{ } { } （3）设集合 A = (x, y) f (x2 ) f ( y2 ) = f (1) ， B = (x, y) f (ax − y + 2) = 1, a ∈ R ，
若 A ∩ B = φ ，求 a 的取值范围。
例题 5．设 y = f (u) (u ∈ R) 是增函数，u = ϕ(x) (x ∈ R) 是减函数，求复合函数 f (ϕ(x)) 在 R 的单
[问题 3] 如图是定义在闭区间[-5，5] 上的函数 f (x) 的图象。
（1）说出单调区间以及在每一单调区间上 f (x) 是增函数，还是减函数。 （2）利用定义证明函数 f (x) = x + 1
x 在区间 (0,1) 内是减函数。
通过以上的探索、实践，归纳如下三点说明： [说明 1]函数的单调性与定义的区间有关，它是函数的局部性质。 [说明 2]因函数的单调性是对区间而言，单独点没有增减变化，所以考虑区间的单调性时，可以
区间叫做 f (x) 的单调区间。
[问题 2] 思考函数的单调性与函数的图象之间的关系。
1、 f (x) 是增（减）函数 ⇔ 图象自左到右上升（下降） 2、图象的峰（谷） ⇔ 函数增（减）变减（增）点 ⇔ 函数的极大（小）值点
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2、如果任意 x1, x2 ∈ (a,b)，x1 < x2 时，都有 f (x1 ) > f (x2 ), 那么就说，函数 y = f (x) 在区 间 (a, b) 内是减函数(decreasing function)。
定义 2、若函数 y = f (x) 在某个区间内是增函数或减函数，则称 f (x) 在这一区间内具有单调性，该
1)
由 x1 < x2 得， x1 − x2 < 0
又 x1, x2 ∈ (0, 1)
∴ x1 ⋅ x2 ∈ (0, 1)
∴ x1 ⋅ x2 −1 < 0
则
( x1
−
x2
)
⋅
(x1x2 − x1 x2
1)
>
0
∴ f (x) 在(0, 1)单调递减
∴ f (x1) > f (x2 )
问题 4 见视频
例 1 ∀ x1, x2 ∈ (−1, 1)且x1 < x2
函数的单调性与周期性
教 师：苗金利
一、函数的单调性
第 4 讲 函数的单调性与周期性
我 们 在 初 中 研 究 了 一 次 函 数 、 二 次 函 数 的 图 象 ， 研 究 了 y = ax + b(a ≠ 0) 与
y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 函数在某个区间内的增大或减小的性质这节课我们探讨一般函数的单调性。
例2
解：
f
(x)
=
⎧x2
⎨ ⎩
x2
− +
2x 2x
−3 −3
x≥0 x<0
g(x) = 利用图象求单调区间（见视频）
(−∞, −1), (0, 1) 减 (−1, 0), (1, + ∞) 增
f
(
x)
=
⎧x2 ⎨⎩−(
− x2
2x − 3 − 2x −
3)
x ≥ 3或x ≤ −1 −1<x < 3
(−∞, −1), (1, 3) 减
调性。
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二、函数的周期性 定义：设 y = f (x) (x ∈ A) ，若对任意 x ∈ A ，均有 f (x + T ) = f (x) ( T ≠ 0 是常数)，则称 f (x) 为周期
f
( x1 )
−
f
(x2 )
=
ax1 − x12 − 1
ax2 x22 − 1
=
a ⎡⎣x1(x22 − 1) − x2 (x12 (x12 − 1)(x22 − 1)
− 1) ⎤⎦
=
a ⎡⎣(x1x22 − ( x12
x2 x12 ) − (x1 − −1)(x22 −1)
x2 )⎤⎦
= [a x1x2 (x2 − x1) + (x2 − x1)] = a(x2 − x1)(x1x2 + 1)
周期为 4a 的周期函数。
例 6．已知，定义在 R 上的函数 f (x) 是以 2 为周期的函数，且当 x∈[0，2]时， f (x) = x −1 ，求 x∈R 时， f (x) 的解析式。
课后练习题 判定下列函数的单调性 1． f (x) = −x2 + 2 x − 3 2． y = x ⋅ (1 − x) 3． y = 6 + 12x − x3
