高中数学-《几何证明选讲》知识点归纳与练习(含答案)一、相似三角形的判定及有关性质平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。

所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。

预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。

判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

相似三角形的性质：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。

直角三角形的射影定理射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

二、直线和圆的位置关系圆周定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。

圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形的性质与判定定理定理1：圆的内接四边形的对角互补。

定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

圆的切线的性质及判定定理切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

与圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

第1题图第6题图数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.如图4所示,圆O 的直径AB =6,C 为圆周上一点,BC =3过C 作 圆的切线l ,过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则∠DAC =( )A .15︒B .30︒C .45︒D .60︒【解析】由弦切角定理得60DCA B ∠=∠=︒,又AD l ⊥,故30DAC ∠=︒, 故选B .2.在Rt ABC ∆中,CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线,是该图中共有x 个三角形与ABC ∆相似,则x =( )A .0B .1C .2D .3【解析】2个:ACD ∆和CBD ∆,故选C .3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm 和18cm 两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( )A .11cmB .33cmC .66cmD .99cm【解析】设另一弦被分的两段长分别为3,8(0)k k k >,由相交弦定理得381218k k ⋅=⨯,解得3k =,故所求弦长为381133k kk +==cm .故选B .4.如图,在ABC ∆和DBE ∆中,53AB BC AC DB BE DE ===,若ABC ∆与 DBE ∆的周长之差为10cm ,则ABC ∆的周长为( )A .20cm B .254cm C .503cm D .25cm【解析】利用相似三角形的相似比等于周长比可得答案D .5.O e 的割线PAB 交O e 于,A B 两点,割线PCD 经过圆心,已知226,12,3PA PO AB ===,则O e 的半径为( )A .4B .614C .614+D .8【解析】设O e 半径为r ,由割线定理有226(6)(12)(12)3r r ⨯+=-+,解得8r =.故选D . 6.如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥于点D ,且DB AD 3=,设COD θ∠=,则2tan 2θ＝( )A .13 B .14C .423-D .3ABC D E第4题图PCABQ 第11题图PMN CABQ第10题图第9题图【解析】设半径为r ,则31,22AD r BD r ==,由2CD AD BD =⋅得3CD =,从而3πθ=,故21tan 23θ=,选A .7.在ABC ∆中,,D E 分别为,AB AC 上的点,且//DE BC ,ADE ∆的面积是22cm ,梯形DBCE 的面积为26cm ,则:DE BC 的值为( )A .3B .1:2C .1:3D .1:4【解析】ADE ABC ∆∆:,利用面积比等于相似比的平方可得答案B .8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个.A .2B .3C .4D .5【解析】一共可作5个,其中均外切的2个,均内切的1个,一外切一内切的2个,故选D . 9.如图甲,四边形ABCD 是等腰梯形,//AB CD .由4个这样的 等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形, 则四边形ABCD 中A ∠度数为 ( )A .30︒B .45︒C .60︒D .75︒【解析】6360A ∠=︒,从而60A ∠=︒,选A .10.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑 直径为10mm ,若所用钢珠的直径为26 mm ,则凹坑深度为( ) A .1mm B .2 mm C .3mm D .4 mm 【解析】依题意得222OA AM OM =+,从而12OM mm =,故13121CMmm =-=,选A .11.