函数图像的切线问题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:函数图像的切线问题要点梳理归纳1.求曲线ｙ＝ｆ（ｘ)的切线方程的三种类型及其方法（1)已知切点Ｐ(x 0,ｆ(x 0）),求y=ｆ(x ）在点Ｐ处的切线方程:切线方程为 y-f(ｘ0)＝f′(x 0)（x-x 0)． (2)已知切线的斜率为k,求ｙ＝f(x)的切线方程：设切点为P （x ０,y 0)，通过方程k=f′(ｘ0)解得x ０,再由点斜式写出方程． (３)已知切线上一点(非切点）A(s,t)，求ｙ=ｆ(ｘ）的切线方程：设切点为P(ｘ0,y 0),利用导数将切线方程表示为ｙ－ｆ(x ０）=f′(x 0)(ｘ－x 0），再将A （s,t ）代入求出x 0． 2．两个函数图像的公切线函数ｙ=f （x)与函数ｙ＝ｇ(x ） 存在公切线, 若切点为同一点Ｐ(x 0，y 0），则有错误!若切点分别为(x 1,f(ｘ1)）,(x 2，g （x 2)),则有212121)()()()(x x x g x f x g x f --='='.题型分类解析题型一 已知切线经过的点求切线方程例1.求过点(2,2)P 与已知曲线3:3S y x x =-相切的切线方程． 解：点P 不在曲线S 上.设切点的坐标()00,x y ，则30003y x x =-,函数的导数为2'33y x =-,切线的斜率为020'33x x k y x ===-，2000(33)()y y x x x ∴-=--切线方程为,点(2,2)P 在切线上,20002(33)(2)y x x ∴-=--,又30003y x x =-，二者联立可得001,13,x x ==±或相应的斜率为0k =或963k =-±∴切线方程为2y =或()963(2)2y x =-±-+．例2． 设函数()()2f x g x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为___＿____解析：由切线过()()1,1g 可得:()13g =,所以()()21114f g =+=,另一方面,()'12g =，且()()''2f x g x x =+,所以()()''1124f g =+=,从而切线方程为：()4414y x y x -=-⇒=例3. 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点(1,3),则b 的值为＿_＿______ 解析:代入(1,3)可得：2k =，()'23f x x a =+，所以有()()'113132f a b f a =++=⎧⎪⎨=+=⎪⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩题型二 已知切线方程（或斜率）,求切点坐标（或方程、参数)例4．已知函数()ln 2f x x x =+,则：(１）在曲线()f x 上是否存在一点,在该点处的切线与直线420x y --=平行 （2)在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线30x y --=垂直 解：设切点坐标为()00,x y ()'0012fx x ∴=+ 由切线与420x y --=平行可得: ()'00011242f x x x =+=⇒= 011ln 122y f ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭∴切线方程为:11ln 244ln 212y x y x ⎛⎫-+=-⇒=-- ⎪⎝⎭（2)设切点坐标()00,x y ()'0012fx x ∴=+，直线30x y --=的斜率为1 ()'00011213f x x x ∴=+=-⇒=- 而()00,x ∈+∞ 013x ∴=-不在定义域中,舍去∴不存在一点,使得该点处的切线与直线30x y --=垂直例5．函数()2ln f x a x bx =-上一点()()2,2P f 处的切线方程为32ln22y x =-++，求,a b 的值思路:本题中求,a b 的值，考虑寻找两个等量条件进行求解,P 在直线32ln22y x =-++上,322ln222ln24y ∴=-⋅++=-，即()2=2ln24f -,得到,a b 的一个等量关系，在从切线斜率中得到2x =的导数值，进而得到,a b 的另一个等量关系，从而求出,a b 解：P 在32ln22y x =-++上，()2322ln222ln24f ∴=-⋅++=-()2ln242ln24f a b ∴=-=-又因为P 处的切线斜率为3- ()'2afx bx x=- ()'2432a f b ∴=-=-, ln 242ln 2421432a b a a b b -=-⎧=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-=-⎩⎪⎩例６．设函数()()32910f x x ax x a =---<，若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线126x y +=平行,求a 的值思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为12-，进而可得导函数的最小值为12-,便可求出a 的值解：()2'2222221111329393939333f x x ax x a a a x a a ⎛⎫⎛⎫=--=-+--=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()'2min 11933f x f a a ⎛⎫∴==-- ⎪⎝⎭直线126x y +=的斜率为12-，依题意可得：2191233a a --=-⇒=± 0a <3a ∴=- 题型三 公切线问题例7.若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于( ) A.1-或2564-B. 1-或214错误!未定义书签。

