几何证明选讲、极坐标与参数方程
一、极坐标与参数方程
题型一：极坐标与直角坐标互化 题型二：极坐标方程转化为直角坐标方程 题型三：参数方程转化为普通方程（消去参数） 练习：
1．曲线的参数方程为⎩
⎨
⎧-=+=12
3t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ）
A.直线
B.双曲线的一支
C.圆
D.射线
2．已知极坐标系中点)4
3,
2(π
A ，则点A 的普通直角坐标是（ ） A ．（-1，-1） B.（1，1） C.（-1，1） D.（1，-1） 3．圆θρsin =的半径是（ ）
A ．2
B ．2
C ．1
D ．2
1 4．直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨
⎧==θ
θ
sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )
A.相切
B.相离
C.直线过圆心
D.相交但直线不过圆心
5．已知直线113:()24x t
l t y t
=+⎧⎨
=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B 的坐标是
6．在极坐标系中，点A ⎪⎭
⎫
⎝
⎛4,
2π到直线sin 2ρθ=-的距离是 7、若P 是极坐标方程为()3R π
θρ=
∈的直线与参数方程为2cos 1cos 2x y θ
θ
=⎧⎨
=+⎩（θ为参数，且R θ∈）的曲线的交点，则P 点的直角坐标为 .
二、几何证明选讲
1、相似三角形性质
2、射影定理
3、切割线定理
4、相交弦定理
直角三角形的射影定理
射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

练习：
1．半径为5cm 的圆内一条弦AB ，其长为8cm ，则圆心到弦的距离为（ ） A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 2．如图，已知DE ∥BC ，△ADE 的面积是2
2cm ，梯形DBCE 的面积为2
6cm ，则
BC DE :的值是( )
A ．2
B ．
32 C ．1 D ．2
1 3．如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，
4,8CD BD ==，则圆O 的半径等于( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
4．如图，AB 是半圆O 直径，30BAC ∠=，
BC 为半圆的切线，且43BC =，则点O 到AC 的距离 OD =（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5．在Rt ABC ∆中,
90,ACB CD AB ∠=⊥于点D ，
2,4CD BD ==，则AC =（ ）
A ．25
B ．5
C ．
253 D ．3
5
2 6．如图，△ABC 中， DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE:AC=3:5,DE=6，则BF=_______
7．如图，已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A ，B 两点，割线PCD 经 过圆心，若PA=6,，AB=3
1
7,，PO=12.则⊙O 的半径为_______________
真题演练： 2007年文科
第14题．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线l 的方程为
sin 3ρθ=，则点(2,)6
π
到直线l 的距离为 ．
第15题．（几何证明选讲选做题）如图4所示，圆O 的直径AB=6，C 为圆周上一
第10题图
O
D
C
B
A
点，3BC =过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ， 则∠DAC= ． 2008年文科
第14题．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为
cos 3,4cos (0,0)2
π
ρθρθρθ==≥≤<，则曲线1C 2C 交点的极坐标为 ．
第15题．（几何证明选讲选做题）已知P A 是圆O 的切点，切点为A ，P A ＝2.AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于B 点，PB ＝1，则圆O 的半径R = ． 2009年文科
第14题．（坐标系与参数方程选做题）若直线⎩
⎨
⎧+=-=t y t
x 3221（t 为参数）与直线
41x ky +=垂直，则常数k =________．
第15题．（几何证明选讲选做题）如图3，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且4AB =，
o 30ACB ∠=，则圆O 的面积等于 ．
2010年文科
第14题．（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB =AD =a ，CD =
2
a
，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF = ． 第15题．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系(ρ，θ)(02θπ≤＜)中，曲线
()cos sin 1ρθθ+=与()sin cos 1ρθθ-=的交点的极坐标为 ．
2011年文科
第14题．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5(0)sin x y θθπθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩≤＜和
25()4x t
t R y t
⎧
=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为 ． 第15题．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E 、F 分别为AD 、BC 上点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为
．
F E D C
B
A
2012年文科
第14题．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为
25cos :(5sin x C y θθθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩是参数，02πθ≤≤）和22
12:(22
x t C t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩是参数），它们的交点坐标为 ．
第15题．（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB 与圆O 想切于点B ，D 是弦AC 上的点，PBA DBA ∠=∠，若,AD m AC n ==，则
AB = ．
2013年文科
第14题．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ．
第15题．（几何证明选讲选做题）如图3，在矩形ABCD 中，3,AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．
小节训练卷(27)参考答案
图 3
E
D
1．A ⎩
⎨⎧-=+=123t y t x 将2式乘以3后减去1式得35,350y x x y -=---=即，此方程表示的是直线，
∴选A 2．C 4
3,2π
θρ=
=
，cos 1,sin 1x y ρθρθ==-==，∴选C 3．B
2,1,CD AD BD AD AC =⋅∴==
=∴选B
4．D 将θρsin =两边平方得2
2
2
sin ,x y y ρρθ=∴+=，整理得22
11
()24
x y +-=
，∴选D 5．C 过圆心O 作OD ⊥AB ，则OD 为所求。

DB=4，OB=5, ∴OD=3 ∴选C 6．B 点(2,
)2
π
的普通直角坐标为（0，2）
，cos 1ρθ=的普通直角 坐标方程是x=1，则（0，2）关于x=1对称的点为（2，2），化为
极坐标是)4
π
，∴选B
7．D 22
211
2,8,,842
ADE ADE
ABC
ABC
S
DE DE S
S
BC S
BC ==∴==
=∴=,∴选D 8．D 圆：⎩
⎨
⎧==θθsin 2cos 2y x 化成普通直角坐标方程是22
4x y +=，圆心是（0，0），半径r=2,圆心到直线3x-4y-9=0的距离为99
55
d r -=
=<，所以直线和圆相交。

∴选D 9．C 2
,2,10,5CD AD BD AD AB
r =⋅∴=∴
=∴=直径∴选C 10．A
030,,BAC BC AB BC AC ∠=⊥=∴=03012AB AC COS =⋅=
6,,,,3OD OA
OA OD AC ADO
ABC OD BC AC
∴=⊥∴∴
=∴=又,∴选A 11．113:()24x t
l t y t =+⎧⎨
=-⎩
为参数化为普通直角坐标方程为4310x y +=，联立方程245x y -=
解得520
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴答案为5(,0)2
12．极坐标点A ⎪⎭
⎫
⎝
⎛
4,
2π的直角坐标是（1，1）
，直线sin 2ρθ=-的直角坐标方程是 2y =-，所以点到直线的距离是3
13．由题知ADE
ABC ，∴DE:BC=AE:AC=3:5，又DE=6, ∴BC=10 又CF=BE=6, ∴BF=4
14．由割线定理知
1
,6(67)(12)(12)
3
PA PB PC PD r r ⋅=⋅∴⨯+=-⋅+
∴r=8。