Yi 1 2 X 2i 3 X 3i K X Ki ui
样本回归函数（SRF）
Yˆi ˆ1 ˆ2 X 2i ˆ3 X 3i ˆk X ki
Y Yˆ e ˆ ˆ X ˆ X ˆ X e
i
i
i
1
2 2i
3 3i
K ki
i
矩阵表示: Y Xˆ e
其中： ˆ1 为截距 ；ˆ j ( j 2,, k )
2、无偏性
E(ˆ2 ) 2
E(ˆ1) 1
3、最小方差性
Var(ˆ2 ) 2 xi2
Var ( ˆ1 )
X
2 i
nxi2
2
且 : ˆ1、ˆ2的方差最小.
注： 满足线性、无偏、方差最小的OLS估计量为最佳线性无偏估计量。
23
（多元）
二、参数最小二乘估计的（统计）性质
1、线性性：ˆ j ( j 1,2,, k )是Yi的线性组合
42
14
1 43 15
1 X ' X 45
16
1 42 14
14153111
45 42 43
16 14 15
10 441 147
441 19461 6485
147 6485 2173
20
( X ' X )1 1 X ' X
X'X
154.8594164 3.3143236 0.5848806 3.3143236 0.08023873 0.0153252
2In
0
0
2
其中 : I n为n阶单12 位阵
3、随机扰动项与解释变量不相关，即
cov(X ji , ui ) 0 j 1,2, , k
附：
cov(X ji , ui ) 0， 即E（X ui ） 0
ui 0
或
E
X 1i
ui
0
X kiui 0
13
4、无多重共线性，即假定各解释变量之间不存在线性关系
0.5848806 0.0153252 0.08554377
1 X 'Y 45
16
1 42 14
413 15
29
24
27
272 12005 4013
21
ˆ
ˆ1
ˆ2 ˆ3
( X ' X )1 X 'Y
13.8196 0.5636 1.0995
3
第一节 多元线性回归模型及古典假定
问题的提出 例：对一国的货币需求量（Y）的影响因素（X）有：
经济总量、利率、物价水平等；
例：对汽车需求量（Y）的影响因素（X）有： 收入水平、汽车价格、汽油价格等 ；
例：对人均国民生产总值（Y）的影响因素（X）有： 人口变动因素、固定资产数、货币供给量、物价指数、国内国 际市场供求关系等 。
Yi ~ N（1 2 X i ， 2 ）
10
二、多元线性模型的古典假定 1、零均值：
E(i ) 0 i 1,2,, n
矩阵形式
u1 Eu1 0
E (U
)
E
u2
Eu2
0
un
Eun
0
11
2、同方差和无自相关性
COV (ui , uk ) E[(ui Eui )(uk Euk )]
附： 因为
ˆ1
ˆ
ˆ2
（X
X）1 XY
ˆk
Y1
ˆ
j
是（X
X）1
X
的第j行与Y的列向量
Y2
的积
Yn
所以 ˆ j为Yi 的线性函数。
24
2、无偏性：E(ˆ )
Eˆ1
1
附：
Eˆk k
因为 ˆ （X X）1 X Y
（X X）1 X （X ） （X X）（1 X X） （X X）1 X （X X）1 X
多元线性回归模型的“残差平方和”为：
n
Q ei2 (Yi Yˆi )2 (Yi ˆ1 ˆ2 X 2i ˆk X ki )2 i 1 要使“残差平方和”达到最小，其充分条件是
Q
ˆ j
( ei2 )
ˆ j
0
j 2， ，k
即：
15
Q
ˆ1
2(Yi
ˆ1
ˆ2 X 2i
ˆk X ki )
所以：X 'Y X ' X
（各X
线性无关
i
X
'
X可逆）
从而得
＝（X
'
X）－1
X
'Y
18
例1：某公司的利润Yi主要取决于甲、乙两种重点产品的销售量 X 2、X 3。现有该公司1991年至2000年的统计资料如表所示。求利润 与两种重点产品销售量之间的线性回归方程。
Yi
X2
X3
年 份 (百万元) （万吨） （万吨）