D． (− ∞,−1) ∪ (1,+∞)
例题 4．设函数定义在 R 上，对于任意实数 m, n 恒有 f (m + n) = f (m) f (n) ，当 x > 0 时，0 < f (x) < 1
（1）求证： f (0) = 1且当 x < 0 时， f (x) > 1 ；
（2）求证： f (x) 在 R 上单调递减；
∵ A∩B=φ
∴
⎧x2 + y2 =1 ⎨⎩ax − y + 2 = 0
无解
x2 + (ax + 2)2 = 1 ∴ (1 + a2 )x2 + 4ax + 3 = 0 无实根
∴ Δ = 16a2 − 4 × 3(1 + a2 ) < 0 a2 − 3 < 0
{ } ∴ a − 3 < a < 3
例5 解： ∀ x1, x2 ∈ R 且 x1 < x2 ∵ u = ϕ(x) 在 R 上的单调递减 ∴ ϕ(x1) > ϕ(x2 ) 又∵ y = f (u) 在 R 上是增函数 ∴ f (u1) > f (u2 ) 则 x1 < x2 时 y1 > y2 ∴ f (ϕ(x)) 在 R 上单调递减
于是 f (x) = 1 > 1 f (−x)
（2）证明： ∀ x1, x2 ∈ R 且 x1 < x2
则 f (x1) − f (x2 ) = f [(x1 − x2 ) + x2 ] − f (x2 ) = f (x1 − x2 ) ⋅ f (x2 ) − f (x2 )
= f (x2 )[ f (x1 − x2 ) −1]
(−1, 1), (3, + ∞) 增
例3 C
例4 （1）证明：取 m = 5, n = 0 而 f (5) ∈ (0, 1)
∴ f (5 + 0) = f (5) ⋅ f (0)
∴ f (0) = 1
又设 x < 0 ∴ − x > 0 ∴ f (−x) ∈ (0, 1) f (0) = f (x) ⋅ f (−x)
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定义 3：设函数 y = f (x) 的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
（1）对于任意的 x ∈ I ，都有 f (x) ≤ M （ f (x) ≥ M ）
（2）存在 x0 ∈ I ，使得 f (x0 ) = M
那么，我们称 M 是函数 y = f (x) 的最大值（maximum value）。（最小值 minimum value）
期函数。 （2）如果 f (x) 在定义域内对任意的 x 满足 f (x + T ) = − f (x) ，那么 f (x) 是周期为 2T 的周期函
数。 （3）如果 f (x) 是奇函数且满足是对任意 x 有 f (a + x) = f (a − x) ( a ≠ 0 )恒成立，那么 f (x) 是
(1) y = 3x
[问题 1] 分别作出函数
的图象，并观察说出在定义域 (−∞,+∞) 内函数值的增减变
(2) y = x2 − 2x +1
化情况。
（1） f (x) = 3x 的图象在定义域 (−∞,+∞) 内，自左至右是上升的，即：函数值 f (x) 随自变量 x
的增大而增大。
（2） g(x) = x2 − 2x +1 的图象在对称轴左方的区间 (−∞,1) 是下降的，在对称轴右方的区间
∵ x2 ∈ R 由（1）及题设 f (x2 ) > 0 又 x1 < x2
∴ x1 − x2 < 0
由（1） f (x1 − x2 ) > 1
∴ f (x1 − x2 ) −1 > 0
则 f (x2 )[ f (x1 − x2 ) −1] > 0
∴ f (x) 在 R 上是减函数
∴ f (x1) > f (x2 )
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参考答案
一、函数的单调性
问题 3
（1）
⎛ ⎜⎝
−5,
−
5 2
⎞ ⎟⎠
,
(1,
2)
是减函数，
⎛ ⎜⎝
−
5 2
,
1⎞⎟⎠
,
( 2,
5) 是增函数
（2）证明： ∀ x1, x2 ∈ (0, 1) 令 x1 < x2
不包括端点。 [说明 3]初等函数均可分段单调。
[问题 4 ] 已知：函数 f (x) = x + 1 ，（1）讨论 f (x) 的单调性；（2）试作出 f (x) 的图象. x
例题
1．判定函数
f
(x)
=
ax x2 −
1
(