C ． 74-或2564-D. 74-或7 思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线21594y ax x =+-含有参数,所以考虑先从常系数的曲线3y x =入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线21594y ax x =+-求出a 的值.设过()1,0的直线与曲线3y x =切于点()300,x x ,切线方程为()320003y x x x x -=-，即230032y x x x =-,因为()1,0在切线上,所以解得:00x =或032x =，即切点坐标为()0,0或327,28⎛⎫ ⎪⎝⎭．当切点()0,0时,由0y =与21594y ax x =+-相切可得()21525490464a a ⎛⎫∆=--=⇒=- ⎪⎝⎭，同理，切点为327,28⎛⎫ ⎪⎝⎭解得1a =-答案：A小炼有话说:(1)涉及到多个函数公切线的问题时,这条切线是链接多个函数的桥梁．所以可以考虑先从常系数的函数入手,将切线求出来,再考虑切线与其他函数的关系 (2)在利用切线与21594y ax x =+-求a 的过程中，由于曲线21594y ax x =+-为抛物线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法,切线即联立方程后的0∆=来求解，减少了运算量．通过例7，例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面,求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线） 例8.若曲线21x y C =：与曲线xae y C =：2存在公切线,则a 的最值情况为( ) A.最大值为28e B ．最大值为24e C ．最小值为28e D ．最小值为24e 解析：设公切线与曲线1C 切于点()211,x x ，与曲线2C 切于点()22,x x ae ,由''2xy xy ae ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得：22211212x x ae x x ae x x -==-，所以有221111221122222x x x x x x x x x ae ⎧-=⇒=-⎪-⎨⎪=⎩，所以2244x ae x =-,即()2241x x a e -=，设()()41xx f x e -=,则()()'42xx fx e -=.可知()f x 在()1,2单调递增,在()2,+∞单调递减,所以()max 242a f e==121086422468551015202530ae^xx^2a64224685101520ae^xx^2la4224681012510O题型四 切线方程的应用例9.已知直线y kx =与曲线ln y x =有公共点,则k 的最大值为 .解：根据题意画出右图，由图可知,当直线和曲线相切时，k 取得最大值.设切点坐标为()00,x y ,则00ln y x =，1'y x= 001'x x y x ==，∴切线方程为0001ln ()y x x x x -=-,原点在切线上,0ln 1x ∴=,0x e = ∴斜率的最大值为1e.例１0.曲线xy e =在点()22,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ )A ．2e ﻩﻩ Ｂ. 22e ﻩ C. 24eﻩ D.22e思路：()'x f x e = 由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线方程 ()'22f e ∴=所以切线方程为:()222y e e x -=-即220e x y e --=,与两坐标轴的交点坐标为()()21,00,e - 221122e S e ∴=⨯⨯=例11．一点P 在曲线323y x x =-+上移动,设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )．A.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ C.3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭Ｄ.3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来．'231y x =-，对于曲线上任意一点P ，斜率的范围即为导函数的值域：[)'2=311,y x -∈-+∞，所以倾斜角的范围是30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.答案：B 例12.