X
kn
en
160
样本回归函数的矩阵形式为 Y Xˆ e （总体回归函数的矩阵形式为 Y X U )
对样本回归函数的两边同乘以X的转置矩阵，得
X' Y X' Xˆ X' e
( X ' X )1存在，用X X左乘方程两边，得参数（向量）
的最小二乘估计为： X' Y X' Xˆ
ˆ1
即
i
i
2、同方差性
Var(ui | X i ) 2
3、无自相关性
Cov（ui ， u j ） 0
E(Y | X ) X
i
i
1
2i
Var(Yi | X i ) 2
Cov(Yi ,Y j ) 0
4、扰动项与解释变量之间不相关 Cov(ui , X i ) 0
5、正态性
ui ~ N (0, 2 )
用t检验法对单个系数的显著性检验；能够用本章所学过的知识解
决一些实际问题（多元线性模型的预测）。
本章教学内容：
第一节 多元线性回归模型及古典假定
第二节 多元线性回归模型的估计
第三节 多元线性回归模型的检验
第四节 多元线性回归模型的预测
第五节 实例
2
本章重点、难点：
*多元回归模型的矩阵表达式，与非矩阵表达式的区别与联系； *多元回归模型古典假设的矩阵表达式，与一元情形的比较； *采用离差形式的多元（二元）回归模型参数估计方法； *多元回归模型随机扰动项方差的估计； *多元回归模型参数最小二乘估计量的性质； *多重可决系数和修正可决系数； *多元回归模型的方程显著性检验、参数显著性检验； *在多元回归模型中依据p-值进行的判断； *多元回归模型的预测及其矩阵表达式； *Eviews结果中各变量间的关系，回归结果的经济意义分析。
X 32
Yn
n1
1 X 2n X 3n
n3
1
2
3 31
1
U
2
n
n1
5
推广：Y与（K 1）个解释变量X 2 , X 3 ,, X K 之间有线性关系
一般形式
Yi 1 2 X 2i 3 X 3i K X Ki i
矩阵形式
i 1，2，，n
Y1 1
Y
4、正态性：在古典假定下，ˆ j ~ N ( j ,Var(ˆ j )) 其中：Var（ˆ j） 2c jj
（c jj是矩阵（X X）1的第j个主对角元素）
附：证明见附录P73
26
三、方差的估计
参数估计量的方差Var(ˆ j ) 2c jj中，随机扰动项的方差 2未知
时需要估计。
含两个以上解释变量的回归模型叫“多元回归模型”；
一个被解释变量（因变量）与多个解释变量之间的线性关系用 回归模型设定，称为“多元线性回归模型”。
4
一、多元线性回归模型表示方法
从一个二元线性模型的实例谈起：
例如Yi 1 2 X 2i 3 X 3i i 1，2，，n
给定一组样本：Yi , X 2i , X 3i （i 1，2， ，n），满足
0
Q
ˆ2
2(Yi
ˆ1
ˆ2 X 2i
ˆk X ki ) X 2i
0
Q
ˆk
2(Yi
ˆ1 ˆ2 X 2i
ˆk X ki ) X ki
0
化简得正规方程组
ei
X 2i ei
1
X 21
1
X 22
1 e1
0
X 2n
e2
X
e
0
X Ki ei
X
k1
X k2
2,
即：
E(ui , uk
)
0,
ik ik
Var（U） E（[ U EU）（U EU）] E（UU ）
E（u1u1）
E（u1u
）
2
E（u
2
u1）
E（u
2
u
）
2
E（u
n
u1）
E（u
n
u
）
2
E（u1u n） E（u 2 u n）
E（u n u n）
2 0 0
0
2
0
第三章
多元线性回归模型
1
教学目的、要求：
通过第三章的学习，要求学生了解多元线性回归模型产生的
背景；掌握多元线性回归模型的古典假定；用普通最小二乘法对二
元线性模型的参数估计，参数的解释；参数最小二乘估计的统计性
质；理解多元可决系数（判定系数）、修正的可决系数（判定系数）
的概念及其关系；掌握用F检验法对总体模型的显著性进行检验；
ˆ
ˆ2
(X
'