解直角三角形及其应用命题点1特殊角三角函数值的计算1. (江西11(2)题3分)计算：sin30°·cos30°－tan30°＝________(结果保留根号)．命题点2解直角三角形的实际应用类型一方向角的判断2. (江西5题3分)如图,如果在阳光下你的身影的方向为北偏东60°方向,那么太阳相对于你的方向是()第2题图A. 南偏西60°B. 南偏西30°C. 北偏东60°D. 北偏东30°类型二直角三角形模型(10年6考)3. (江西11题3分)如图,从点C测得树的顶端的仰角为33°,BC＝20米,则树高AB≈________米．(用计算器计算,结果精确到0.1米)第3题图4. (江西13题3分)如图①是小志同学书桌上的一个电子相框,将其侧面抽象为如图②所示的几何图形,已知BC＝BD＝15 cm,∠CBD＝40°,则点B到CD的距离为________cm.(参考数据：sin20°≈0.342,cos20°≈0.940,sin40°≈0.643,cos40°≈0.766.结果精确到0.1 cm,可用科学计算器)第4题图5. (江西22题9分)图①是一个水桶模型示意图,水桶提手结构的平面图是轴对称图形．当点O到BC(或DE)的距离大于或等于⊙O的半径时(⊙O是桶口所在圆,半径为OA),提手才能从图①的位置转到图②的位置,这样的提手才合格．现用金属材料做了一个水桶提手(如图③A－B－C－D－E－F,C－D是,其余是线段),O是AF的中点,桶口直径AF＝34 cm,AB＝FE＝5 cm,∠ABC＝∠FED＝149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格．(参考数据：314≈17.72,tan73.6°≈3.40,sin75.4°≈0.97)第5题图6. (江西17题6分)如图①,研究发现,科学使用电脑时,望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°,而当手指接触键盘时,肘部形成的“手肘角”β约为100°.图②是其侧面简化示意图,其中视线AB水平,且与屏幕BC垂直．(1)若屏幕上下宽BC＝20 cm,科学使用电脑时,求眼睛与屏幕的最短距离AB 的长；(2)若肩膀到水平地面的距离DG＝100 cm,上臂DE＝30 cm,下臂EF水平放置在键盘上,其到地面的距离FH＝72 cm,请判断此时β是否符合科学要求的100°？(参考数据：sin69°≈1415,cos21°≈1415,tan20°≈411,tan43°≈1415,所有结果精确到个位)第6题图7. (江西21题8分)如图①是一副创意卡通圆规,图②是其平面示意图,OA是支撑臂,OB是旋转臂．使用时,以点A为支撑点,铅笔芯端点B可绕点A旋转作出图．已知OA＝OB＝10 cm.(1)当∠AOB＝18°时,求所作圆的半径；(结果精确到0.01 cm)(2)保持∠AOB＝18°不变,在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下,作出的圆与(1)中所作圆的大小相等,求铅笔芯折断部分的长度．(结果精确到0.01 cm)(参考数据：sin9°≈0.1564,cos9°≈0.9877,sin18°≈0.3090,cos18°≈0.9511,可使用科学计算器)第7题图考向拓展1. 如图,将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下,已知楔子斜面的倾斜角为20°,要使木桩向上移动5 cm,则楔子沿水平方向前进(如箭头所示)了________cm.考向拓展1图2. 某市需要新建一批公交车候车厅,设计师设计了一种产品(如图①所示),产品示意图的侧面如图②,其中支柱长DC为2.1 m,且支柱DC垂直于地面DG,顶棚横梁AE长为1.5 m,BC为镶接柱,顶棚的镶接柱与支柱的夹角∠BCD＝150°,与顶棚横梁的夹角∠ABC＝135°,要求使得横梁一端点E在支柱DC的延长线上,此时经测量得镶接点B与点E的距离为0.35 m．(参考数据：2≈1.41,sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27,精确到0.1 m)(1)求EC的长度；(2)求点A到地面的距离．考向拓展2图类型三圆模型8. (江西21题9分)如图①,一辆汽车的背面,有一种特殊形状的刮雨器,忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB,如图②所示,量得连杆OA长为10 cm,雨刮杆AB长为48 cm,∠OAB＝120°.若启动一次刮雨器,雨刮杆AB正好扫到水平线CD 的位置,如图③所示．(1)求雨刮杆AB旋转的最大角度及O,B两点之间的距离；(结果精确到0.01)(2)求雨刮杆AB扫过的最大面积．(结果保留π的整数倍)(参考数据：sin60°＝32,cos60°＝12,tan60°＝3,721≈26.851,可使用科学计算器)第8题图类型四特殊四边形模型9. (江西21题8分)图①中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串接而成,每相邻两个菱形均成30°的夹角,示意图如图②所示．