如图,设,P Q 为ABC ∆内的两点,且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,AQ u u u r ＝23AB u u u r ＋14AC u u ur ,则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为( )A .15 B . 45 C . 14 D . 13【解析】如图,设25AM AB =u u u u r u u u r ,15AN AC =u u u r u u u r ,则AP AM AN =+u u ur u u u u r u u u r .由平行四边形法则知//NP AB ,所以ABP ANABC AC∆=∆u u u ru u u r ＝15,•第 14 题图O CDB A第15题图第17题图同理可得14ABQ ABC ∆=∆．故45ABP ABQ ∆=∆,选B . 12.如图,用与底面成30︒角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的离心率为 ( )A ．12 B 3 C 3D ．非上述结论 【解析】用平面截圆柱,截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径,弄清了这一概念,考虑椭圆所在平面与底面成30︒角,则离心率1sin 302e =︒=.故选A . 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13.一平面截球面产生的截面形状是_______;它截圆柱面所产生的截面形状是________ 【解析】圆;圆或椭圆.14.如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,∠C ＝720,⊙O 过A 、B 两点且与BC 相切于点B ,与AC 交于点D ,连结BD ,若BC ＝15-, 则AC ＝ 【解析】由已知得BD AD BC ==,2()BC CD AC AC BC AC =⋅=-g ,解得2AC =.15.如图,AB 为O e 的直径,弦AC 、BD 交于点P ,若3,1AB CD ==,则sin APD ∠= 【解析】连结AD ,则sin ADAPD AP∠=,又CDP BAP ∆∆:, 从而1cos 3PD CD APD PA BA ∠==,所以2122sin 1()3APD ∠=-=. 16.如图为一物体的轴截面图,则图中R 的值是【解析】由图可得22230()(180135)2R R =+--,解得25R =. 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)第12题图135R18030第16题图A CPDOE F B 第18题图A C PDOE F B 第20题图 如图:,EB EC 是O e 的两条切线,,B C 是切点,,A D 是O e 上两点,如果46,32E DCF ∠=︒∠=︒,试求A ∠的度数.【解析】连结,,OB OC AC ,根据弦切角定理,可得1(180)6732992A BAC CAD E DCF ∠=∠+∠=︒-∠+∠=︒+︒=︒.18.(本小题满分12分)如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ,E 为⊙O 上一点,»»AE AC =,DE 交AB 于点F ,且42==BP AB , 求PF 的长度.【解析】连结,,OC OD OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件»»AE AC =可得CDE AOC ∠=∠,又CDE P PFD ∠=∠+∠, AOC P C ∠=∠+∠,从而PFD C ∠=∠,故PFD ∆:PCO ∆,∴PF PDPC PO=, 由割线定理知12PC PD PA PB ⋅=⋅=,故1234PC PD PF PO ⋅===.19.(本小题满分12分)已知:如右图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ＝DC ,过点D 作AC 的平行线DE ,交BA 的延长线于点E ．求证：(1)△ABC ≌△DCB (2)DE ·DC ＝AE ·BD ． 【解析】证明：(1) ∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AC ＝DB∵AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△BCD(2)∵△ABC ≌△BCD ，∴∠ACB ＝∠DBC ，∠ABC ＝∠DCB ∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ，∠EAD ＝∠ABC∵ED ∥AC ，∴∠EDA ＝∠DAC ∴∠EDA ＝∠DBC ，∠EAD ＝∠DCB ∴△ADE ∽△CBD ∴DE:BD ＝AE:CD ， ∴DE ·DC ＝AE ·BD. 20.(本小题满分12分)如图,△ABC 中,AB=AC ,AD 是中线,P 为AD 上一点,CF ∥AB ，BP 延长线交AC 、CF 于E 、F ,求证: PB 2=PE •PF ．【解析】连结PC ,易证,PCPB ABP ACP =∠=∠解答用图AB CE D第19题图第21题图C∵//CF AB ∴F ABP ∠=∠,从而F ACP ∠=∠又EPC ∠为CPE ∆与FPC ∆的公共角, 从而CPE FPC ∆∆:,∴CP PE FP PC=∴2PC PE PF =⋅ 又PC PB =, ∴2PB PE PF =⋅,命题得证.21.(本小题满分12分)如图,A 是以BC 为直径的O e 上一点,AD BC ⊥于点D 过点B 作O e 的切线,与CA 的延长线相交于点E G ，是AD 的中点,连结CG 并延长与BE 相交于点F , 延长AF 与CB 的延长线相交于点P .(1)求证:BFEF =；(2)求证:PA 是O e 的切线；(3)若FG BF =,且O e的半径长为求BD 和FG 的长度. 