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正确用判别式法求值域“着重点”辨析
用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要方法之一，它主要适用于分式型二次函
数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。但在用判别式法求值域时因
忽视一些“着重点”而经常出错，下面针对“着重点”一一加以辨析

着重点1 对二次方程的二次项系数是否为零加以讨论
例1 求函数322122xxxxy的值域。

错解 原式变形为0)13()12()12(2yxyxy （*）
∵Rx，∴0)13)(12(4)12(2yyy，解得21103y。
故所求函数的值域是]21,103[
分析 把21y代入方程（*）显然无解，因此21y不在函数的值域内。事实上，
2

1
y

时，方程（*）的二次项系数为0，显然用“”来判定其根的存在情况是不正确的，因此
要注意判别式存在的前提条件，即需对二次方程的二次项系数加以讨论。

正解 原式变形为0)13()12()12(2yxyxy （*）

（1）当21y时，方程（*）无解；
（2）当21y时，∵Rx，∴0)13)(12(4)12(2yyy，解得

2110
3
y
。

由（1）、（2）得，此函数的值域为)21,103[
着重点2 将原函数转化为方程时应等价变形
例2 求函数1xxy的值域。

错解 移项平方得：011222yxyx，

由014)]12([22yy解得43y，则原函数的值域是,43.
分析 由于1xxy平方得011222yxyx，这种变形不是等价变
2

形，实际上扩大了x的取值范围，如果从原函数定义域1x，那么11xxy，
显然,43y是错误的。

正解 令1xt，则t0，得12tx，4321122ttty，
又t0，143210122tty，
故原函数的值域为,1y
着重点3 整体换元后新旧变量的限制条件要一致

例3 求函数5422xxy的值域
错解 令42xt，则12tty，∴02ytyt，由0412y及
0y
得值域为]21,0(y。
分析 解法中忽视了新变元t满足条件2t。
正解 设ytyttf2)(，0y，),2[t，













2
210)2(0)2(0,0y

ffy或
520y。故函数得值域为]5

2
0，（
。

着重点4 力求先化简，不盲目用判别式法
当用分子分母有公因式时，不能转化为二次方程再用判别式法，而应先约去公因式

例4 求函数1222xxxy的值域

错解  1222xxxy )1(x----------------------①
3


222xxyyx，即0212yxxy
---------②

当01y，即1y时，由②得1x（舍去），1y；
当01y即1y时，02141yyx得0322y, Ry。
综上可述，原函数的值域为{y |1y且Ry}。

分析 事实上，当23y，即1222xxx=23时，解得1x，而当1x时原函数没
有意义，故23y。错误的原因在于，当1x时，212yxxy 的值为零，所以
1x
是方程②的根，但它不属于原函数的定义域，所以方程②与方程①不同解，故函数

1222x
xx
y
不能转化为二次方程，用二次方程的理论行不通。

正解 原函数可化为y=)1)(1()1)(2(xxxx=)1()2(xx)1(x ，即111xy)1(x,

11x0，1y且2

3
y

故原函数的值域为{y |1y且23y}。