的功为
L2
er
q0
P1
q0 dl dr
P1
r1
L1 r2 P2
r1
P2
r2
Q
Q
A
=
∫PP12 F ⋅
( L1 )
dl
=
q0Q
4πε 0
(1 r1
−
1 r2
)
A
=
∫PP12 F ⋅ dl
(L2 )
=
q0Q
4πε 0
(1 r1
−
1 r2
)
L2 q0
从前面的讨论, 我们知道
∫PP12 F ⋅ dl = ∫PP12 F ⋅ dl
Q
L'1 + L2
( L2 )
( L'在点电荷Ｑ的电场中, 试探电荷沿回路L转一圈,电场力的功为
L
A = q0 ∫L E ⋅dl = 0
所以有: ∫L E ⋅dl = 0
考虑到叠加原理, 上式应对任意静电场都成立.
B
r q0 Q
此式表明, 静电场强沿任一闭合回路L的环路积分为零.
3.电势差
B
定义A,B两点的电势差为
ϕ A − ϕB = ∫AP0 E ⋅ dl − ∫BP0 E ⋅ dl
P0
A
= ∫AP0 E ⋅ dl + ∫PB0 E ⋅ dl = ∫ABE ⋅ dl
点电荷从A移动到B,静电场做功可由A和B的电势差求得.
A = ∫ABF ⋅ dl = ∫ABq0E ⋅ dl = q0U AB = q0 (ϕ A − ϕB )
F
⋅
dl
=
q0E
⋅
dl
=
q0Qer
4πε0r 2
⋅
dl
=
q0Qdr
4πε0r 2
er
er
P1
q0
dl dr
r1
r2
dl
θ
q0
dr
P2 dl → 0 虚线与 er 趋于平行, 所以
Q
lim dr
dl →0
=
dl
cosθ
=
dl ⋅er
所以从 P1 点运动到 P2 点时电场力的功为
er
q0 dl
P1 r1
环路定理 电场强度的线积分
静电场的环流为零
电势
环路定理其实是我们熟悉的静电场是保守力场的另一种数学描述 形式. 有了高斯定理和环路定理, 静电场就有了一个完整的描述.
§17-4 环路定理 电势
一.试探电荷q0 在点电荷 Q 的电场中运动时电场力的功
试探电荷q0 移动 dl 时,电场力的元功为
dA
=
x
R
r = R2 + z2
zz
y
ϕ
=
1
4πε 0
ηdl
∫L r
=
4πε 0
1 R2
+
z2
∫L
dq
=
q
4πε0 R2 + z2
例题 17-4-2 求半径为R总电量为q的均匀带电球在球内外的
电势分布.
∞
解:由例题17-3-1,可知电场强度分布为
E
=
⎧ qr
⎪⎪⎪⎨4πεq0rR3 ⎪⎩ 4πε0r3
, ,
)
六.电场线 规定电场线上每一点的切线方向与该点的E的方向一致.
-q
q
-q
2q
三个点电荷位于等边三角形的顶点上, 电荷大小都为 q .
从中心附近的电场的方向可以简单的看出, 位于中心的点电荷处于不 稳定平衡. 定性上看黑色虚线所示球面上的通量为零.
电场线的三条性质：
(1)电场线始于正电荷或无穷远,终于负电荷或无穷远,在无 电荷处不中断.
r<R r>R
取参考点为无穷远,电势为
ϕ(r) = ∫r∞ E ⋅ dl
P
r
R
路径选为沿径向(图中橙色线), 场点在球外时,电势为
ϕ(r)
=
∫r∞
qdr
4πε0r 2
=
q
4πε0r
场点在球内时，电势为
ϕ(r)
=
∫rR
qrdr
4πε 0 R 3
+
∫R∞4πqεd0rr 2
=
q (3 −
8πε 0 R
r2 R2
q
-q
S1
S2
S3
规定过任一面元的Ｅ通量与通过该面元的电场线数目成正比，则 电场线的疏密程度能反映电场强度大小．
(2)电场线不相交, 否则试探点电荷受力有两个可能的方向.
(3)电场线不闭合.
七.等势面 空间中电势相等的点的集合构成了等势面.
点电荷的等势面 等势面与电场强度处处正交. 作业: 17-13, 17-14, 17-15
P1
r1
L1 r2
(L2 )
( L1 )
P2
我们把路径1的方向反过来, 由下图容易看出
Q
∫PP12 F ⋅ dl = − ∫PP21 F ⋅ dl
( L1)
( L'1)
L2
这样, 就有
P1
q0 L'1 r1
r2
∫PP12 F ⋅ dl+ ∫PP21 F ⋅ dl = 0
P2
( L1 )
( L'1)
= ∫PP12 F ⋅ dl+ ∫PP21 F ⋅ dl
《费曼物理学讲义》 R. P. Feynman
第二卷是关于电磁学的.
C
A = ∫BCF ⋅ dl = ∫BP0 q0E ⋅ dl + ∫PC0 q0E ⋅ dl
B
= ∫BP0 q0E ⋅ dl − ∫CP0 q0E ⋅ dl = WB −WC P0
2.电势 定义单位点电荷在静电场中的电势能为电势,即
ϕP
= WP q0
=
1 q0
∫PP0 q0E ⋅ dl
=
∫PP0 E ⋅ dl
五.电势的计算
点电荷Q 的电势.取参考点在无穷远处.
ϕ
=
∫P∞E ⋅ dl
=
∫P∞
Qer
4πε 0 r
2
⋅ er dr
=
∫r∞
Qdr
4πε0r 2
=
Q
4πε 0
(− 1) r
|∞r =
Q
4πε 0 r
由叠加原理，不难得到， n个点电荷的电场的电势为
ϕ
=
1
4πε 0
n
∑
Q
i =1 ri
∞
P r Q
例题 17-4-1 圆环均匀带电,半径为R,电量为q,求轴线上的电势.
四. 电势和电势差
1. 电势能和电场力做功的关系
(1)选定参考点 P0 ,规定此点电势能为零.
(2)定义试探电荷 q0在任一场点 P 的电势能为
WP = ∫PP0 F ⋅ dl = ∫PP0 q0E ⋅ dl =A
有了电势能，我们可以根据点电荷在电场中的始末位置
来求电场力做的功.如图所示，静电场对点电荷q0 做功为
无关．
A = A1 + A2
q0 dl
= q0Q1 ( 1 − 1 )
4πε0 r11 r12
P1 r11
r12
P2
+ q0Q2 ( 1 − 1 )
r22
4πε0 r21 r22
上述结论容易推广到多个点电荷
Q1 r21 Q2
的电场. 如果电荷连续分布, 只须 把它们分成电荷元就行了.
试探电荷q0 在点电荷 Q 的电场中, 从 P1 点运动到 P2点时电场力
dr P2
r2
Q
A=
∫PP12 F ⋅ dl
=
∫rr12
q0Qdr
4πε0r 2
= q0Q
4πε0
(1 r1
−
1) r2
由上式可见, 静电场力做功只与始末位置有关，与路径无关．
二.试探电荷 q0 在任何电场中运动时电场力的功
考虑两个点电荷的电场, 据叠加原理可知,
E = E1 + E2
在每个点电荷的电场中, 电场力做功只与始末位置有关，与路径