已知函数()323f x x x =-，若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围思路：由于并不知道３条切线中是否存在以P 为切点的切线，所以考虑先设切点()00,x y ，切线斜率为k ,则满足()3000'2002363y x x k f x x ⎧=-⎪⎨==-⎪⎩ ，所以切线方程为()00y y k x x -=-,即 ()()()3200002363y x x x x x --=--，代入()1,P t 化简可得：3200463t x x =-+-，所以若存在3条切线,则等价于方程3200463t x x =-+-有三个解，即y t =与()32463g x x x =-+-有三个不同交点,数形结合即可解决解：设切点坐标()00,x y ，切线斜率为k ，则有:()3000'2002363y x x k f x x ⎧=-⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 切线方程为：()()()3200002363y x x x x x --=-- 因为切线过()1,P t ,所以将()1,P t 代入直线方程可得:()()()32000023631t x x x x --=--()()()23000063123t x x x x ⇒=--+-233320000000636323463x x x x x x x =--++-=-+- 所以问题等价于方程3200463t x x =-+-,令()32463g x x x =-+-即直线y t =与()32463g x x x =-+-有三个不同交点()()'21212121g x x x x x =-+=--令()'0g x >解得01x << 所以()g x 在()(),0,1,-∞+∞单调递减,在()0,1单调递增()()()()11,03g x g g x g ==-==-极大值极小值所以若有三个交点，则()3,1t ∈--所以当()3,1t ∈--时，过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切例1３. 已知曲线C ：x ２=y,Ｐ为曲线C 上横坐标为1的点，过P 作斜率为ｋ（k ≠0）的直线交Ｃ于另一点Q ，交ｘ轴于M,过点Ｑ且与PQ 垂直的直线与Ｃ交于另一点N,问是否存在实数ｋ,使得直线MN 与曲线C 相切?若存在,求出K 的值,若不存在,说明理由．思路:本题描述的过程较多,可以一步步的拆解分析.点()1,1P ，则可求出:1PQ y kx k =-+,从而与抛物线方程联立可解得()()21,1Q k k --,以及M 点坐标，从而可写出QN 的方程,再与抛物线联立得到N 点坐标.如果从,M N 坐标入手得到MN 方程，再根据相切()0∆=求k ，方法可以但计算量较大.此时可以着眼于N 为切点，考虑抛物线2x y =本身也可视为函数2y x =，从而可以N 为入手点先求出切线，再利用切线过M 代入M 点坐标求k ，计算量会相对小些. 解:由P 在抛物线上,且P 的横坐标为1可解得()1,1P∴设():11PQ y k x -=-化简可得：1y kx k =-+ 1,0k M k -⎛⎫∴ ⎪⎝⎭21y x y kx k ⎧=∴⎨=-+⎩ 消去y ：210x kx k -+-= 121,1x x k ∴==- ()()21,1Q k k ∴--设直线()()21:11QN y k x k k --=---⎡⎤⎣⎦即()()2111y k x k k=----⎡⎤⎣⎦ ∴ 联立方程:()()22111y x y k x k k ⎧=⎪⎨=----⎡⎤⎪⎣⎦⎩ ()211110x x k k k k ⎛⎫∴+---+= ⎪⎝⎭ ()11111Q N N x x k k x k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅=---+⇒=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2111,1N k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2y x =可得:'2y x = ∴切线MN 的斜率'1|21N MN x x k y k k =⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭ 2111:1211MN y k k x k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--+=--++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 代入1,0k M k -⎛⎫ ⎪⎝⎭得:2111112111k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=--+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 211210k k k k k∴-+=⇒+-=,152k -±∴= 小炼有话说：（1)如果曲线的方程可以视为一个函数(比如开口向上或向下的抛物线，椭圆双曲线的一部分),则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要比联立方程计算0∆=简便(2)本题在求N 点坐标时,并没有对方程进行因式分解,而是利用韦达定理，已知Q 的横坐标求出N 的横坐标．这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已知一交点求另一交点的问题.例14.设函数f(x)＝x 3+2ax ２+b ｘ+ａ,ｇ(ｘ)=x 2－３x ＋2,其中x ∈R,ａ、b 为常数，已知曲线ｙ=f(x ）与ｙ＝g(x)在点(2,0）处有相同的切线ｌ.(1)求a 、b 的值，并写出切线ｌ的方程；(2)若方程ｆ(x)＋ｇ(x)＝m ｘ有三个互不相同的实根0、x 1、x ２,其中x １<x ２，且对任意的x ∈[x 1，ｘ2],f （x)+g(ｘ)＜m(x-1)恒成立，求实数m 的取值范围.【解答】 (1)f′（ｘ）＝3x ２+4ax+b ，g′(x)＝２x-3.由于曲线y=ｆ（ｘ)与ｙ＝g(x)在点(２,0)处有相同的切线，故有f(2)＝ｇ(２)=0,f′(2)=g′(2)=1.由此得错误!未定义书签。