【解析】(1)证明：BC ∵是O e 的直径，BE 是O e 的切线，EB BC ⊥∴．又AD BC ⊥∵，AD BE ∴∥．易证BFC DGC △∽△，FEC GAC △∽△．BF CF EF CFDG CG AG CG==∴，．BF EF DG AG =∴． G ∵是AD 的中点，DG AG =∴．BF EF =∴．(2)证明：连结AO AB ，．BC ∵是O e 的直径，∠∴． 在Rt BAE △中，由（1），知F 是斜边BE 的中点，AF FB EF ==∴．FBA FAB ∠=∠∴．又OA OB =∵，ABO BAO ∠=∠∴．BE ∵是O e 的切线，90EBO ∠=∴°．90EBO FBA ABO FAB BAO FAO ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∵°，PA ∴是O e 的切线．(3)解：过点F 作FHAD ⊥于点H ．BD AD FH AD ⊥⊥∵，，FH BC ∴∥．由(1)，知FBA BAF ∠=∠，BF AF =∴．由已知，有BFFG =，AF FG =∴，即AFG △是等腰三角形．FH AD ⊥∵，AH GH =∴．DG AG =∵，2DG HG =∴，即12HG DG =． 90FH BD BF AD FBD ∠=∵∥，∥，°，∴四边形BDHF 是矩形，BD FH =．CFH BC ∵∥，易证HFG DCG △∽△．FH FG HG CD CG DG ==∴，即12BD FG HG CD CG DG ===．O e ∵的半径长为32，62BC =∴．1262BD BD CD BC BD BD ===--∴． 解得22BD =．22BD FH ==∴．12FG HG CG DG ==∵，12FG CG =∴．3CF FG =∴． 在Rt FBC △中，3CFFG =∵，BF FG =，由勾股定理，得222CF BF BC =+．222(3)(62)FG FG =+∴．解得3FG =（负值舍去）．3FG =∴．［或取CG 的中点H ，连结DH ，则2CG HG =．易证AFC DHC △≌△，FG HG =∴，故2CG FG =，3CF FG =．由GD FB ∥，易知CDG CBF △∽△，2233CD CG FG CB CF FG ===∴． 由622362BD -=，解得22BD =．又在Rt CFB △中，由勾股定理，得 222(3)(62)FG FG =+，3FG =∴（舍去负值）．］22.(本小题满分14分)如图1,点C 将线段AB 分成两．部分,如果AC BCAB AC=,那么称点C 为线段AB 的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为1S ,2S ,如果121S S S S =,那么称直线l 为该图形的黄金分割线. (1)研究小组猜想：在ABC △中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图2),则直线CD 是ABC △的黄金分割线．你认为对吗?为什么?(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ,再过点D 作直线DF CE ∥,交AC 于点F ,连接EF (如图3),则直线EF 也是ABC △的黄金分割线．请你说明理由．(4)如图4，点E 是ABCD Y 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF AD ∥，交DC 于点F ，显然直线EF是ABCD Y 的黄金分割线.请你画一条ABCD Y 的黄金分割线,使它不经过ABCD Y 各边黄金分割点.【解析】(1)直线CD 是ABC △的黄金分割线.理由如下:设ABC △的边AB 上的高为h ．第22题图E M （第22题答图1）E M （第22题答图2）12ADC S AD h =g △,12BDC S BD h =g △,12ABC S AB h =g △,所以ADC ABC S AD S AB =△△，BDC ADCS BD S AD =△△ 又因为点D 为边AB 的黄金分割点，所以有AD BDAB AD=．因此ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△． 所以，直线CD 是ABC △的黄金分割线.(2)因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时1212s s s ==,即121s ss s ≠，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线.(3)因为DF CE ∥,∴DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等,所以有DEC FCE S S =△△ 设直线EF 与CD 交于点G ．所以DGE FGC S S =△△．所以ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形，BDC BEFC S S =△四边形．又因为ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△，所以BEFCAEF ABC AEFS S S S =四边形△△△. 因此，直线EF 也是ABC △的黄金分割线． (4)画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF 的中点G ，再过点G 作一条直线分别交AB ,DC 于M ,N 点,则直线MN 就是ABCD Y 的黄金分割线．画法二:如答图2,在DF 上取一点N ,连接EN ,再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是ABCD Y 的黄金分割线．。