在图②中,每个菱形的边长为10 cm,锐角为60°.(1)连接CD,EB,猜想它们的位置关系并加以证明；(2)求A,B两点之间的距离．(结果取整数,可以使用计算器．参考数据：2≈1.41,3≈1.73,6≈2.45)第9题图答案：1. －312 2. A 3. 13.0 4. 14.15. 解：如解图,连接OB,过点O作OG⊥BC于点G.第5题解图在Rt△ABO中,AB＝5,AO＝17,∴tan∠ABO＝AOAB＝175＝3.4,(2分)∴∠ABO≈73.6°,∴∠GBO＝∠ABC－∠ABO＝149°－73.6°＝75.4°.(5分) 又∵OB＝52＋172＝314≈17.72,(6分)∴在Rt△OBG中,OG＝OB·sin∠GBO≈17.72×0.97≈17.19>17.(8分)答：水桶提手合格．(9分)6. 解：(1)∵AB⊥BC,∴∠B＝90°.在Rt△ABC中,α＝20°,∴AB＝BCtan20°≈20÷411＝55 (cm)；(3分)第6题解图(2)如解图,延长FE交DG于点I,∵DG⊥GH,FH⊥GH,EF∥GH,∴IE⊥DG,∴四边形GHFI是矩形,∴IG＝FH,∴DI＝DG－FH＝100－72＝28 (cm)．(4分) 在Rt△DEI中,sin∠DEI＝DIDE＝2830＝1415,∴∠DEI≈69°,(5分)∴β＝180°－69°＝111°≠100°,∴此时β不符合科学要求的100°.(6分)7. 解：(1)如解图,过点O作OC⊥AB于点C,则AB＝2BC,∠BOC＝12∠AOB＝9°,∴在Rt△OBC中,BC＝OB·sin9°≈10×0.1564＝1.564(cm),∴AB＝2BC＝2×1.564＝3.128≈3.13(cm)．(4分) 答：所作圆的半径约为3.13 cm；第7题解图(2)∵∠OBA＝12(180°－∠AOB)＝81°,∴∠OBA<90°,故可在BO上找到一点D,使得AD＝AB,此时所作圆的大小与(1)中所作圆的大小相等．(5分)如解图,过点A作AH⊥OB于点H,则BD＝2BH.在Rt△AOH中,OH＝AO·cos18°≈10×0.9511＝9.511(cm),∴BH＝10－9.511＝0.489(cm),∴BD＝2×0.489＝0.978≈0.98(cm)．答：铅笔芯折断部分的长度约为0.98 cm.(8分)【一题多解】∵∠OBA ＝12(180°－∠AOB )＝81°,∴∠OBA <90°,故可在BO 上找到一点D ,使得AD ＝AB ,此时所作圆的大小与(1)中所作圆的大小相等,(5分)∴∠OBA ＝∠ADB . 又∵OA ＝OB ,∴∠OBA ＝∠OAB , ∴∠OAB ＝∠ADB , 又∵∠OBA ＝∠ABD , ∴△OBA ∽△ABD , ∴OB AB ＝BA BD , 即103.13＝3.13BD ,∴BD ＝3.13×3.1310≈0.98 (cm )．答：铅笔芯折断部分的长度约为0.98 cm .(8分)8. 解：(1)根据题意,雨刮杆AB 旋转的最大角度是180°.(1分) 如解图,连接BD ,则BD 必过点O ,作OE ⊥AB ,交BA 延长线于点E . ∵∠OAB ＝120°, ∴∠OAE ＝60°,∠EOA ＝30°,∴AE ＝12OA ＝5 cm ,OE ＝3AE ＝5 3 cm ,(2分) BE ＝AB ＋AE ＝48＋5＝53 (cm ),在Rt △OEB 中,OB ＝OE 2＋BE 2＝（53）2＋532≈53.70(cm )；(4分) (2)根据题意得△DOC ≌△BOA ,第8题解图∴解图中半圆BOD 的面积等于折线BACD 与弧BD ︵围成图形的面积．(5分) 设AB 扫过的最大面积是S ,则S ＝S 半圆BOD －S 半圆AOC ＝12π·OB 2－12π·OA 2＝12π(53.72－102)≈1392π (cm 2)．(8分)答：雨刮杆AB 扫过的最大面积约是1392π cm 2.(9分) 9. 解：(1)CD ∥EB .证明：如解图,连接CD ,DE ,EB .∵中国结挂件是四个相同的菱形,每相邻两个菱形均成30°的夹角,菱形的锐∴∠CDE＝60°÷2×2＋30°＝90°,(2分)∠BED＝60°÷2×2＋30°＝90°,(3分)∴∠CDE＝∠BED,∴CD∥EB；(4分)第9题解图(2)如解图,连接AD,BD,且A,B,D在同一条直线上,连接GF交EB于点O. BE＝2OE＝2×10×cos30°＝10 3 (cm),同理可得,DE＝10 3 cm,则BD＝DE2＋BE2＝10 6 cm,同理可得,AD＝10 6 cm,则AB＝BD＋AD＝206≈49 cm.答：A,B两点之间的距离约为49 cm.(8分)考向拓展1.5tan20°【解析】∵由题图可得：tan20°＝竖直上升的高度水平前进的长度＝5x,∴楔子沿水平方向前进的长度x＝5tan20°.2.解：(1)如解图,连接EC,过点E作EP⊥BC交BC于点P,可得∠EBC＝45°,∠ECB＝30°,∴EP＝BE×sin45°≈0.25 m,∴EC＝2EP≈0.5 m；考向拓展2解图(2)如解图,过点A作AF⊥DG交DF于点F,过点E作EM⊥AF交于M,∴AF＝AM＋CE＋DC＝AE×sin 15°＋2BE×sin 45°＋2.1≈0.39＋0.50＋∴点A到地面的距离约为3.0 m.。