
≤≤-+
=t t
t y 利用函数t t y 1
+=在(]1,0上是减函数，在[)∞+,1上是增函数，得
原函数值域为⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡310,2
小结：已知分式函数)0(2222≠+++++=d a f ex dx c
bx ax y ，如果在其自然定义域内
可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取
舍，或者可以化为
)(二次式
一次式
或一次式二次式==
y y 的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法
求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数
)0(≠+=x x
a
x y 的单调性去解。